Trajetórias de Tensões em Vigas de Concreto Armado

Projectus Rio de Janeiro v 1 n 1 p 4146 janmar 2016 4 1 ENGENHARIAS OBTENÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE TENSÕES EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Bruno Bandeira Brandão Graduando em Engenharia Civil pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ Rio de Janeiro RJ Brasil brunouerjhotmailcom Paulo José Barreto Teixeira Doutorando em Engenharia Civil pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ Rio de Janeiro RJ Brasil barretoteixeirayahoocombr Rodrigo Bird Burgos Pósdoutor em Engenharia Civil Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUCRJ Rio de Janeiro RJ Brasil Professor da Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ Rio de Janeiro RJ Brasil rodrigobburgosgmailcom Maria Elizabeth da Nóbrega Tavares Doutor em Engenharia Civil pela Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ Rio de Janeiro RJ Brasil Professora da Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ Rio de Janeiro RJ Brasil betinha33hotmailcom RESUMO Este trabalho apresenta um estudo das trajetórias de tensões obtidas pela solução analítica de vigas de concreto armado A análise é feita em regime linear elástico para ambos os materiais ou seja considerando o concreto no Estádio I não fissurado A viga estudada possui armadura de tração e seção do tipo T com carregamento distribuído devido ao peso próprio e cargas concentradas aplicadas a distâncias iguais dos apoios extremos Primeiramente foram calculadas as tensões principais e suas direções em seções ao longo de todo o comprimento da viga estudada através do Círculo de Mohr Em seguida foram determinadas as trajetórias de tensões curvas ortogonais cuja tangente em qualquer ponto tem a direção das tensões principais Ao final do trabalho é feita uma análise comparativa entre os resultados obtidos para diferentes taxas de armadura Palavraschave Trajetória de tensões Vigas Concreto armado STRESS TRAJECTORIES IN REINFORCED CONCRETE BEAMS ABSTRACT This paper presents a brief study of the stress trajectories obtained analytically for reinforced concrete beams This analysis was performed considering both concrete and steel as linear elastic materials The beams has a T type cross section with reinforcement in the tension zone only distributed loading due to selfweight and concentrated loads applied at equal distances from the extreme supports In a first moment principal stresses and their directions were obtained by using Mohrs circle Then stress trajectories were determined throughout the length of the beam A comparison is made at the end of the paper for different reinforcement ratios Keywords Stress trajectory Beams Reinforced concrete OBTENÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE TENSÕES EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Projectus Rio de Janeiro v 1 n 1 p 4146 janmar 2016 4 2 ENGENHARIAS 1 INTRODUÇÃO A avaliação do estado de tensões em um elemento estrutural constitui um item de fundamental importância para o engenheiro estrutural A partir do conhecimento dos valores máximos de tensões é possível garantir um dimensionamento seguro e econômico para a peça estrutural OLIVEIRA et al 2002 A análise da trajetória de tensões tem por objetivo identificar os caminhos percorridos pelas forças que fluem numa estrutura a partir do seu ponto de aplicação até o ponto onde ocorre a reação Analisando o efeito combinado das tensões normais e cisalhantes é possível identificar as trajetórias das tensões principais um conjunto de curvas ortogonais que modelam o comportamento estrutural Estes resultados quando bem avaliados traduzem perfeitamente o comportamento da peça sob a ação das cargas atuantes O presente trabalho analisou uma viga isostática para a qual foram calculadas as tensões normais e cisalhantes ao longo da altura O valor dessas tensões foi obtido através do uso de expressões clássicas da resistência dos materiais HIBBELER 2010 A partir das tensões encontradas ao longo de cada seção foi determinada a trajetória das tensões 2 METODOLOGIA Este trabalho tem como objetivo calcular e traçar as trajetórias das tensões principais em uma viga com seção transversal do tipo T A partir de algumas hipóteses simplificadoras Lei de Hooke Princípio de SaintVenant e estado plano de tensões é possível calcular as tensões atuantes em vigas utilizando os conceitos básicos da Resistência dos Materiais Assim em uma viga de seção constante sujeita à flexão simples não pura as tensões normais σ e tangenciais t variam ao longo da altura da seção e podem ser calculadas pelas seguintes expressões 1 Onde a M x momento fletor a uma distância x da extremidade esquerda b V x força cortante a uma distância x da extremidade esquerda c Q y momento estático da área situada acima da fibra de ordenada y d bw y largura da seção na ordenada y e e I momento de inércia da seção em relação a seu centroide A viga será considerada como isostática biapoiada e será discretizada em seções transversais obtendose para cada uma as tensões normais e cisalhantes 21 Modelo de viga estudado A viga estudada apresenta uma seção em formato de T possuindo 17 cm de altura e 26 cm de largura da mesa A seção transversal em questão é inspirada na utilizada por Teixeira e outros 2013 cujas dimensões são apresentadas na figura 1 Projectus Rio de Janeiro v 1 n 1 p 4146 janmar 2016 Bruno Bandeira Brandão et al 4 3 ENGENHARIAS Figura 1 Detalhe da seção da viga Fonte BRANDÃO 2016 A viga possui um comprimento total de 212 m sendo carregada em dois pontos equidistantes das extremidades O peso próprio da viga é considerado como um carregamento distribuído ao longo do comprimento como mostra a figura 2 Figura 2 Detalhe da vista lateral da viga e de seu carregamento Fonte BRANDÃO 2016 3 TRAJETÓRIAS DE TENSÕES Antes de tratar da determinação das tensões e suas trajetórias é importante mencionar que a metodologia de cálculo empregada considerou os materiais ainda em sua fase elástica Isto significa que foi considerado o Estádio I concreto não fissurado A primeira etapa da modelagem da viga em estudo no software MATLAB CHAPMAN 2003 foi o cálculo da área da seção transversal O procedimento seguinte foi o cálculo da posição do centroide considerando a seção no Estádio I A coordenada do centroide foi obtida através da expressão a seguir que leva em conta a contribuição de cada material 2 OBTENÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE TENSÕES EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Projectus Rio de Janeiro v 1 n 1 p 4146 janmar 2016 4 4 ENGENHARIAS Onde Ec é o módulo de elasticidade do concreto Es o módulo de elasticidade do aço Ac a área de concreto e As a área de aço Em seguida foram calculados o momento de inércia I e o momento estático da seção Q O carregamento devido ao peso próprio foi calculado de acordo com a variação da área da seção ao longo do comprimento total da viga No modelo implementado foi considerado o valor da densidade do concreto 25106 Nmm3 aplicado a cada milímetro da seção A partir dos esforços foram calculadas as tensões normais e cisalhantes em cada ponto da seção transversal e foi estabelecido com o auxílio do software MATLAB um campo de distribuição de tensões sxxy e txyxy Utilizando o círculo de Mohr e considerando que não há tensão normal na direção y chegouse à distribuição das tensões principais e seus respectivos ângulos de orientação A distribuição das tensões principais s1 e s2 para cargas concentradas P de 500 N é apresentada na figura 3 A partir das distribuições de s1 e s2 e seus respectivos ângulos foi possível construir uma trajetória de tensões que é mostrada na figura 4 para metade da viga devido à simetria As linhas em azul e vermelho representam tensões de compressão e tração respectivamente Figura 3 Distribuição das tensões principais s1 acima e s2 abaixo em MPa Fonte BRANDÃO 2016 Figura 4 Trajetórias das tensões principais ao longo da viga Fonte BRANDÃO 2016 Foram feitas análises considerando armaduras de tração de 63 8 e 10 mm uma barra de cada bitola para cada análise As tensões máximas no aço para cada taxa de armadura e carregamento foram obtidas e o resultado mostrado na figura 5 Figura 5 TensOes maximas no aco em funcdo das cargas concentradas 5 6 63mm a 6 80mm 49 100 mm 35 3 z 25 a 2 15 1 po 05 0 0 10 20 30 40 50 60 3 MPa Fonte BRANDAO 2016 3 CONSIDERACOES FINAIS Os modelos analiticos mostraram uma boa representacado do comportamento das tensdes nas vigas considerando o concreto ainda no Estadio nado fissurado A trajetoéria de tensdes ficou de acordo com o estudado na literatura Podese utilizar tal trajetéria para a obtencdo de um modelo de bielas e tirantes segundo o qual uma viga de concreto armado pode ser representada como uma trelica Verificouse utilizando diferentes bitolas para a armadura de tracdo que a tensdo maxima no aco decresce com o aumento da taxa de armadura também como esperado Em trabalhos posteriores procedersea a modelagem do concreto armado ja na fase pos fissuracgdo procurando também comparar os resultados numéricos com os obtidos em ensaios experimentais A modelagem analitica tornase mais complexa apos a fissuracao principalmente considerandose que o concreto também deixa de apresentar um comportamento linear a compressao REFERENCIAS BRANDAO B B Estudo de trajetorias de tensdes em vigas de concreto armado 2016 47 f Projeto Final Graduacao em Engenharia Civil Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2016 CHAPMAN S J Programacgao em MATLAB para engenheiros Sdo Paulo Pioneira Thomson Learning 2003 OBTENÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE TENSÕES EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Projectus Rio de Janeiro v 1 n 1 p 4146 janmar 2016 4 6 ENGENHARIAS HIBBELER R C Resistência dos materiais São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 OLIVEIRA J M et al Estudo sobre a trajetória de tensões principais em vigas isostáticas In JORNADA CIENTÍFICA DA ENGENHARIA DA UCG 1 2002 Goiás Anais Goiás UCG 2002 p 17 TEIXEIRA P J B et al Estudo comparativo entre resultados experimentais e modelos analíticos utilizando o método de bielas e tirantes aplicados a vigas de concreto armado In CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO 55 2013 Gramado Anais Gramado sn 2013 p 115 Recebido em 8 jun 2016 Aprovado em 15 jun 2016