Notas de Aula sobre o Método dos Elementos Finitos - Elemento Tetraédrico de Quatro Nós

Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 1 1 Capítulo 09 ELEMENTO TETRAÉDRICO DE QUATRO NÓS 91 INTRODUÇÃO Até agora estudouse a aplicação de elementos finitos em modelos simplificados em duas dimensões e para tanto utilizouse elementos de barra de treliça e triangular CST Entretanto vários problemas de engenharia são tridimensionais Figura 91 Figura 91 Modelos mecânicos discretizados com elementos tridimensionais Fonte Kim Sankar e Kumar 2017 Atualmente existe uma grande variedade de elementos complexos tridimensionais disponíveis Figura 92 Neste capítulo a formulação do elemento tetraédrico linear de quatros nós é discutida em detalhes Figura 92 Elementos finitos tridimensionais Tetraédricos Hexaédricos Penta Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 2 2 92 ELEMENTO TETRAÉDRICO DE 4 NÓS 921 DEDUÇÃO DAS FUNÇÕES DE FORMA O elemento sólido 3D mais simples é o elemento tetraédrico mostrado na Figura 93 Cada nó agora tem três graus de liberdade x y z Figura 93 Elemento finito tetraédrico de 4 nós Denotase as funções de campo isto é os deslocamentos com 𝑢 𝑣 e 𝑤 nas direções 𝑥 𝑦 e 𝑧 respectivamente Portanto o número dos graus de liberdade é quatro nós três direções 12 As funções de deslocamento para este elemento são 𝑢𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 91 𝑣𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 92 𝑤𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎9 𝑎10 𝑎11 𝑎12 93 Como se procedeu no Capítulo 8 podese obter os coeficientes 𝑎𝑖𝑠 substituindose nas Eq 91 à 93 as coordenadas nodais conhecidas 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑧4 e os deslocamentos nodais desconhecidos 𝑢1 𝑣1 𝑤1 𝑤4 Após operações algébricas equivalente as realizadas entre as Eq 816 à 827 do Cap 8 têmse 𝑢𝑥 𝑦 𝑧 1 6𝑉 𝛼1 𝛽1𝑥 𝛾1𝑦 𝛿1𝑧𝑢1 𝛼2 𝛽2𝑥 𝛾2𝑦 𝛿2𝑧𝑢2 𝛼3 𝛽3𝑥 𝛾3𝑦 𝛿3𝑧𝑢3 𝛼4 𝛽4𝑥 𝛾4𝑦 𝛿4𝑧𝑢4 94 em que 6𝑉 é obtido por meio do cálculo do seguinte determinante 6𝑉 1 𝑥1 𝑦1 𝑧1 1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 1 𝑥3 𝑥4 𝑦3 𝑧3 𝑦4 𝑧4 95 e 𝑉 representa o volume do tetraedo Os coeficientes 𝛼𝑖 𝛽𝑖 𝛾𝑖 e 𝛿𝑖 𝑖 1 2 3 4 na Equação 94 são dados por Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 3 3 𝛼1 𝑑𝑒𝑡 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 𝑥4 𝑦4 𝑧4 𝛽1 𝑑𝑒𝑡 1 𝑦2 𝑧2 1 𝑦3 𝑧3 1 𝑦4 𝑧4 𝛾1 𝑑𝑒𝑡 1 𝑥2 𝑧2 1 𝑥3 𝑧3 1 𝑥4 𝑧4 𝛿1 𝑑𝑒𝑡 1 𝑥2 𝑦2 1 𝑥3 𝑦3 1 𝑥4 𝑦4 96 e 𝛼2 𝑑𝑒𝑡 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥3 𝑦3 𝑧3 𝑥4 𝑦4 𝑧4 𝛽2 𝑑𝑒𝑡 1 𝑦1 𝑧1 1 𝑦3 𝑧3 1 𝑦4 𝑧4 𝛾2 𝑑𝑒𝑡 1 𝑥1 𝑧1 1 𝑥3 𝑧3 1 𝑥4 𝑧4 𝛿2 𝑑𝑒𝑡 1 𝑥1 𝑦1 1 𝑥3 𝑦3 1 𝑥4 𝑦4 97 e 𝛼3 𝑑𝑒𝑡 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥4 𝑦4 𝑧4 𝛽3 𝑑𝑒𝑡 1 𝑦1 𝑧1 1 𝑦2 𝑧2 1 𝑦4 𝑧4 𝛾3 𝑑𝑒𝑡 1 𝑥1 𝑧1 1 𝑥2 𝑧2 1 𝑥4 𝑧4 𝛿3 𝑑𝑒𝑡 1 𝑥1 𝑦1 1 𝑥2 𝑦2 1 𝑥4 𝑦4 98 e 𝛼4 𝑑𝑒𝑡 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 𝛽4 𝑑𝑒𝑡 1 𝑦1 𝑧1 1 𝑦2 𝑧2 1 𝑦3 𝑧3 𝛾4 𝑑𝑒𝑡 1 𝑥1 𝑧1 1 𝑥2 𝑧2 1 𝑥3 𝑧3 𝛿4 𝑑𝑒𝑡 1 𝑥1 𝑦1 1 𝑥2 𝑦2 1 𝑥3 𝑦3 99 As expressões para 𝑣 e 𝑤 são obtidas simplesmente substituindo por 𝑣𝑖𝑠 para todos os 𝑢𝑖𝑠 e depois por 𝑤𝑖𝑠 por todos os 𝑢𝑖𝑠 respectivamente na Equação 94 A expressão de deslocamento para 𝑢 dada pela Equação 94 com expressões semelhantes para 𝑣 e 𝑤 pode ser escrita de forma equivalente na forma expandida em termos das funções de forma e deslocamentos nodais desconhecidos como 𝑢 𝑣 𝑤 𝑁1 0 0 0 𝑁1 0 0 0 𝑁1 𝑁2 0 0 0 𝑁2 0 0 0 𝑁2 𝑁3 0 0 0 𝑁3 0 0 0 𝑁3 𝑁4 0 0 0 𝑁4 0 0 0 𝑁4 𝑢1 𝑣1 𝑤1 𝑣4 𝑤4 910 em que 𝑁𝑖 são as chamadas funções de forma dadas por 𝑁1 1 6𝑉 𝛼1 𝛽1𝑥 𝛾1𝑦 𝛿1𝑧 𝑁2 1 6𝑉 𝛼2 𝛽2𝑥 𝛾2𝑦 𝛿2𝑧 911 𝑁3 1 6𝑉 𝛼3 𝛽3𝑥 𝛾3𝑦 𝛿3𝑧 𝑁4 1 6𝑉 𝛼4 𝛽4𝑥 𝛾4𝑦 𝛿4𝑧 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 4 4 922 RELAÇÃO DEFORMAÇÃODESLOCAMENTO MATRIZ B No estado tridimensional de tensão as deformações em um ponto de um sólido é expressa por 𝜺 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑦𝑧 𝛾𝑧𝑥 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 𝑤 𝑧 𝑢 𝑦 𝑣 𝑥 𝑣 𝑧 𝑤 𝑦 𝑤 𝑥 𝑢 𝑧 912 Substituindo a Equação 910 na Equação 912 obtémse a seguinte relação 𝜺 𝒖 913 em que é o operador linear 𝑥 0 0 0 𝑦 0 0 0 𝑧 0 𝑧 𝑦 𝑧 0 𝑥 914 Substituindo a Equação 910 em que 𝒖 𝑵𝒅 na Equação 913 obtêmse 𝜺 𝑩𝒅 915 em que 𝒅 é o vetor de deslocamentos nodais e 𝑩 é a matriz que relaciona as deformações com os delocamentos nodais sendo dada por 𝑩 𝑁1 𝑥 0 0 0 𝑁1 𝑦 0 0 0 𝑁1 𝑧 𝑁1 𝑦 𝑁1 𝑥 0 0 𝑁1 𝑧 𝑁1 𝑦 𝑁1 𝑧 0 𝑁1 𝑥 𝑁2 𝑥 0 0 0 𝑁2 𝑦 0 0 0 𝑁2 𝑧 𝑁2 𝑦 𝑁2 𝑥 0 0 𝑁2 𝑧 𝑁2 𝑦 𝑁2 𝑧 0 𝑁2 𝑥 𝑁3 𝑥 0 0 0 𝑁3 𝑦 0 0 0 𝑁3 𝑧 𝑁3 𝑦 𝑁3 𝑥 0 0 𝑁3 𝑧 𝑁3 𝑦 𝑁3 𝑧 0 𝑁3 𝑥 𝑁4 𝑥 0 0 0 𝑁4 𝑦 0 0 0 𝑁4 𝑧 𝑁4 𝑦 𝑁4 𝑥 0 0 𝑁4 𝑧 𝑁4 𝑦 𝑁4 𝑧 0 𝑁4 𝑥 916 A matriz 𝑩 pode ser reescrita como sendo composta por quatro submatrizes sendo dada por Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 5 5 𝑩 𝑩1 𝑩2 𝑩3 𝑩4 917 Levando em conta as funções de forma dada na Equação 911 e realizando as derivadas parciais temse que 𝑩 1 6𝑉 𝛽1 0 0 0 𝛾1 0 0 0 𝛿1 𝛾1 𝛽1 0 0 𝛿1 𝛾1 𝛿1 0 𝛽1 𝛽2 0 0 0 𝛾2 0 0 0 𝛿2 𝛾2 𝛽2 0 0 𝛿2 𝛾2 𝛿2 0 𝛽2 𝛽3 0 0 0 𝛾3 0 0 0 𝛿3 𝛾3 𝛽3 0 0 𝛿3 𝛾3 𝛿3 0 𝛽3 𝛽4 0 0 0 𝛾4 0 0 0 𝛿4 𝛾4 𝛽4 0 0 𝛿4 𝛾4 𝛿4 0 𝛽4 918 923 RELAÇÃO TENSÃODEFORMAÇÃO Uma vez obtida as deformações por meio da Equação 915 as tensões em um ponto de um sólido 3D é dada por 𝝈 𝑫𝜺 919 em que 𝑫 é a matriz matriz constitutiva definida por 𝑫 𝐸 1𝜐12𝜐 1 𝜐 𝜐 𝜐 𝜐 1 𝜐 𝜐 𝜐 0 0 0 𝜐 0 0 0 1 𝜐 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12𝜐 2 0 0 0 0 12𝜐 2 0 0 0 0 12𝜐 2 920 e 𝝈 é um vetor que contém as componentes do tensor de tesão sendo dada por 𝝈 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 921 924 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO TETRAÉDRICO DE 4 NÓS Utilizando o princípio da energia potencial mínima podese obter as equações do elemento tetraédrico de quatro nós A energia potencial total dada por 𝜋𝑝 𝜋𝑝𝑢𝑖𝑣𝑖𝑢𝑗 𝑣𝑚 922 que é pode ser reescrita e expressa por 𝜋𝑝 𝑈 Ω𝑏 Ω𝑝 Ω𝑠 923 em que 𝑈 é a energia de deformação dada por Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 6 6 𝑈 1 2 𝑣 𝜺𝑇𝝈𝑑𝑉 1 2 𝑣 𝜺𝑇𝑫𝜺𝑑𝑉 924 Ω𝑏 é a energia potencial das forças de corpo Ω𝑏 𝒖𝑇 𝑣 𝑿 𝑑𝑉 925 sendo 𝑿 a matriz de peso específico Ω𝑝 é a energia potencial das cargas concentradas Ω𝑝 𝒅𝑇𝑷 926 Ω𝑠 é a energia potencial das cargas distribuidas dada por Ω𝑠 𝒖𝑇 𝑠 𝑻𝑠 𝑑𝑆 927 Levando em consideração a Equação 910 e 915 e substituindo as Equações 924 925 926 e 927 na Equação 923 resulta em 𝜋𝑝 1 2 𝒅𝑇 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝒅𝑑𝑉 𝒅𝑇 𝑣 𝑵𝑇𝑿𝑑𝑉 𝒅𝑇𝑷 𝒅𝑇𝑵𝑠 𝑇𝑻𝑠 𝑠 𝑑𝑆 928 que pode ser reescrita como 𝜋𝑝 1 2 𝒅𝑇 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑𝑉𝒅 𝒅𝑇 𝑣 𝑵𝑇𝑿𝑑𝑉 𝒅𝑇𝑷 𝒅𝑇 𝑵𝑠 𝑇𝑻𝑠 𝑠 𝑑𝑆 929 Observando os últimos três termos da Equação 929 concluise que o sistema de forças é expresso por 𝒇 𝑣 𝑵𝑇𝑿𝑑𝑉 𝑷 𝑵𝑠 𝑇𝑻𝑠 𝑠 𝑑𝑆 930 Substituindo a Equação 851 na Equação 850 temse 𝜋𝑝 1 2 𝒅𝑇 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑𝑉𝒅 𝒅𝑇𝒇 931 Tomando a primeira variação com relação aos deslocamentos nodais da Equação 931 obtémse 𝜋𝑝 𝒅 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑𝑉 𝒅 𝒇 0 932 Logo 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑𝑉𝒅 𝒇 933 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 7 7 ou de forma mais compacta 𝒌𝒅 𝒇 934 Em que 𝒌 a matriz de rigidez do elemento dada por 𝒌 𝑣 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑑𝑉 935 que finalmente resulta em 𝒌 𝑩𝑇𝑫𝑩𝑉 936 925 MATRIZ DE RIGIDEZ E DO VETOR DE CARGA GLOBAL Cada elemento contribui na montagem da matriz de rigidez da estrutura nas posições referentes aos graus de liberdade nos seus nós Uma vez determinada a matriz de rigidez global aplicase as condições de contorno e resolve o sistema de equações para encontrar os deslocamentos desconhecidos e as reações de apoio O procedimento é análogo ao adotado nos capítulos anteriores para outros elementos mais simples EXERCÍCIOS Seja a placa fina submetida a carga uniformemente distribuída mostrada na Figura 94a Dados 𝐸 210 𝐺𝑃𝑎 coeficiente de Poisson 𝜈 03 espessura 𝑡 0025 𝑚 𝑤 3000 𝑘𝑁𝑚2 Utilizando cinco elementos tetraédricos de quatro nós conforme mostrado na Figura 94b obtenha a a matriz de rigidez global da estrutura b os deslocamentos nos nós 3 4 7 e 8 c as reações nos nós 1 2 5 e 6 d as tensões em cada elemento e as tensões principais para cada elemento Figura 94 Placa fina tracionada a b Fonte Kattan 2017 Tabela 91 Conectividades dos elementos Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 8 8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS KATTAN P Matlab guide for finite elements an interactive approach Berlin Springer 2008 KIM N H SANKAR B V KUMAR A V Introduction to Finite Element Analysis and Design 2nd Edition Willey 2017