Notas de Aula: Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 1 1 Capítulo 06 OBTENÇÃO DE FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO C0 61 INTRODUÇÃO Neste capítulo é descrito como se obtém as funções de interpolação unidimensionais lineares Este capítulo quase que integralmente foi extraído da Apostila Métodos Numéricos para Engenharia do Prof Marco Antônio Luersen 2000 docente do então CEFETPR hoje Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR 62 OBTENÇÃO DE FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO UNIDIMENSIONAIS C0 Seja uma aproximação linear para a função de interesse expressa pela seguinte equação 𝜙 𝑎1 𝑎2𝑥 61 Podese obter as funções de interpolação lineares 𝑁𝑖 e dessa forma escrever 𝜙 em função dos valores nodais 𝜙 𝑁𝑖𝜙𝑖 𝑖 62 como feito anteriormente para o problema da barra No caso de utilizarse uma aproximação linear na forma da expressão 61 o somatório na expressão 62 vai de 1 a 2 sendo as funções de interpolação 𝑁1 e 𝑁2 dadas como já visto anteriormente por 𝑁1 1 𝑥 𝐿 𝑒 𝑁2 𝑥 𝐿 63 O método aqui apresentado apesar de ser aplicado para a obtenção de funções de interpolação lineares pode ser aplicado a funções de ordem mais alta e até mesmo à elementos bidimensionais e tridimensionais Para as coordenadas nodais 𝜙 deve apresentar os valores nodais ou seja para 𝑥 0 𝜙 𝜙1 e para 𝑥 𝐿 𝜙 𝜙2 Assim temse que 𝑎1 𝑎20 𝜙1 𝑎1 𝑎2𝐿 𝜙2 64 Em forma matricial a Equação 64 pode ser escrito como Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 2 2 1 0 1 𝐿 𝑎1 𝑎2 𝜙1 𝜙2 ou 𝑨𝒂 𝝓 65 em que 𝑨 1 0 1 𝐿 𝒂 𝑎1 𝑎2 e 𝝓 𝜑1 𝜑2 Pré multiplicando a Equação 65 pela inversa da matriz 𝑨 obtémse 𝑨𝑨1𝒂 𝑨1𝝓 𝒂 𝑨1𝝓 66 A matriz 𝑨1 é facilmente obtida e dada por 𝑨1 1 0 1 𝐿 1 𝐿 67 e os coeficientes 𝑎𝑖 são expressos em função dos valores nodais que a partir de agora são as incógnitas Assim 𝑎1 𝑎2 1 0 1 𝐿 1 𝐿 𝜙1 𝜙2 68 ou 𝑎1 𝜙1 𝑎2 1 𝐿 𝜙1 1 𝐿 𝜙2 69 Substituindo os valores de 𝑎1 e 𝑎2 na Equação 61 temse como resultado 𝜙 𝜙1 1 𝐿 𝜙1 1 𝐿 𝜙2 𝑥 610 ou 𝜙 1 𝑥 𝐿 𝜙1 𝑥 𝐿 𝜙2 611 Note que a Equação 611 está escrita na forma da Equação 62 em que as funções de interpolação são exatamente aquelas expressas pela Equação 63 A representação gráfica das funções de interpolação lineares unidimensionais pode ser visualizada na Figura 61 Note que 𝑁𝑖 é unitária no nó 𝑖 e nula no nó 𝑗 e vice versa para a função de interpolação 𝑁𝑗 Para polinômios interpoladores de maior ordem acontece o mesmo isto é a função 𝑁𝑖 é unitária na posição nodal correspondente ao nó 𝑖 e nula nos demais nós do elemento A Figura 62 representa a interpolação linear da variável 𝜙 através de funções de interpolação lineares Equação 611 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 3 3 Figura 61 Funções de interpolação lineares unidimensionais Fonte Luersen 2000 Figura 62 Variação linear da variável 𝜙 Fonte Luersen 2000 Da mesma forma como foram obtidas as funções de interpolação lineares pode se obter funções de ordem maior Por exemplo para funções de interpolação quadráticas fazse 𝜙 𝑎1 𝑎2𝑥 𝑎3𝑥2 612 e para as posições nodais 𝑥1 𝑥2 e 𝑥3 o elemento quadrático possui 3 nós 𝜙 assume os valores nodais isto é 𝜙𝑥1 𝜙1 𝜙𝑥2 𝜙2 𝜙𝑥3 𝜙3 613 e a partir disto procedese da mesma forma como feito para as funções de interpolação lineares obtendose os valores dos coeficientes 𝑎1 𝑎2 e 𝑎3 em função dos valores nodais 𝜙1 𝜙2 e 𝜙3 Uma forma geral de obtenção de funções de interpolação polinomiais de continuidade C0 é através da fórmula de interpolação de Lagrange Para um elemento de 𝑛 nós ou seja polinômio interpolador de grau 𝑛 1 a função de interpolação associada ao nó 𝑖 é dada por Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 4 4 𝑁𝑖 𝑥𝑗 𝑥 𝑥𝑗 𝑥𝑖 𝑛 𝑗1 𝑗𝑖 614 Assim por exemplo um elemento quadrático grau 2 terá 3 nós e consequentemente 3 funções de interpolação dadas por 𝑁1 𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥 𝑥2 𝑥1𝑥3 𝑥1 𝑁2 𝑥1 𝑥𝑥3 𝑥 𝑥1 𝑥2𝑥3 𝑥2 𝑁3 𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥 𝑥1 𝑥3𝑥2 𝑥3 615 Graficamente as funções de interpolação quadráticas podem ser visualizadas na Figura 63 A Figura 64 apresenta a interpolação quadrática da variável 𝜙 Figura 63 Funções de interpolação quadráticas unidimensionais Fonte Luersen 2000 Figura 64 Variação quadrática da variável 𝜙 Fonte Luersen 2000 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 5 5 Como a Equação 611 é uma expressão geral as funções lineares também podem ser obtidas a partir dela Para este caso 𝑛 2 assim 𝑁1 𝑥2 𝑥 𝑥2 𝑥1 𝑁2 𝑥1 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥1 616 Sem perda de generalidade podese fazer 𝑥1 0 e 𝑥2 𝐿 e assim a Equação 616 toma a forma da Equação 63 Algumas características podem ser notadas nas funções de interpolação unidimensionais de continuidade C0 A função de interpolação 𝑁𝑖 é igual a 1 no nó 𝑖 e zero nos demais nós do elemento a soma de todas as funções de interpolação do elemento é igual a 1 a soma das derivadas de todas as funções de interpolação do elemento em relação a 𝑥 é igual a zero REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LUERSEN M A Métodos Numéricos para Engenharia Introdução ao Método dos Elementos Finitos Fundamentos Teóricos CEFETPR Departamento de Engenharia Mecânica McGrawHill 2000