Notas de Aula: Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 1 1 Capítulo 02 CONCEITOS INICIAIS E FORMULAÇÃO BÁSICA 21 INTRODUÇÃO No presente estudo de soluções aproximadas de equações diferenciais fazse necessário introduzir alguns conceitos e definições Assim nas seções posteriores serão apresentados uma introdução sumária aos conceitos de funcional cálculo variacional e princípio variacional Estes são muito importantes no estudo da formulação do Método dos Elementos Finitos Uma introdução a esta formulação é explorada dandose enfoque ao método de Galerkin Este capítulo quase que integralmente foi extraído da Apostila Métodos Numéricos para Engenharia do Prof Marco Antônio Luersen 2000 docente do então CEFETPR hoje Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR 22 CONCEITOS INICIAIS Funcional É uma expressão integral escalar que contém implicitamente as equações diferenciais que descrevem o problema De uma forma genérica um funcional no espaço ℝ2 pode ser escrito da seguinte forma 𝐼 𝐹 𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 21 sendo x e y as variáveis independentes 𝑢 e 𝑣 funções de 𝑥 e 𝑦 O termo funcional indica que 𝐼 depende não somente de 𝑢 𝑣 e suas derivadas em um ponto mas também do seu efeito integrado sobre a região de interesse Na mecânica dos sólidos um exemplo de funcional é a expressão da energia potencial total 𝜋 de um corpo elástico que escrita em notação indicial é dada por 𝜋 1 2 𝜎𝑖𝑗𝜀𝑖𝑗 Ω 𝑑Ω 𝑏𝑖𝑢𝑖 Ω 𝑑Ω 𝑡𝑖𝑢𝑖 Γ 𝑑Γ 22 em que 𝜎𝑖𝑗 são as componentes de tensão 𝜀𝑖𝑗 as componentes de deformação 𝑏𝑖 as forças de corpo 𝑡𝑖 as forças de superfície Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 2 2 𝑢𝑖 os deslocamentos Ω o domínio de interesse e Γ o contorno do domínio de interesse Funcionais também são avaliados para problemas de condução de calor escoamento de fluidos acústica etc Cálculo Variacional É a parte da matemática que se preocupa em encontrar valores estacionários extremos de funcionais Ou seja para o funcional 𝐼 da expressão 22 procurase as funções uxy e vxy de modo que 𝐼 seja estacionário As funções 𝑢 e 𝑣 que satisfizerem esta condição são também a solução das equações de EulerLagrange associadas ao funcional As equações de EulerLagrange representam em formato de equações diferenciais o mesmo problema representado de forma integral pelo funcional a elas associado Noções sobre cálculo variacional podem ser encontrados em Dym e Shames 1978 Tauchert 1974 Bassanezi e Ferreira Jr 1988 entre outros trabalhos Princípio Variacional Usa uma expressão integral chamada funcional que possui implicitamente as equações diferenciais e as condições de contorno não essenciais de um problema e nele são aplicados os princípios do cálculo variacional procurando uma posição estacionária geralmente um mínimo para o funcional Frequentemente o funcional possui uma forma quadrática O Princípio da Mínima Energia Potencial é um dentre os vários princípios utilizados na mecânica Assim no sentido clássico quando se fala em formulação variacional pressupõese a minimização de uma forma quadrática Utilizando um princípio variacional o Método dos Elementos Finitos pode ser apresentado como uma generalização do Método de RayleighRitz Em outras áreas que não seja a mecânica estrutural um princípio variacional pode não ser obtido Isto acontece se a equação diferencial do problema contém derivadas de ordem ímpar ocorrendo na mecânica dos fluidos para alguns tipos de escoamento Mesmo assim o Método dos Elementos Finitos pode ser aplicado utilizando o Método dos Resíduos Ponderados Tanto o Método de RayleighRitz como o Método dos Resíduos Ponderados usam expressões integrais que contém as equações diferenciais do problema físico Ambas as formulações funcional e residual são conhecidas como forma fraca das equações que governam o problema A equação diferencial é conhecida como forma forte A forma Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 3 3 fraca força as condições de continuidade na média integral sense ao passo que a forma forte força as condições de continuidade em cada ponto Note que a solução da forma forte é sempre também solução da forma fraca ao passo que a afirmação contrária nem sempre é verdadeira A solução da forma fraca é conhecida também como solução generalizada Detalhes sobre o Método de RayleighRitz podem ser encontrados no livro Energy Principles in Structural Mechanics Tauchert 1974 23 O MÉTODO DOS RESÍDUOS PONDERADOS Para se aplicar o Método dos Resíduos Ponderados necessitase primeiramente saber a equação diferencial que rege o problema físico em questão Seja a equação diferencial que governa um determinado problema físico com condições especificadas no contorno problema de valor no contorno ℒ𝑢 𝑔 no domínio Ω 23 ℬ𝑢 ℎ no contorno 𝛤 24 em que 𝑢 𝑓𝑥 variável dependente Por exemplo deslocamentos em um ponto temperatura em um ponto potencial elétrico 𝑥 variável independente Por exemplo coordenadas de um ponto 𝑔 ℎ funções de x constantes ou zero dependendo do problema ℒ ℬ operadores diferenciais Se o operador diferencial ℒ é de ordem 2m definese dois tipos de condições de contorno de acordo com a ordem do operador diferencial ℒ Esta classificação é importante no estudo de soluções de equações diferenciais pois cada tipo de condição de contorno é abordado de uma forma 231 Condições de contorno Condições de contorno essenciais ou condições de contorno de Dirichlet Condições de contorno que envolvem derivadas de ordem 0 a m1 Em análise estrutural as condições de contorno essenciais também são conhecidas como condições de contorno geométricas ou cinemáticas Condições de contorno naturais ou não essenciais ou condições de contorno de Neumann Condições de contorno que envolvem derivadas de ordem m a 2m1 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 4 4 Uma equação que combine uma condição de contorno essencial e uma condição de contorno natural é chamada de condição de contorno mista Para um mesmo ponto apenas um tipo de condição de contorno pode ser especificado isto é se é especificada uma condição de contorno essencial a natural nesse mesmo ponto ou região não pode ser especificada pois depende da condição de contorno já fornecida e viceversa ao se especificar uma condição de contorno natural O que é possível é terse uma condição de contorno mista isto é para um mesmo ponto ou região uma equação que envolve os dois tipos de condições de contorno Por exemplo para uma equação diferencial de segunda ordem condições de contorno essenciais são as derivadas de ordem zero ou seja a própria função e condições de contorno naturais são as derivadas primeira da função 232 Aproximação da solução Considerando inicialmente o caso unidimensional em geral desconhecese a solução 𝑢𝑥 do problema em questão e procurase uma solução aproximada 𝑢𝑥 Tipicamente 𝑢𝑥 é um polinômio que satisfaz as condições de contorno essenciais e contém coeficientes a determinar 𝛼1 𝛼2 𝛼𝑛 Assim para se obter a solução aproximada 𝑢𝑥 devese determinar os coeficientes 𝛼𝑖 tal que 𝑢𝑥 e 𝑢𝑥 sejam suficientemente próximas segundo um determinado critério estabelecido Ou seja 𝑢𝑥 𝛼1𝑥 𝛼2𝑥2 𝛼𝑛𝑥𝑛 sendo os coeficientes 𝛼𝑖 determinados segundo critérios que serão vistos Substituindo 𝑢𝑥 no lugar de 𝑢𝑥 nas equações diferenciais 23 e 24 tem se dois tipos de erros ou resíduos 𝑅ℒ 𝑅ℒ𝛼𝑖 𝑥 ℒ𝑢 𝑔 resíduo no interior domínio Ω 25 𝑅ℬ 𝑅ℬ𝛼𝑖 𝑥 ℬ𝑢 ℎ resíduo no contorno 𝛤 26 Em alguns casos existem somente condições de contorno essenciais Assim ao se aplicar o Método dos Resíduos Ponderados 𝑅ℬ não necessita ser considerado pois na escolha da solução aproximada 𝑢𝑥 esta deve a priori satisfazer as condições de contorno essenciais tal como no método de RayleighRitz Os resíduos podem se anular para alguns valores de 𝑥 mas só serão nulos para todos os valores de 𝑥 se a solução aproximada 𝑢𝑥 for a solução exata isto é se 𝑢𝑥 𝑢𝑥 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 5 5 Presumese que 𝑢𝑥 é uma boa aproximação de 𝑢𝑥 e os resíduos sejam pequenos Resíduos pequenos podem ser alcançados de várias maneiras cada uma delas resultando num sistema de equações algébricas de ordem 𝑛 a ser resolvido onde as incógnitas são os coeficientes 𝛼𝑖 Algumas dessas maneiras são apresentadas a seguir 233 Método da colocação Para 𝑛 diferentes valores de 𝑥 o resíduo é imposto como sendo nulo Desse modo 𝑅ℒ𝛼𝑖 𝑥 0 para 𝑖 1 2 𝑗 1 27 𝑅ℬ𝛼𝑖 𝑥 0 para 𝑖 𝑗 𝑗 1 𝑛 28 Figura 21 Representação do método da colocação onde a solução aproximada é imposta igual à solução exata nas coordenadas 𝑥𝑖 e 𝑥𝑖1 Fonte Luersen 2000 234 Subdomínios Para 𝑛 diferentes regiões do domínio Ω e do contorno 𝛤 a integral do resíduo é imposta nula Ω𝑖 𝑅ℒ𝛼𝑖 𝑥𝑑Ω 0 para 𝑖 1 2 𝑗 1 29 𝛤𝑖 𝑅ℬ𝛼𝑖 𝑥𝑑Ω 0 para 𝑖 𝑗 𝑗 1 𝑛 210 235 Mínimos quadrados Os coeficientes 𝛼𝑖 são escolhidos de forma a minimizar a função 𝐼 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 6 6 𝐼 𝛼𝑖 0 para 𝑖 1 2 𝑛 211 A função 𝐼 é formada integrando os quadrados dos resíduos Desta forma tem se que 𝐼 𝑅ℒ𝛼𝑖 𝑥2𝑑Ω Ω𝑖 𝛽 𝑅ℬ𝛼𝑖 𝑥2𝑑𝛤 𝛤𝑖 para 𝑖 𝑗 𝑗 1 𝑛 212 onde 𝛽 é um escalar arbitrário que pondera a importância de 𝑅ℬ em relação a 𝑅ℒ 236 Colocação dos mínimos quadrados ou mínimos quadrados pontuais Similar ao anterior sendo que a função 𝐼 é dada de forma discreta isto é 𝐼 𝑗1𝑅ℒ𝛼𝑖 𝑥𝑖2 𝑖1 𝛽 𝑅ℬ𝛼𝑖 𝑥𝑖2 𝑛 𝑖𝑗 213 237 Galerkin O mais importante Selecionamse funções peso 𝑊𝑖 𝑊𝑖𝑥𝑖 e impõese que a média ponderada do resíduo 𝑅ℒ com relação às funções peso seja igual a zero Em termos matemáticos 𝑅ℒ é feito ortogonal às funções peso o produto interno entre 𝑊𝑖 e 𝑅ℒ é nulo ver Figura 22 𝑅𝑖 Ω 𝑊𝑖𝑥𝑅ℒ𝛼𝑖 𝑥𝑑Ω 0 para 𝑖 1 2 𝑛 214 Figura 22 O resíduo 𝑅ℒ é ortogonal ao espaço gerado pelas funções peso 𝑊𝑖 Fonte Luersen 2000 No método de BubnovGalerkin ou comumentemente chamado simplesmente de Galerkin as funções peso são os coeficientes das coordenadas generalizadas 𝛼𝑖 Assim 𝑊𝑖 𝑢 𝛼𝑖 215 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 7 7 Ou seja a base de funções para aproximar 𝑢 e para aproximar 𝑊𝑖 são as mesmas No método chamado de PetrovGalerkin outras formas de 𝑊𝑖 são utilizadas ou seja o conjunto de funções peso é diferente do conjunto de funções utilizadas para a aproximação No método de Galerkin o resíduo no contorno 𝑅ℒ é usado em combinação com integração por partes para a imposição das condições de contorno naturais Se existir um princípio variacional associado à equação diferencial Galerkin e RayleighRitz darão soluções idênticas quando utilizase a mesma função aproximada 𝑢 238 Exemplo Barra submetida a tração e carregamento distribuído Seja a equação diferencial 2𝑢 𝑥2 𝑐𝑥 0 para 0 𝑥 𝐿 216 com condições de contorno 𝑢 0 para 𝑥 0 Dirichlet 217 𝑢 𝑥 𝑏 0 para 𝑥 𝐿 Neumann 218 associada com o problema de uma barra submetida a um carregamento distribuído ao longo do comprimento e um carregamento de tração na extremidade 𝑥 𝐿 A barra possui seção transversal constante igual a 𝐴 e módulo de elasticidade também constante igual a 𝐸 A Figura 23 esquematiza o problema sendo 𝑢 a função deslocamento ao longo do eixo x Figura 23 Barra submetida a tração e carregamento distribuído Fonte Luersen 2000 Os valores das constantes 𝑐 e 𝑏 são dados por 𝑐 𝑞0 𝐸𝐴 𝑏 𝜎0 𝐸 219 Escolhese como função aproximada por exemplo um polinômio do segundo grau do tipo 𝑢𝑥 𝛼1 𝑥 𝛼2𝑥2 220 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 8 8 Note que 𝑢 satisfaz independentemente dos coeficientes 𝛼𝑖 a serem determinados a condição de contorno de Dirichlet essencial que é o deslocamento nulo em 𝑥 0 Ou seja dizse que 𝑢 é um campo de deslocamentos cinematicamente admissível Aplicando o método de Galerkin temse que 𝑅𝑖 Ω 𝑊𝑖𝑥𝑅ℒ𝛼𝑖 𝑥𝑑Ω 0 para 𝑖 1 2 𝑛 221 para o problema em questão temse 𝑅𝑖 𝑊𝑖𝑥 2𝑢 𝑥2 𝑐𝑥 𝑑𝑥 0 𝐿 0 para 𝑖 1 2 222 A aplicação do método de Galerkin iniciase com uma integração por partes reduzindo a ordem da diferenciação dentro da integral e dessa forma relaxando a ordem da continuidade requerida para a função aproximada A integração por partes também serve para introduzir as condições de contorno naturais ou de Neumann conforme será visto a seguir Integrando por partes apenas a parcela 𝑊𝑖𝑥 2𝑢 𝑥2 e lembrando a expressão da integração por partes 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 223 fazse 𝑢 𝑊𝑖𝑥 e 𝑑𝑣 2𝑢 𝑥2 𝑑𝑥 Dessa forma temse que 𝑅𝑖 𝑊𝑖𝑥 𝑢 𝑥 0 𝐿 𝑊𝑖𝑥 𝑥 𝑢 𝑥 𝑊𝑖𝑥𝑐𝑥 𝑑𝑥 0 𝐿 0 para 𝑖 1 2 224 Como 𝑊1 𝑢 𝛼1 𝑥 e 𝑊2 𝑢 𝛼2 𝑥2 e o termo fora da integral 𝑊𝑖𝑥 0 𝑢 𝑥 0 para 𝑖 1 e 𝑖 2 pois 𝑊1𝑥 0 𝑊2𝑥 0 0 e 𝑊𝑖𝑥 𝐿 𝑢 𝑥 𝑊𝑖𝑥 𝐿𝑏 temse que 𝑅𝑖 𝑊𝑖𝑥 𝑥 𝑢 𝑥 𝑊𝑖𝑥𝑐𝑥 𝑑𝑥 𝑊𝑖𝑏𝑥𝐿 0 𝐿 0 para 𝑖 1 2 225 e 𝑊1 𝑥 1 𝑊2 𝑥 2𝑥 𝑢 𝑥 𝛼1 𝑥 2𝛼2𝑥 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 9 9 obtendose as duas componentes do produto interno 𝑅𝑖 𝑖 1 𝑅1 𝛼1 2𝛼2𝑥 𝑐𝑥2𝑑𝑥 𝐿 0 𝑏𝐿 0 𝛼1 𝑥 𝛼2𝑥2 𝑐 3 𝑥3 0 𝐿 𝑏𝐿 0 𝐿𝛼1 𝐿2𝛼2 𝑐 3 𝐿3 𝑏𝐿 226 𝑖 2 𝑅2 2𝛼1𝑥 4𝛼2𝑥2 𝑐𝑥3𝑑𝑥 𝐿 0 𝑏𝐿2 0 𝛼1 𝑥2 4 3 𝛼2𝑥3 𝑐 4 𝑥4 0 𝐿 𝑏𝐿2 0 𝐿2𝛼1 4 3 𝐿3𝛼2 𝑐 4 𝐿4 𝑏𝐿2 227 As equações 121 e 122 formam um sistema algébrico de equações lineares cujas incógnitas são 𝛼1 e 𝛼2 𝐿 𝐿2 𝐿2 4 3 𝐿3 𝛼1 𝛼2 1 3 𝑐𝐿3 𝑏𝐿 1 4 𝑐𝐿4 𝑏𝐿2 228 sendo a solução deste sistema 𝛼1 𝑏 7 12 𝑐𝐿2 229 𝛼2 1 4 𝑐𝐿 230 Assim a solução aproximada 𝑢 é dada por 𝑢 𝑏 7 12 𝑐𝐿2 𝑥 𝑐𝐿 4 𝑥2 231 A solução exata deste problema é facilmente obtida sendo dada por 𝑢 𝑏 𝑐𝐿2 2 𝑥 𝑐 6 𝑥3 232 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 10 10 239 Comparação de Resultados software Mathcad a Deslocamentos Figura 24 Deslocamentos analíticos e aproximados ao longo do comprimento da barra Fonte Luersen 2000 b Tensões Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 11 11 Figura 25 Tensões analíticas e aproximadas ao longo do comprimento da barra Fonte Luersen 2000 EXERCÍCIOS Conceitue a funcional b cálculo variacional e c princípio variacional d Pesquise sobre o problema da braquistócrona De maneira sucinta descreva o método dos resíduos ponderados Qual a diferença entre as condições de contorno essenciais ou de Dirichlet e não essenciais ou de Neumann De acordo com Cook Malkus e Plesha 1988 a exigência do grau de continuidade das funções de interpolação está associada com a ordem do operador diferencial da equação que rege o problema Se o operador for de ordem 2m exigese pelo menos funções de continuidade Cm1 Baseado nesta constatação para os problemas e suas equações diferenciais governantes presentes na Tabela 1 determine a ordem das equações e a 1 2 3 4 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 12 12 classe C zero C um etc mínimas das funções de interpolação OBS Mostre como você obteve a classe de cada uma das equações Tabela 1 Relação entre equações diferenciais governantes e exigências de continuidade Problema Equação governante Ordem Classe Barra 2 2 0 EA d u q dx Flexão de viga 4 4 0 EI d u q dx Condução de calor em 2D 2 0 k T Q c T O operador diferencial é denominado Laplaciano Quais as diferenças entre os métodos da colocação do subdomínio dos mínimos quadrados da colocação dos mínimos quadrados e o de Galerkin A barra mostrada na Figura 26 está submetida a uma carga uniformemente distribuída e outra pontual na sua extremidade Figura 26 Barra submetida a tração Fonte Luersen 2000 Este simples problema é regido por uma equação diferencial que possui a forma e tem como condições de contorno sendo as constantes c e b dadas por O polinômio de segundo grau 5 6 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 13 13 pode ser adotado como uma solução aproximada do problema a Utilizar o método de Galerkin para determinar as constantes a1 e a2 do polinômio b Se a solução analítica é dada por plote os deslocamentos versus o comprimento para solução analítica No mesmo gráfico plote a solução aproximada Para isso utilize o software Scilab c Utilizando os resultados da questão anterior plote os resultados analíticos e aproximados para as tensões ao longo do comprimento da estrutura Para isso utilize o software Scilab REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BASSANEZI R C FERREIRA JR W C Equações diferenciais com aplicações Harbra São Paulo 1988 COOK R D MALKUS D S PLESHA M E WITT R J Concepts and Applications of Finite Element Analysis Wiley 1988 DYM C L SHAMES I H Solid Mechanics A Variational Approach McGrawHill 1973 LUERSEN M A Métodos Numéricos para Engenharia Introdução ao Método dos Elementos Finitos Fundamentos Teóricos CEFETPR Departamento de Engenharia Mecânica McGrawHill 2000 TAUCHERT T R Energy Principles in Structural Mechanics McGrawHill Book Company Inc New York 1974