Elemento Finito Triangular CST: Formulação Matemática e Aplicações

O Elemento Finito Triangular Linear CST do inglês Constant Strain Triangle é um elemento finito bidimensional usado para análise de estruturas Ele é especialmente adequado para problemas em que as deformações são relativamente pequenas A formulação matemática básica do CST envolve a descrição das relações entre os deslocamentos nodais e as deformações que são usadas para calcular as tensões e outros parâmetros de interesse Aqui está a formulação matemática simplificada do CST Considere um elemento triangular com três nós ou vértices numerados como 1 2 e 3 Os deslocamentos nodais em cada nó são denotados por u1 v1 para o nó 1 u2 v2 para o nó 2 e u3 v3 para o nó 3 As coordenadas x e y dos nós também são conhecidas A formulação matemática básica do CST inclui 1 Funções de Interpolação As funções de interpolação Ni são usadas para relacionar os deslocamentos nodais com as coordenadas do ponto dentro do elemento No caso do CST essas funções são lineares e podem ser definidas como N 11r s N 2r N 3s onde r e s são as coordenadas naturais do ponto dentro do elemento triangular 2 Derivadas das Funções de Interpolação As derivadas das funções de interpolação em relação às coordenadas naturais r e s são necessárias para calcular as deformações Elas são usadas para calcular as matrizes Jacobianas que relacionam as coordenadas naturais com as coordenadas reais x e y do elemento 3 Matriz de Deformação A matriz de deformação B é calculada a partir das derivadas das funções de interpolação e das coordenadas reais x e y Para o CST a matriz de deformação é dada por B N 1 x 0 0 N 1 y N 2 x 0 0 N 2 y N3 x 0 0 N 3 y 4 Matriz de Rigidez A matriz de rigidez K do elemento é calculada a partir da matriz de deformação e das propriedades do material Para o CST a matriz de rigidez é dada por K elementoB T DBd A onde D é a matriz de rigidez do material 5 Vetor de Força O vetor de força F do elemento é calculado a partir das forças aplicadas aos nós Para o CST o vetor de força é dado por F elementoN T f d A onde N é o vetor de funções de interpolação e f é o vetor de forças aplicadas Essa é uma descrição simplificada da formulação matemática do Elemento Finito Triangular Linear CST Na prática as integrações e cálculos são realizados numericamente para obter as matrizes de rigidez e vetores de força finais que são usados para resolver o sistema de equações e obter os deslocamentos nodais deformações e tensões 1 ELEMENTO FINITO CST Modelagem de Casca com Elemento Finito CST A modelagem de cascas com o Método dos Elementos Finitos MEF é uma técnica poderosa e versátil utilizada na análise estrutural de estruturas finas e delgadas como cascos de navios cascas de aeronaves tanques de armazenamento entre outros O MEF é um método numérico que divide a estrutura em elementos finitos como triângulos ou quadriláteros e resolve equações diferenciais parciais que descrevem o comportamento das cascas Nesse contexto o CST Cascas Placas e Sólidos é um software amplamente utilizado para realizar análises de cascas com elementos finitos ALVES 2017 A abordagem do MEF para modelagem de cascas é baseada na discretização da casca em elementos finitos Cada elemento finito representa uma parte da casca e é definido por nós que possuem coordenadas espaciais e graus de liberdade associados As equações do MEF são aplicadas a cada elemento e nó levando em consideração as propriedades do material as condições de contorno e as cargas aplicadas Essas equações são então montadas em um sistema global e resolvidas numericamente para obter as deformações tensões e deslocamentos na casca SILVA 2019 Uma das vantagens do MEF na modelagem de cascas é sua capacidade de lidar com geometrias complexas e diferentes tipos de carregamentos Além disso o CST é um software que simplifica muito o processo de criação e análise de modelos de cascas fornecendo ferramentas gráficas intuitivas e préprocessamento eficiente Isso torna o CST uma escolha popular entre engenheiros e analistas que trabalham com cascas No entanto existem algumas desvantagens a serem consideradas A modelagem de cascas com o MEF pode ser computacionalmente intensiva especialmente para cascas grandes e complexas exigindo hardware poderoso e tempo de processamento significativo Além disso a escolha dos elementos finitos e a discretização da casca podem afetar a precisão dos resultados tornando importante a validação e verificação cuidadosa dos modelos As equações fundamentais usadas na modelagem de cascas com o MEF incluem a equação da teoria das cascas que descreve o comportamento da casca 2 sob cargas e a equação de equilíbrio que leva em consideração as forças internas e as cargas externas aplicadas Para cascas delgadas a equação da teoria das cascas pode ser aproximada usando a teoria de primeira ordem de Kirchhoff que assume que as deformações transversais são negligenciáveis Um dos desafios na modelagem de cascas é a escolha adequada dos elementos finitos Elementos de casca como elementos de membrana e elementos de flexão são frequentemente usados para representar diferentes aspectos do comportamento da casca Esses elementos possuem funções de forma e matrizes de rigidez específicas que são usadas para montar as equações do MEF A modelagem de cascas com o Método dos Elementos Finitos incorporando o CST é uma abordagem poderosa para analisar e projetar estruturas finas e delgadas Ela oferece a capacidade de lidar com geometrias complexas e diversos tipos de carregamentos mas também apresenta desafios computacionais e requer cuidados na escolha dos elementos finitos e na validação dos modelos No entanto quando aplicada corretamente essa abordagem pode ser uma ferramenta valiosa para engenheiros e analistas na análise de cascas e outras estruturas semelhantes OLIVEIRA 2019 Análise de Casca de Materiais Compostos com CST A análise de casca de materiais compostos desempenha um papel crucial em diversas indústrias como aeroespacial automotiva e naval Materiais compostos como fibras de carbono e materiais laminados são amplamente utilizados devido às suas excelentes propriedades de resistência e leveza No entanto a análise desses materiais requer métodos especializados devido à sua complexidade estrutural Neste contexto o Elemento Finito CST Composite Shell Theory desempenha um papel fundamental Para entender a aplicação do CST em materiais compostos é necessário primeiro considerar as propriedades dos materiais Os materiais compostos são formados por uma matriz e reforços No caso das fibras de carbono a matriz geralmente é composta de polímeros enquanto as fibras de carbono atuam como reforços A distribuição orientação e volume das fibras de carbono na matriz influenciam significativamente as propriedades do material como resistência à tração módulo de elasticidade e resistência ao cisalhamento ALVES 2017 3 Essas propriedades não são uniformes em todas as direções o que torna a análise mais complexa do que a de materiais isotrópicos como metais Portanto o CST é uma abordagem valiosa pois leva em consideração essa anisotropia O CST usa equações baseadas na teoria das cascas para modelar a resposta estrutural dos materiais compostos Essas equações são elaboradas e levam em conta as características específicas dos materiais incluindo suas propriedades anisotrópicas Uma equação fundamental usada na análise de cascas de materiais compostos é a equação da flexão de casca que relaciona as tensões e deformações na casca Para um material composto essa equação leva em consideração a matriz elástica do material e sua orientação em relação à casca A equação pode ser expressa da seguinte forma 𝑀𝑥 𝐷11ϵ𝑥 𝐷12ϵ𝑦 𝐷16γ𝑥𝑦 Aqui representa o momento fletor na direção x e são as 𝑀𝑥 ϵ𝑥 ϵ𝑦 deformações na direção x e y respectivamente e é a deformação de γ𝑥𝑦 cisalhamento Os coeficientes e são componentes da matriz elástica do 𝐷11 𝐷12 𝐷16 material composto e dependem das propriedades do material e da orientação das fibras Além da equação de flexão de casca o CST também utiliza equações para levar em consideração o comportamento de membrana da casca tensões e deformações nas direções do plano da casca e o comportamento de cisalhamento deformações de cisalhamento na casca Todas essas equações levam em consideração as propriedades anisotrópicas do material composto tornando o CST uma ferramenta poderosa para análise FERREIRA 2017 A equação de membrana lida com as tensões e deformações que ocorrem nas direções do plano da casca ou seja ao longo das coordenadas x e y da superfície da casca Ela pode ser representada da seguinte forma 𝑁𝑥 𝑄11ϵ𝑥 𝑄12ϵ𝑦 𝑄16γ𝑥𝑦 𝑁𝑦 𝑄12ϵ𝑥 𝑄22ϵ𝑦 𝑄26γ𝑥𝑦 𝑁𝑥𝑦 6ϵ𝑥 𝑄26ϵ𝑦 𝑄66γ𝑥𝑦 A equação de cisalhamento considera as deformações de cisalhamento que ocorrem na espessura da casca Ela pode ser representada da seguinte forma 4 κ𝑥 𝑇11ϵ𝑥 𝑇12ϵ𝑦 𝑇16γ𝑥𝑦 κ𝑦 𝑇12ϵ𝑥 𝑇22ϵ𝑦 𝑇26γ𝑥𝑦 κ𝑥𝑦 𝑇16ϵ𝑥 𝑇26ϵ𝑦 𝑇66γ𝑥𝑦 A abordagem do Elemento Finito CST divide a casca do material composto em elementos finitos menores permitindo a análise localizada das tensões e deformações Isso é crucial pois os materiais compostos frequentemente têm áreas críticas que requerem atenção especial como bordas de laminados e áreas de carregamento concentrado Cada elemento finito é tratado como uma pequena casca e as equações CST são aplicadas localmente para calcular as respostas SILVA 2019 A análise de casca de materiais compostos muitas vezes envolve a consideração de interfaces entre camadas de materiais diferentes Isso é fundamental em laminados onde várias camadas de materiais compostos são empilhadas em configurações específicas A interface entre essas camadas pode afetar significativamente o comportamento estrutural global do componente O CST também lida com essa complexidade modelando as interfaces de forma adequada DIAS 2014 A análise de casca de materiais compostos com o Elemento Finito CST é uma abordagem poderosa para lidar com as complexidades inerentes a esses materiais Leva em consideração as propriedades anisotrópicas dos materiais compostos utiliza equações de casca elaboradas e divide a estrutura em elementos finitos para fornecer uma análise detalhada e precisa das tensões e deformações Isso é fundamental para garantir a segurança e o desempenho de componentes fabricados com materiais compostos em diversas aplicações industriais Validação e Verificação do Elemento Finito CST A validação e verificação são etapas cruciais no processo de análise por elementos finitos FEA na sigla em inglês especialmente quando se utiliza o Método dos Elementos Finitos CST Constant Strain Triangle para modelagem e simulação Essas etapas são essenciais para garantir que os resultados obtidos por meio do CST sejam precisos e confiáveis pois qualquer discrepância entre as 5 simulações e os resultados experimentais pode levar a decisões inadequadas em projetos e análises VERUZ 2020 A validação é o processo de verificar se o modelo FEA e o software utilizado reproduzem com precisão o comportamento físico do sistema em análise Uma abordagem comum para a validação do CST é comparar os resultados de simulação com dados experimentais Suponhamos por exemplo um caso de análise de tensão em uma placa sujeita a carregamentos conhecidos As equações de tensão em elementos finitos CST podem ser expressas da seguinte forma DIAS 2014 σ𝑥 2𝐹𝑥 𝐿 2 σ𝑦 2𝐹𝑦 𝐿 2 τ𝑥𝑦 2𝐹𝑧 𝐿 2 Para validar podese calcular essas tensões teóricas e comparálas com as obtidas por meio da simulação FEA Caso haja uma concordância satisfatória entre os resultados a validação está em curso No entanto a verificação vai além disso A verificação diz respeito à avaliação da precisão numérica do modelo FEA Isso inclui a verificação das configurações da malha ou mesh usada para discretizar a geometria o número de elementos finitos utilizados e a precisão das soluções obtidas Uma técnica comum é a análise da convergência onde o número de elementos e o refinamento da malha são progressivamente aumentados e os resultados são comparados para verificar se as soluções convergem para um valor estável OLIVEIRA 2019 Uma fórmula relevante para a verificação da precisão é o Erro de Discretização que pode ser calculado usando a norma de energia 𝐸ℎ 𝐸ℎ 𝑖 𝑢𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑢𝐹𝐸𝐴 2 𝑖 𝑢 2 𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜 Se o erro de discretização for pequeno geralmente abaixo de um valor aceitável isso indica que o modelo FEA está fornecendo resultados precisos Para ilustrar essa abordagem considere um estudo de caso em que um componente mecânico como uma viga está sendo analisado quanto às suas deformações sob um carregamento conhecido A validação e verificação envolvem 6 comparar as deformações calculadas pelo CST com medições experimentais das deformações sob as mesmas condições de carregamento Qualquer discrepância entre os resultados requer uma investigação mais aprofundada para determinar se ela decorre de erros no modelo FEA ou de outras fontes de imprecisão nos dados experimentais Elementos Finitos Adaptativos em Casca CST A análise de cascas em particular as cascas CST Circular Cilíndrica e Esférica é um campo importante na engenharia estrutural e a utilização de Elementos Finitos Adaptativos EFA representa uma abordagem avançada para melhorar a precisão e a eficiência computacional na análise dessas estruturas complexas A análise de cascas CST é uma parte fundamental do projeto de estruturas em muitos setores incluindo aeroespacial naval e civil Essas cascas são frequentemente submetidas a carregamentos complexos e variáveis tornando essencial uma análise detalhada e precisa No entanto a modelagem numérica dessas estruturas pode ser desafiadora devido à sua geometria complexa e à necessidade de representar com precisão o comportamento das cascas em diferentes pontos DIAS 2014 A abordagem tradicional de Elementos Finitos EF envolve a discretização da casca CST em uma malha finita de elementos No entanto a precisão dos resultados obtidos depende da qualidade da malha e da densidade de elementos utilizada Em áreas críticas uma malha mais fina é necessária para capturar as variações locais de tensão e deformação enquanto em áreas menos críticas uma malha mais grossa pode ser suficiente Esse compromisso entre precisão e eficiência computacional é um desafio comum na análise de cascas CST ALVES 2017 É nesse contexto que os Elementos Finitos Adaptativos entram em jogo O EFA é uma técnica que permite que a malha seja refinada ou coarsened automaticamente durante a análise direcionando recursos computacionais para áreas onde são mais necessários Isso é feito monitorando as grandezas de interesse como tensões ou deformações e ajustando a malha de acordo 7 Uma das principais vantagens do uso de EFA na análise de cascas CST é a economia de recursos computacionais Em áreas onde a deformação ou tensão é baixa os elementos da malha podem ser coarsened reduzindo a carga computacional Por outro lado em áreas críticas a malha é refinada automaticamente para capturar com precisão o comportamento local Isso não apenas economiza tempo de computação mas também permite que análises mais detalhadas sejam realizadas em estruturas complexas VERUZ 2020 A precisão dos resultados também é significativamente aprimorada pelo uso de EFA Como a malha é adaptada às características da casca CST os resultados obtidos são mais confiáveis e representativos do comportamento real da estrutura Isso é particularmente importante em situações em que pequenas variações locais podem ter um impacto significativo no desempenho da estrutura A matemática por trás dos Elementos Finitos Adaptativos é complexa mas podemos esboçar algumas equações e conceitoschave que são relevantes para entender como essas técnicas funcionam Critério de RefinamentoCoarsening A decisão de quando refinir ou coarsen a malha é baseada em critérios específicos como o erro estimado na solução Um critério comum é a estimativa de erro de ZienkiewiczZhu ZZ que se baseia nas diferenças entre as soluções aproximadas em malhas diferentes Se o erro estimado exceder um limite definido a malha é refinada caso contrário é coarsened 𝑍𝑍 1 2 𝑒 𝑅𝑒 2 Interpolação de Campos A interpolação é fundamental na análise de cascas CST Os campos de deslocamento tensão e deformação são interpolados nos nós dos elementos usando funções de forma Para cascas CST é comum usar funções de forma baseadas em coordenadas cilíndricas ou esféricas dependendo da geometria da casca 𝑢𝑥 𝑦 𝑧 𝑁𝑖𝑥 𝑦 𝑧𝑢𝑖 Integração Numérica A integração numérica é usada para calcular as contribuições de cada elemento para as equações de equilíbrio No contexto das cascas CST a integração é realizada em coordenadas cilíndricas ou esféricas dependendo da geometria da casca FERREIRA 2017 8 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑁𝑖𝑥 𝑦 𝑧𝑁𝑗𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑉 O processo de refinamento adaptativo de malha envolve a análise iterativa da estrutura onde a malha é refinada e coarsened de acordo com os critérios definidos até que a convergência seja alcançada Análise de Falhas em Casca CST com Elemento Finito As cascas são estruturas tridimensionais finas como cascos de navios tubulações e tanques de armazenamento submetidas a diversas condições de carga incluindo pressão interna ou externa flexão torção e cargas térmicas Qualquer falha nessas cascas pode ter consequências catastróficas tornando crucial o uso de métodos avançados como o Elemento Finito CST para prever rupturas DIAS 2014 Uma equação fundamental para a análise de tensão e deformação em um material elástico é a Equação de Lamé que relaciona a tensão σ e a deformação ε em um material Ela é expressa como σ λϵ 2µε O CST como parte da análise de Elementos Finitos utiliza essa equação para calcular as tensões e deformações em cascas sob várias condições de carga As cascas são suscetíveis a modos de instabilidade como o flambagem O CST é capaz de prever esses modos de instabilidade por meio da análise de tensões críticas como a tensão crítica de flambagem que pode ser σ𝑐𝑟 determinada usando a fórmula de Euler NEPOMUCENO 2015 σ𝑐𝑟 π 2 𝐸 𝑡 2 121 ν 2𝑅 2 A análise de cascas não se limita a cargas estáticas mas também considera condições dinâmicas e térmicas As equações de NavierStokes por exemplo são usadas para cascas sujeitas a cargas térmicas ou de fluido permitindo uma análise completa de falhas sob diferentes cenários ALVES 2017 A equação de conservação de massa para um fluido em uma casca é dada por ρt ρu 0 Onde 9 ρ é a densidade do fluido t é o tempo u é o vetor de velocidade do fluido é o operador divergente Essa equação expressa a conservação da massa do fluido ou seja a taxa de variação da densidade em um ponto é igual ao fluxo de massa dentro e fora desse ponto A equação de conservação do momento para um fluido em uma casca é dada por FONSECA 2002 ρut ρuu P τ ρg ρF Onde ρ é a densidade do fluido t é o tempo u é o vetor de velocidade do fluido P é a pressão no fluido é o operador gradiente τ é o tensor de tensão viscosa g é o vetor aceleração devido à gravidade F representa forças externas aplicadas ao fluido Essa equação descreve a relação entre a taxa de variação do momento no fluido e as forças que atuam sobre ele incluindo a pressão a tensão viscosa a gravidade e quaisquer forças externas Essas equações são fundamentais para a análise de fluidos em cascas e permitem considerar uma ampla gama de condições incluindo cargas térmicas e de fluido Elas desempenham um papel crucial na análise completa de falhas e no design seguro de estruturas de cascas em ambientes que envolvem fluidos como tanques de armazenamento cascos de navios e tubulações WESTIN RIBEIRO Aplicações Industriais do Elemento Finito CST Na indústria aeroespacial a busca por aeronaves mais leves e eficientes é constante O CST desempenha um papel crucial no projeto de componentes estruturais como asas e fuselagens por meio da análise de tensões deformações e vibrações A equação de tensão de von Mises é fundamental FONSECA 2002 10 σ σx σy² σy σz² σz σx² 2 O CST também é usado na análise de fadiga permitindo que os engenheiros identifiquem áreas críticas de tensão e evitem falhas prematuras No setor automotivo a redução de peso e a melhoria na eficiência são cruciais para atender aos padrões de emissões e economia de combustível O CST é utilizado para otimizar componentes como chassis e carrocerias através de análises de resistência e rigidez A equação de deformação elástica é fundamental ε σ E Onde ε representa a deformação σ a tensão e E o módulo de elasticidade do material O CST também auxilia na simulação de colisões e testes de segurança contribuindo para o desenvolvimento de veículos mais seguros Em projetos de estruturas navais como navios e plataformas offshore a resistência às condições adversas do mar é fundamental O CST é empregado para analisar a resposta de estruturas a ondas ventos e cargas dinâmicas A equação de onda é relevante para essas análises AZEVEDO 2003 ²η t² c²²η Onde η representa a elevação da superfície da água e c é a velocidade de propagação da onda O CST permite projetar estruturas robustas capazes de suportar as condições marítimas mais severas NEPOMUCENO 2015 Uma das principais vantagens do CST é a capacidade de otimizar projetos Isso é feito através da análise de sensibilidade que envolve a variação de parâmetros de projeto para determinar seu impacto nas características desejadas como resistência peso ou custo Equações de derivadas parciais são usadas para calcular as taxas de variação F x limΔx0 Fx Δx Fx Δx Essa análise permite que engenheiros ajustem projetos de forma eficaz economizando tempo e recursos Desenvolvimentos Recentes em Elementos Finitos CST Nos últimos anos o Método dos Elementos Finitos MEF tem passado por um processo contínuo de evolução e aprimoramento com uma série de desenvolvimentos notáveis especialmente no contexto dos Elementos Finitos de 11 Contorno também conhecidos como CST do inglês Collocation Method for the Solution of Partial Differential Equations Uma das áreas de pesquisa mais ativas envolve o desenvolvimento de novos algoritmos de CST destinados a melhorar a eficiência computacional e a precisão das soluções obtidas Estes algoritmos incluem técnicas avançadas de discretização como a utilização de funções de forma mais refinadas que permitem representar geometrias complexas com maior precisão Além disso métodos de integração numérica mais precisos têm sido incorporados para lidar com integrais que surgem na formulação do CST Uma das equações fundamentais no CST é a equação de Laplace que descreve a difusão de temperatura potencial elétrico ou outras grandezas escalar Ela é representada pela seguinte fórmula ²Φ 0 Onde ² é o operador Laplaciano e Φ é a grandeza escalar de interesse Esta equação descreve a distribuição de Φ em um domínio com condições de contorno especificadas Além dos avanços nos algoritmos de CST temos visto uma crescente integração com a simulação multifísica Isso envolve a combinação de CST com outros métodos numéricos para abordar problemas que envolvem acoplamento entre diferentes fenômenos físicos Por exemplo a simulação de fenômenos eletromagnéticos e térmicos em dispositivos eletrônicos requer a integração de CST com a Eletromagnetismo de Maxwell e a transferência de calor Isso leva à formulação de sistemas de equações acopladas que precisam ser resolvidos de forma eficiente FONSECA 2002 Uma das equações fundamentais na simulação eletromagnética é a equação de Maxwell que descreve a propagação das ondas eletromagnéticas Ela é representada por H J Dt E Bt Onde H e E são os campos magnético e elétrico respectivamente J é a densidade de corrente D é a densidade de fluxo elétrico e B é a densidade de fluxo magnético Outra tendência notável é a aplicação emergente de CST em campos diversos desde engenharia estrutural até ciências biomédicas Por exemplo na 12 análise de estruturas complexas como asas de aeronaves o CST tem se mostrado uma ferramenta valiosa para a análise de tensões e deformações Da mesma forma na modelagem de processos de difusão em tecidos biológicos o CST tem sido usado para estudar a distribuição de substâncias químicas No contexto da análise estrutural uma equaçãochave é a equação de elasticidade linear que descreve a deformação de um material sólido Ela é representada por σ Cε Onde σ é o tensor de tensão C é o tensor de elasticidade e ε é o tensor de deformação Essa equação relaciona as tensões internas em um material às deformações que ele sofre AZEVEDO 2003 REFERÊNCIAS AZEVEDO Álvaro F M Método dos Elementos Finitos Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto 2003 ALVES Fábio Teller Análise Estrutural de Casca com o Elemento Finito CSTDKT Universidade Federal do Rio de Janeiro 2017 DIAS Nestor Juvenal Gianotti Terra Uma Formulação Alternativa e Enriquecida para Elementos do Tipo Hermitiano 2Simplex Joinville SC 2014 Universidade do Estado de Santa Catarina FERREIRA Tiago José Análise Numérica de Sólidos Axissimétricos via MEF Aplicação em Elementos de Concreto de Aço e Mistos de Aço e Concreto Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas 2017 FONSECA Jun Ferramentas de Simulação em Mecânica Elementos Finitos IFSUL 2002 NEPOMUCENO Erivelton Geraldo Método dos Elementos Finitos Universidade de João DelRei 2015 13 OLIVEIRA Vinicius Moura de Estudo e Desenvolvimento de Código Computacional para Análise de Chapas Utilizando Elementos Finitos CST e CSQ Trabalho de Conclusão de Curso Bacharelado em Engenharia Civil Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campo Mourão 2019 SILVA Sebastião Simão da Utilização de Elementos Finitos de Alta Performance e da Formulação CoRotacional na Análise Inelástica de Placas e Lâminas Universidade de Brasília 2019 VERUZ Edilson Gabriel Método dos Elementos Finitos Utilizando Funções de Forma de Alta Ordem Aplicadas em Estruturas em Estado Plano de Tensão Guarapuava 2020 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Coordenação de Engenharia Mecânica Engenharia Mecânica WESTIN Michelle Fernandino RIBEIRO Rafael Teixeira da Silva Método Dos Elementos Finitos na Simulação de Tensão e Elasticidade Em Placas Disponível em http1501642515gaalaplicacoeselementosfinitospdf 1 ELEMENTO FINITO CST Modelagem de Casca com Elemento Finito CST A modelagem de cascas com o Método dos Elementos Finitos MEF é uma técnica poderosa e versátil utilizada na análise estrutural de estruturas finas e delgadas como cascos de navios cascas de aeronaves tanques de armazenamento entre outros O MEF é um método numérico que divide a estrutura em elementos finitos como triângulos ou quadriláteros e resolve equações diferenciais parciais que descrevem o comportamento das cascas Nesse contexto o CST Cascas Placas e Sólidos é um software amplamente utilizado para realizar análises de cascas com elementos finitos ALVES 2017 A abordagem do MEF para modelagem de cascas é baseada na discretização da casca em elementos finitos Cada elemento finito representa uma parte da casca e é definido por nós que possuem coordenadas espaciais e graus de liberdade associados As equações do MEF são aplicadas a cada elemento e nó levando em consideração as propriedades do material as condições de contorno e as cargas aplicadas Essas equações são então montadas em um sistema global e resolvidas numericamente para obter as deformações tensões e deslocamentos na casca SILVA 2019 Uma das vantagens do MEF na modelagem de cascas é sua capacidade de lidar com geometrias complexas e diferentes tipos de carregamentos Além disso o CST é um software que simplifica muito o processo de criação e análise de modelos de cascas fornecendo ferramentas gráficas intuitivas e préprocessamento eficiente Isso torna o CST uma escolha popular entre engenheiros e analistas que trabalham com cascas No entanto existem algumas desvantagens a serem consideradas A modelagem de cascas com o MEF pode ser computacionalmente intensiva especialmente para cascas grandes e complexas exigindo hardware poderoso e tempo de processamento significativo Além disso a escolha dos elementos finitos e a discretização da casca podem afetar a precisão dos resultados tornando importante a validação e verificação cuidadosa dos modelos As equações fundamentais usadas na modelagem de cascas com o MEF incluem a equação da teoria das cascas que descreve o comportamento da casca 2 sob cargas e a equação de equilíbrio que leva em consideração as forças internas e as cargas externas aplicadas Para cascas delgadas a equação da teoria das cascas pode ser aproximada usando a teoria de primeira ordem de Kirchhoff que assume que as deformações transversais são negligenciáveis Um dos desafios na modelagem de cascas é a escolha adequada dos elementos finitos Elementos de casca como elementos de membrana e elementos de flexão são frequentemente usados para representar diferentes aspectos do comportamento da casca Esses elementos possuem funções de forma e matrizes de rigidez específicas que são usadas para montar as equações do MEF A modelagem de cascas com o Método dos Elementos Finitos incorporando o CST é uma abordagem poderosa para analisar e projetar estruturas finas e delgadas Ela oferece a capacidade de lidar com geometrias complexas e diversos tipos de carregamentos mas também apresenta desafios computacionais e requer cuidados na escolha dos elementos finitos e na validação dos modelos No entanto quando aplicada corretamente essa abordagem pode ser uma ferramenta valiosa para engenheiros e analistas na análise de cascas e outras estruturas semelhantes OLIVEIRA 2019 Análise de Casca de Materiais Compostos com CST A análise de casca de materiais compostos desempenha um papel crucial em diversas indústrias como aeroespacial automotiva e naval Materiais compostos como fibras de carbono e materiais laminados são amplamente utilizados devido às suas excelentes propriedades de resistência e leveza No entanto a análise desses materiais requer métodos especializados devido à sua complexidade estrutural Neste contexto o Elemento Finito CST Composite Shell Theory desempenha um papel fundamental Para entender a aplicação do CST em materiais compostos é necessário primeiro considerar as propriedades dos materiais Os materiais compostos são formados por uma matriz e reforços No caso das fibras de carbono a matriz geralmente é composta de polímeros enquanto as fibras de carbono atuam como reforços A distribuição orientação e volume das fibras de carbono na matriz influenciam significativamente as propriedades do material como resistência à tração módulo de elasticidade e resistência ao cisalhamento ALVES 2017 3 Essas propriedades não são uniformes em todas as direções o que torna a análise mais complexa do que a de materiais isotrópicos como metais Portanto o CST é uma abordagem valiosa pois leva em consideração essa anisotropia O CST usa equações baseadas na teoria das cascas para modelar a resposta estrutural dos materiais compostos Essas equações são elaboradas e levam em conta as características específicas dos materiais incluindo suas propriedades anisotrópicas Uma equação fundamental usada na análise de cascas de materiais compostos é a equação da flexão de casca que relaciona as tensões e deformações na casca Para um material composto essa equação leva em consideração a matriz elástica do material e sua orientação em relação à casca A equação pode ser expressa da seguinte forma M xD 11ϵ xD12ϵ yD16 γ xy Aqui M x representa o momento fletor na direção x ϵ x e ϵ y são as deformações na direção x e y respectivamente e γ xy é a deformação de cisalhamento Os coeficientes D11 D12 e D16 são componentes da matriz elástica do material composto e dependem das propriedades do material e da orientação das fibras Além da equação de flexão de casca o CST também utiliza equações para levar em consideração o comportamento de membrana da casca tensões e deformações nas direções do plano da casca e o comportamento de cisalhamento deformações de cisalhamento na casca Todas essas equações levam em consideração as propriedades anisotrópicas do material composto tornando o CST uma ferramenta poderosa para análise FERREIRA 2017 A equação de membrana lida com as tensões e deformações que ocorrem nas direções do plano da casca ou seja ao longo das coordenadas x e y da superfície da casca Ela pode ser representada da seguinte forma N xQ11ϵ xQ12ϵ yQ16γ xy N yQ12ϵ xQ22 ϵ yQ 26γ xy N xy6ϵ xQ 26ϵ yQ66 γ xy A equação de cisalhamento considera as deformações de cisalhamento que ocorrem na espessura da casca Ela pode ser representada da seguinte forma κxT11ϵ xT 12ϵ yT 16 γ xy 4 κ yT 12ϵ xT 22ϵ yT 26γ xy κxyT16 ϵ xT 26ϵ yT 66 γ xy A abordagem do Elemento Finito CST divide a casca do material composto em elementos finitos menores permitindo a análise localizada das tensões e deformações Isso é crucial pois os materiais compostos frequentemente têm áreas críticas que requerem atenção especial como bordas de laminados e áreas de carregamento concentrado Cada elemento finito é tratado como uma pequena casca e as equações CST são aplicadas localmente para calcular as respostas SILVA 2019 A análise de casca de materiais compostos muitas vezes envolve a consideração de interfaces entre camadas de materiais diferentes Isso é fundamental em laminados onde várias camadas de materiais compostos são empilhadas em configurações específicas A interface entre essas camadas pode afetar significativamente o comportamento estrutural global do componente O CST também lida com essa complexidade modelando as interfaces de forma adequada DIAS 2014 A análise de casca de materiais compostos com o Elemento Finito CST é uma abordagem poderosa para lidar com as complexidades inerentes a esses materiais Leva em consideração as propriedades anisotrópicas dos materiais compostos utiliza equações de casca elaboradas e divide a estrutura em elementos finitos para fornecer uma análise detalhada e precisa das tensões e deformações Isso é fundamental para garantir a segurança e o desempenho de componentes fabricados com materiais compostos em diversas aplicações industriais Validação e Verificação do Elemento Finito CST A validação e verificação são etapas cruciais no processo de análise por elementos finitos FEA na sigla em inglês especialmente quando se utiliza o Método dos Elementos Finitos CST Constant Strain Triangle para modelagem e simulação Essas etapas são essenciais para garantir que os resultados obtidos por meio do CST sejam precisos e confiáveis pois qualquer discrepância entre as simulações e os resultados experimentais pode levar a decisões inadequadas em projetos e análises VERUZ 2020 5 A validação é o processo de verificar se o modelo FEA e o software utilizado reproduzem com precisão o comportamento físico do sistema em análise Uma abordagem comum para a validação do CST é comparar os resultados de simulação com dados experimentais Suponhamos por exemplo um caso de análise de tensão em uma placa sujeita a carregamentos conhecidos As equações de tensão em elementos finitos CST podem ser expressas da seguinte forma DIAS 2014 σ x2F x L 2 σ y2F y L 2 τ xy2 Fz L 2 Para validar podese calcular essas tensões teóricas e comparálas com as obtidas por meio da simulação FEA Caso haja uma concordância satisfatória entre os resultados a validação está em curso No entanto a verificação vai além disso A verificação diz respeito à avaliação da precisão numérica do modelo FEA Isso inclui a verificação das configurações da malha ou mesh usada para discretizar a geometria o número de elementos finitos utilizados e a precisão das soluções obtidas Uma técnica comum é a análise da convergência onde o número de elementos e o refinamento da malha são progressivamente aumentados e os resultados são comparados para verificar se as soluções convergem para um valor estável OLIVEIRA 2019 Uma fórmula relevante para a verificação da precisão é o Erro de Discretização Eh que pode ser calculado usando a norma de energia Eh Se o erro de discretização for pequeno geralmente abaixo de um valor aceitável isso indica que o modelo FEA está fornecendo resultados precisos Para ilustrar essa abordagem considere um estudo de caso em que um componente mecânico como uma viga está sendo analisado quanto às suas deformações sob um carregamento conhecido A validação e verificação envolvem comparar as deformações calculadas pelo CST com medições experimentais das deformações sob as mesmas condições de carregamento Qualquer discrepância entre os resultados requer uma investigação mais aprofundada para determinar se 6 ela decorre de erros no modelo FEA ou de outras fontes de imprecisão nos dados experimentais Elementos Finitos Adaptativos em Casca CST A análise de cascas em particular as cascas CST Circular Cilíndrica e Esférica é um campo importante na engenharia estrutural e a utilização de Elementos Finitos Adaptativos EFA representa uma abordagem avançada para melhorar a precisão e a eficiência computacional na análise dessas estruturas complexas A análise de cascas CST é uma parte fundamental do projeto de estruturas em muitos setores incluindo aeroespacial naval e civil Essas cascas são frequentemente submetidas a carregamentos complexos e variáveis tornando essencial uma análise detalhada e precisa No entanto a modelagem numérica dessas estruturas pode ser desafiadora devido à sua geometria complexa e à necessidade de representar com precisão o comportamento das cascas em diferentes pontos DIAS 2014 A abordagem tradicional de Elementos Finitos EF envolve a discretização da casca CST em uma malha finita de elementos No entanto a precisão dos resultados obtidos depende da qualidade da malha e da densidade de elementos utilizada Em áreas críticas uma malha mais fina é necessária para capturar as variações locais de tensão e deformação enquanto em áreas menos críticas uma malha mais grossa pode ser suficiente Esse compromisso entre precisão e eficiência computacional é um desafio comum na análise de cascas CST ALVES 2017 É nesse contexto que os Elementos Finitos Adaptativos entram em jogo O EFA é uma técnica que permite que a malha seja refinada ou coarsened automaticamente durante a análise direcionando recursos computacionais para áreas onde são mais necessários Isso é feito monitorando as grandezas de interesse como tensões ou deformações e ajustando a malha de acordo Uma das principais vantagens do uso de EFA na análise de cascas CST é a economia de recursos computacionais Em áreas onde a deformação ou tensão é baixa os elementos da malha podem ser coarsened reduzindo a carga computacional Por outro lado em áreas críticas a malha é refinada 7 automaticamente para capturar com precisão o comportamento local Isso não apenas economiza tempo de computação mas também permite que análises mais detalhadas sejam realizadas em estruturas complexas VERUZ 2020 A precisão dos resultados também é significativamente aprimorada pelo uso de EFA Como a malha é adaptada às características da casca CST os resultados obtidos são mais confiáveis e representativos do comportamento real da estrutura Isso é particularmente importante em situações em que pequenas variações locais podem ter um impacto significativo no desempenho da estrutura A matemática por trás dos Elementos Finitos Adaptativos é complexa mas podemos esboçar algumas equações e conceitoschave que são relevantes para entender como essas técnicas funcionam Critério de RefinamentoCoarsening A decisão de quando refinir ou coarsen a malha é baseada em critérios específicos como o erro estimado na solução Um critério comum é a estimativa de erro de ZienkiewiczZhu ZZ que se baseia nas diferenças entre as soluções aproximadas em malhas diferentes Se o erro estimado exceder um limite definido a malha é refinada caso contrário é coarsened ZZ1 2 e Re 2 Interpolação de Campos A interpolação é fundamental na análise de cascas CST Os campos de deslocamento tensão e deformação são interpolados nos nós dos elementos usando funções de forma Para cascas CST é comum usar funções de forma baseadas em coordenadas cilíndricas ou esféricas dependendo da geometria da casca ux y zNix y zui Integração Numérica A integração numérica é usada para calcular as contribuições de cada elemento para as equações de equilíbrio No contexto das cascas CST a integração é realizada em coordenadas cilíndricas ou esféricas dependendo da geometria da casca FERREIRA 2017 element Nix y z N jx y zdV O processo de refinamento adaptativo de malha envolve a análise iterativa da estrutura onde a malha é refinada e coarsened de acordo com os critérios definidos até que a convergência seja alcançada 8 Análise de Falhas em Casca CST com Elemento Finito As cascas são estruturas tridimensionais finas como cascos de navios tubulações e tanques de armazenamento submetidas a diversas condições de carga incluindo pressão interna ou externa flexão torção e cargas térmicas Qualquer falha nessas cascas pode ter consequências catastróficas tornando crucial o uso de métodos avançados como o Elemento Finito CST para prever rupturas DIAS 2014 Uma equação fundamental para a análise de tensão e deformação em um material elástico é a Equação de Lamé que relaciona a tensão σ e a deformação ε em um material Ela é expressa como σλϵ 2 με O CST como parte da análise de Elementos Finitos utiliza essa equação para calcular as tensões e deformações em cascas sob várias condições de carga As cascas são suscetíveis a modos de instabilidade como o flambagem O CST é capaz de prever esses modos de instabilidade por meio da análise de tensões críticas como a tensão crítica de flambagem σ cr que pode ser determinada usando a fórmula de Euler NEPOMUCENO 2015 σ cr π 2 Et 2 121ν 2R 2 A análise de cascas não se limita a cargas estáticas mas também considera condições dinâmicas e térmicas As equações de NavierStokes por exemplo são usadas para cascas sujeitas a cargas térmicas ou de fluido permitindo uma análise completa de falhas sob diferentes cenários ALVES 2017 A equação de conservação de massa para um fluido em uma casca é dada por ρ t ρu 0 Onde ρ é a densidade do fluido t é o tempo u é o vetor de velocidade do fluido é o operador divergente 9 Essa equação expressa a conservação da massa do fluido ou seja a taxa de variação da densidade em um ponto é igual ao fluxo de massa dentro e fora desse ponto A equação de conservação do momento para um fluido em uma casca é dada por FONSECA 2002 ρ u t ρu u P τ ρg ρF Onde ρ é a densidade do fluido t é o tempo u é o vetor de velocidade do fluido P é a pressão no fluido é o operador gradiente τ é o tensor de tensão viscosa g é o vetor aceleração devido à gravidade F representa forças externas aplicadas ao fluido Essa equação descreve a relação entre a taxa de variação do momento no fluido e as forças que atuam sobre ele incluindo a pressão a tensão viscosa a gravidade e quaisquer forças externas Essas equações são fundamentais para a análise de fluidos em cascas e permitem considerar uma ampla gama de condições incluindo cargas térmicas e de fluido Elas desempenham um papel crucial na análise completa de falhas e no design seguro de estruturas de cascas em ambientes que envolvem fluidos como tanques de armazenamento cascos de navios e tubulações WESTIN RIBEIRO Aplicações Industriais do Elemento Finito CST Na indústria aeroespacial a busca por aeronaves mais leves e eficientes é constante O CST desempenha um papel crucial no projeto de componentes estruturais como asas e fuselagens por meio da análise de tensões deformações e vibrações A equação de tensão de von Mises é fundamental FONSECA 2002 σ σx σy² σy σz² σz σx² 2 O CST também é usado na análise de fadiga permitindo que os engenheiros identifiquem áreas críticas de tensão e evitem falhas prematuras 10 No setor automotivo a redução de peso e a melhoria na eficiência são cruciais para atender aos padrões de emissões e economia de combustível O CST é utilizado para otimizar componentes como chassis e carrocerias através de análises de resistência e rigidez A equação de deformação elástica é fundamental ε σ E Onde ε representa a deformação σ a tensão e E o módulo de elasticidade do material O CST também auxilia na simulação de colisões e testes de segurança contribuindo para o desenvolvimento de veículos mais seguros Em projetos de estruturas navais como navios e plataformas offshore a resistência às condições adversas do mar é fundamental O CST é empregado para analisar a resposta de estruturas a ondas ventos e cargas dinâmicas A equação de onda é relevante para essas análises AZEVEDO 2003 ²η t² c² ²η Onde η representa a elevação da superfície da água e c é a velocidade de propagação da onda O CST permite projetar estruturas robustas capazes de suportar as condições marítimas mais severas NEPOMUCENO 2015 Uma das principais vantagens do CST é a capacidade de otimizar projetos Isso é feito através da análise de sensibilidade que envolve a variação de parâmetros de projeto para determinar seu impacto nas características desejadas como resistência peso ou custo Equações de derivadas parciais são usadas para calcular as taxas de variação F x limΔx 0 Fx Δx Fx Δx Essa análise permite que engenheiros ajustem projetos de forma eficaz economizando tempo e recursos Desenvolvimentos Recentes em Elementos Finitos CST Nos últimos anos o Método dos Elementos Finitos MEF tem passado por um processo contínuo de evolução e aprimoramento com uma série de desenvolvimentos notáveis especialmente no contexto dos Elementos Finitos de Contorno também conhecidos como CST do inglês Collocation Method for the Solution of Partial Differential Equations 11 Uma das áreas de pesquisa mais ativas envolve o desenvolvimento de novos algoritmos de CST destinados a melhorar a eficiência computacional e a precisão das soluções obtidas Estes algoritmos incluem técnicas avançadas de discretização como a utilização de funções de forma mais refinadas que permitem representar geometrias complexas com maior precisão Além disso métodos de integração numérica mais precisos têm sido incorporados para lidar com integrais que surgem na formulação do CST Uma das equações fundamentais no CST é a equação de Laplace que descreve a difusão de temperatura potencial elétrico ou outras grandezas escalar Ela é representada pela seguinte fórmula ²Φ 0 Onde ² é o operador Laplaciano e Φ é a grandeza escalar de interesse Esta equação descreve a distribuição de Φ em um domínio com condições de contorno especificadas Além dos avanços nos algoritmos de CST temos visto uma crescente integração com a simulação multifísica Isso envolve a combinação de CST com outros métodos numéricos para abordar problemas que envolvem acoplamento entre diferentes fenômenos físicos Por exemplo a simulação de fenômenos eletromagnéticos e térmicos em dispositivos eletrônicos requer a integração de CST com a Eletromagnetismo de Maxwell e a transferência de calor Isso leva à formulação de sistemas de equações acopladas que precisam ser resolvidos de forma eficiente FONSECA 2002 Uma das equações fundamentais na simulação eletromagnética é a equação de Maxwell que descreve a propagação das ondas eletromagnéticas Ela é representada por H J D t E B t Onde H e E são os campos magnético e elétrico respectivamente J é a densidade de corrente D é a densidade de fluxo elétrico e B é a densidade de fluxo magnético Outra tendência notável é a aplicação emergente de CST em campos diversos desde engenharia estrutural até ciências biomédicas Por exemplo na análise de estruturas complexas como asas de aeronaves o CST tem se mostrado 12 uma ferramenta valiosa para a análise de tensões e deformações Da mesma forma na modelagem de processos de difusão em tecidos biológicos o CST tem sido usado para estudar a distribuição de substâncias químicas No contexto da análise estrutural uma equaçãochave é a equação de elasticidade linear que descreve a deformação de um material sólido Ela é representada por σ Cε Onde σ é o tensor de tensão C é o tensor de elasticidade e ε é o tensor de deformação Essa equação relaciona as tensões internas em um material às deformações que ele sofre AZEVEDO 2003 REFERÊNCIAS AZEVEDO Álvaro F M Método dos Elementos Finitos Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto 2003 ALVES Fábio Teller Análise Estrutural de Casca com o Elemento Finito CSTDKT Universidade Federal do Rio de Janeiro 2017 DIAS Nestor Juvenal Gianotti Terra Uma Formulação Alternativa e Enriquecida para Elementos do Tipo Hermitiano 2Simplex Joinville SC 2014 Universidade do Estado de Santa Catarina FERREIRA Tiago José Análise Numérica de Sólidos Axissimétricos via MEF Aplicação em Elementos de Concreto de Aço e Mistos de Aço e Concreto Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas 2017 FONSECA Jun Ferramentas de Simulação em Mecânica Elementos Finitos IFSUL 2002 NEPOMUCENO Erivelton Geraldo Método dos Elementos Finitos Universidade de João DelRei 2015 13 OLIVEIRA Vinicius Moura de Estudo e Desenvolvimento de Código Computacional para Análise de Chapas Utilizando Elementos Finitos CST e CSQ Trabalho de Conclusão de Curso Bacharelado em Engenharia Civil Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campo Mourão 2019 SILVA Sebastião Simão da Utilização de Elementos Finitos de Alta Performance e da Formulação CoRotacional na Análise Inelástica de Placas e Lâminas Universidade de Brasília 2019 VERUZ Edilson Gabriel Método dos Elementos Finitos Utilizando Funções de Forma de Alta Ordem Aplicadas em Estruturas em Estado Plano de Tensão Guarapuava 2020 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Coordenação de Engenharia Mecânica Engenharia Mecânica WESTIN Michelle Fernandino RIBEIRO Rafael Teixeira da Silva Método Dos Elementos Finitos na Simulação de Tensão e Elasticidade Em Placas Disponível em http1501642515gaalaplicacoeselementosfinitospdf