Notas de Aula: Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 1 Capítulo 01 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS UMA BREVE INTRODUÇÃO 11 INTRODUÇÃO Problemas de natureza física muitas vezes podem ser descritos por meio de equações diferenciais ou mais geralmente um sistema de equações diferenciais válidas em certa região domínio e sob qual estão impostas certas condições de contorno e iniciais Assim temse um modelo matemático do fenômeno e para aplicações práticas se requer a solução para um conjunto particular de dados numéricos No entanto apenas formas muito simples de equações dentro de contornos triviais são possíveis de serem resolvidas exatamente através de métodos matemáticos como é o caso de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes Para solucionar a dificuldade que é obter soluções de sistemas de equações diferenciais para problemas mais complexos comumente lançase mão dos chamados métodos numéricos obtendose assim soluções aproximadas do sistema de equações que se deseja resolver A título de ilustração na Figura 11 é mostrado a modelagem numérica de um tsunami na Baía de Guanabara no Rio de Janeiro Figura 11 Tsunami na Baía da Guanabara após 80 minutos da sua chegada Disponível em httpwwwsisbahiacoppeufrjbrAnimacaoTsunami20na20BGhtm Acessado em 20082020 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 2 De acordo com Luersen 2000 a ideia básica dos métodos numéricos para solucionar tal classe de problemas é discretizar o problema contínuo Ou seja o conjunto infinito de números que representam a função ou funções desconhecidas é substituído por um conjunto finito de parâmetros desconhecidos sendo que esse processo requer alguma forma de aproximação Os parâmetros desconhecidos são encontrados por meio da solução algébrica de um sistema algébrico de equações do tipo 𝑨𝒙 𝒃 11 em que 𝑨 é uma matriz quadrada e nãosingular 𝒃 é o vetor independente e 𝒙 é o vetor que contém os parâmetros desconhecidos da solução aproximada ou seja é o vetor solução Em alguns fenômenos mais complexos a matriz 𝑨 pode depender do vetor 𝒙 e caracterizado um problema nãolinear As matrizes 𝑨 𝒙 e 𝒃 podem ter seus coeficientes todos dependentes do tempo demandando a solução não apenas num dado instante mas várias ou inúmeras vezes para um determinado intervalo de tempo Atualmente existem vários métodos numéricos utilizados para resolver problemas físicos por aproximação e maneira discretas sendo os mais conhecidos e utilizados Método das Diferenças Finitas Método dos Volumes Finitos Método dos Elementos Finitos Método dos Elementos de Contorno Os três primeiros métodos são métodos de domínio isto é a discretização é ao longo de toda a região Já o Método dos Elementos de Contorno como o próprio nome diz é um método de contorno necessitando apenas fazer a discretização ao longo do contorno da região de estudo Outra classe de método numérico que tem sido muito investigada ultimamente são os chamados métodos sem malha meshless methods Ao contrário do Método dos Elementos Finitos este método não necessita da definição de uma malha mas somente de pontos ao longo do domínio Na engenharia verificase a existência de outras formas de abordar a obtenção de soluções aproximadas tais como os princípios de equilíbrio conservação e métodos energéticos Entretanto qualquer uma dessas formas de abordar o problema podese sempre também associar uma equação diferencial Assim de uma forma geral o Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 3 Método dos Elementos Finitos MEF pode ser encarado como um método numérico aproximado para solucionar equações diferencias com precisão aceitável 12 HISTÓRICO O desenvolvimento inicial do Método dos Elementos Finitos se deu em aplicações de análise estrutural de aeronaves utilizando o princípio de equilíbrio de forças e análise matricial Posteriormente foi aplicado a outros fenômenos sendo atualmente utilizado na solução de muitos problemas dentre os quais podese citar análise de tensões vibrações acústica escoamento de fluidos distribuição de temperatura campo eletromagnético injeção de plástico etc tanto para modelar fenômenos lineares como nãolineares Podese pontuar como os primeiros marcos históricos importantes na história do MEF os seguintes acontecimentos 1956 Primeiro artigo sobre o Método dos Elementos Finitos foi publicado por Turner M J Clough R W Martin H C e Topp L J Figura 12 Primeiro artigo publicado sobre o MEF Disponível em httpswwwesrdcomsimulationtechnologybriefhistoryoffea Acessado em 20082020 1965 A NASA emitiu um pedido de proposta para o desenvolvimento de uma ferramenta de software de análise estrutural O resultado disso foi NASTRAN NASA Structural Analysis que implementou a tecnologia MEF disponível para resolver problemas estruturais Figura 13 Primeiro software com a tecnologia MEF Disponível em httpswwwesrdcomsimulationtechnologybriefhistoryoffea Acessado em 20082020 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 4 1967 O Dr O C Zienkiewicz publica o primeiro livro sobre o Método dos Elementos Finitos denominado The Finite Element Method Ainda hoje é uma referência básica para o MEF Figura 14 Primeiro livro sobre o MEF Disponível em httpswwwswanseaacukengineeringzcceaboutaboutzienkiewiczwork Acessado em 20082020 1968 A Computer Sciences Corporation CSC lançou para a NASA um programa MEF chamado NASTRAN Figura 15 Relatórios produzidos e publicações em eventos sobre o software NASTRAN revelam seu rápido desenvolvimento Disponível em httpsntrsnasagovcitations19720013251 Acessado em 20082020 1968 I Ergatoudis B M Irons e O C Zienkiewicz introduziram o mapeamento isoparamétrico em elementos quadriláteros Assim para um dado elemento as funções bases usadas para os deslocamentos são as mesmas usadas para o mapeamento Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 5 Figura 16 Elemento quadrilátero isoparamétrico Disponível em httpswwwesrdcomsimulationtechnologybriefhistoryoffea Acessado em 20082020 1969 No final da década de 1960 a MacNealSchwendler Corporation iniciou a primeira versão comercialmente disponível do NASTRAN e a apelidou de MSCNASTRAN Figura 17 Richard MacNeal e Robert Schwendler fundadores da MacNeal Schwendler Corporation em 1963 Disponível em httpswwwmscsoftwarecomnewsrememberingdrrichardmacnealcofoundermscsoftware andmscnastran Acessado em 20082020 Seguindo Felippa 2001 e para fins didáticos a história do MEF pode ser dividida em quatro gerações A primeira geração 1956 1962 foi marcada pela publicação de trabalhos importantes e pioneiros cujos autores foram engenheiros estruturais que se apoiaram na mecânica clássica A segunda geração 1962 1972 também conhecida como a geração variacional desvendou a relação existente entre o modelo de deslocamento clássico e o método de RayleighRitz baseado no princípio da energia potencial mínima Além da extensão do MEF a aplicações não estruturais muitos outros avanços foram alcançados nesta época Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 6 Observase que as primeiras duas gerações foram primordiais para a implantação e desenvolvimento dos fundamentos do Método dos Elementos Finitos Todavia com a depressão econômica pósVietnã houve um período de estagnação A terceira geração 1972 início dos anos 80 centrou esforços em melhorar os elementos até aquele momento obtidos e formulados em deslocamentos através de uma abordagem denominada inicialmente de crimes variacionais Formulações mistas e híbridas tiveram acelerado progresso nesta época O desenvolvimento de códigos computacionais cada vez mais complexos fez com que houvesse uma busca pela simplicidade e assim a necessidade de voltar aos fundamentos do método A quarta geração início dos anos 80 dias atuais procurou o desenvolvimento de elementos simples mas que fornecessem respostas precisas mesmo quando se recorresse a malhas grosseiras Várias tecnologias para aumentar a performance dos elementos foram então desenvolvidas como por exemplo o método dos modos incompatíveis a abordagem EAS enhanced assumed strain e a técnica ANS assumed natural strain EXERCÍCIOS O Método dos Elementos Finitos MEF é empregado para simular fenômenos em vários ramos industriais Suas raízes históricas remontam aos meados do século passado na indústria aeroespacial Muitos autores apontam o paper Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures de Tuner et al 1956 como o primeiro trabalho a denominar o método Na sua concepção e baseado referências e materiais estudados o que é o Método dos Elementos Finitos Na solução da maior parte dos problemas atuais de Ciências e Engenharia é imprescindível a utilização de recursos numéricos para a sua solução Quais as vantagens do emprego da Mecânica Computacional na simulação de fenômenos físicos Faça uma pesquisa sobre as aplicações do Método dos Elementos Finitos MEF na Engenharia Civil Os métodos numéricos podem ser utilizados para estudar diversos fenômenos Na Figura 1 ilustrase os vários tipos de análise que se pode realizar no campo da mecânica 1 2 3 4 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 7 dos sólidos e seus graus de complexidade Pesquise sobre as diferenças entre uma análise a estática e dinâmica b linear e não linear c não linear geométrica e não linear material Figura 18 Análises na mecânica dos sólidos e suas complexidades Nos Quadros 1 e 2 abaixo estão listados os nomes e logos de alguns dos mais usados softwares em engenharia para simulação de problemas Quadro 1 Nomes de pacotes comerciais utilizados em FEA NATRAN MIDAS ABAQUS DIANA STAAD PRO PATRAN SOLIDWORKS ADINA SAP2000 COMSOL STRAP CATIA LSDYNA FEFLOW ANSYS Quadro 2 Logos de pacotes comerciais utilizados em FEA 5 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 8 As empresas abaixo listadas desenvolvem projetos de engenharia de certa complexidade eou oferecem serviços de ensino voltados para simulação computacional Pesquise sobre os serviços por elas ofertados por uma delas Aonde ela está estabelecida Quais softwares ela utiliza PROMON httpwwwpromoncombrtop ESSS httpswwwesssco SAE httpwwwsaeengbrindexhtml NCE httpswwwncecombr FEAFORALL httpfeaforallcom ENTERFEA httpsenterfeacom REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ERGATOUDIS I IRONS B M ZIENKIEWICZ O C Curved isoparametric quadrilateral elements for finite element analysis International Journal of Solids and Structures 41 3142 1969 FELIPPA CA Introduction to Finite Element Methods Appendix O The Origins Of The Finite Element Method Lecture notes for the Course Finite Element Methods Center for Aerospace Structures University of Colorado BoulderUSA 2001 Disponível em httpwwwcoloradoeduengineeringcascoursesdNFEMdHomehtml Acesso em 01 de abril de 2017 020005 LUERSEN M A Métodos Numéricos para Engenharia Introdução ao Método dos Elementos Finitos Fundamentos Teóricos CEFETPR Departamento de Engenharia Mecânica McGrawHill 2000 TURNER M J CLOUGH R W MARTIN H C e TOPP L J Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures Journal of the Aeronautical Sciences 1956 ZIENKIEWICZ O C The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics McGrawHill 1967 6