Notas de Aula: Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 1 1 Capítulo 04 FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS UTILIZANDO O PRINCÍPIO DA MÍNIMA ENERGIA POTENCIAL generalização do Método de Rayleigh Ritz 41 INTRODUÇÃO O Método dos Elementos Finitos pode ser definido como a aplicação do método de RayleighRitz em subregiões do domínio os elementos finitos onde os coeficientes a determinar são os graus de liberdade deslocamentos temperatura etc Este capítulo quase que integralmente foi extraído da Apostila Métodos Numéricos para Engenharia do Prof Marco Antônio Luersen 2000 docente do então CEFETPR hoje Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR 42 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS DE GALERKIN Na mecânica dos sólidos a energia potencial total 𝜋 para um sólido elástico linear em notação indicial é expressa por 𝜋 1 2 𝜎𝑖𝑗𝜀𝑖𝑗𝑑Ω 𝑏𝑖𝑢𝑖𝑑Ω 𝑡𝑖𝑢𝑖𝑑Γ Γ Ω Ω 41 em que 𝜎𝑖𝑗 são as componentes de tensão 𝜀𝑖𝑗 são as componentes de deformação 𝑏𝑖 são as forças de corpo 𝑡𝑖 são as forças de superfície 𝑢𝑖 são os deslocamentos Ω é o domínio de interesse e Γ é o contorno do domínio de interesse Para o problema da barra temse um estado uniaxial de tensões isto é apenas a tensão normal ao longo do eixo da barra é diferente de zero E a expressão da energia potencial total fica 𝜋 1 2 𝜎𝑥𝜀𝑥𝑑Ω 𝑏𝑢𝑑Ω 𝑡𝑢𝑑Γ Γ Ω Ω 42 Utilizando a Lei de Hooke 𝜎𝑥 𝐸𝜀𝑥 43 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 2 2 temse que 𝜋 1 2 𝐸𝜀𝑥 2𝑑Ω 𝑏𝑢𝑑Ω 𝑡𝑢𝑑Γ Γ Ω Ω 44 Mas como 𝜀𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 elasticidade linear e 𝑞 sendo uma força de corpo por unidade de comprimento então 𝜋 1 2 𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑Ω 𝑞𝑢𝑑𝑥 𝑡𝑢𝑑𝑥 Γ 𝐿 0 Ω 45 A partir da Equação 45 aplicase o Método de RayleighRitz à um elemento do domínio onde as variáveis a serem determinadas são os graus de liberdade nodais Como no método de RayleighRitz a função aproximada deve satisfazer as condições de contorno cinemáticas para um elemento esta condição é representada pelo fato de que nos pontos nodais o valor da função aproximada deverá ser igual ao valor do próprio grau de liberdade nodal de modo a terse continuidade entre os elementos Assim para um elemento finito de comprimento 𝐿 e de área 𝐴 temse 𝜋 1 2 𝐸𝐴 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑞𝑢𝑑𝑥 𝑡𝑢𝑑𝑥 Γ 𝐿 0 𝐿 0 46 Aproximandose o deslocamento 𝑢 através de funções lineares com dois nós por elemento como feito anteriormente na utilização do Método de Galerkin temse que 𝑢𝑥 1 𝑥 𝐿 𝑢1 𝑥 𝐿 𝑢2 ou 𝑢𝑥 𝑁𝑖𝑢𝑖 2 𝑖1 47 em que as funções de interpolação lineares são dadas por 𝑁1 1 𝑥 𝐿 𝑒 𝑁2 𝑥 𝐿 48 a derivada da função aproximada 𝑢𝑥 em relação a 𝑥 fica sendo 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑢1 𝐿 𝑢2 𝐿 49 A energia potencial total agora aproximada 𝜋𝑎 toma a forma 𝜋𝑎 1 2 𝐸𝐴 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑞𝑢𝑑𝑥 𝑡𝑢𝑑𝑥 Γ 𝐿 0 𝐿 0 410 Substituindo a Equação 49 na Equação 410 e verificando que as forças de superfície estão associadas à forças no contorno do elemento ou seja forças aplicadas nos nós temse que 𝜋𝑎 1 2 𝐸𝐴 𝐿2 𝑢2 𝑢12𝑑𝑥 𝑞𝑥 1 𝑥 𝐿 𝑢1 𝑥 𝐿 𝑢2 𝑑𝑥 𝑃1𝑢1 𝑃2𝑢2 𝐿 0 𝐿 0 411 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 3 3 Em notação matricial a Equação 411 toma a forma 𝜋𝑎 1 2 𝑢1 𝑢2 𝐸𝐴 𝐿2 𝐿 0 1 1 1 1 𝑑𝑥 𝑢1 𝑢2 𝑢1 𝑢2 1 𝑥 𝑥 𝐿 𝐿 𝑞𝑥𝑑𝑥 𝐿 0 𝑢1 𝑢2 𝑃1 𝑃2 412 Aplicase agora o Princípio da Mínima Energia Potencial PMEP que diz Dentre todas as equações de deslocamentos que satisfazem a compatibilidade interna e as condições de contorno em um sistema estável aquelas que também satisfazem as equações de equilíbrio fazem da energia potencial um mínimo Em termos matemáticos o PMEP é expresso por 𝛿𝜋𝑎 0 ou 𝜋𝑎 𝑢𝑖 0 pois as incógnitas coeficientes no Método de RayleighRitz são os graus de liberdade nodais Assim 𝜋𝑎 𝑢1 𝐸𝐴 𝐿2 𝐿 0 𝑑𝑥𝑢1 𝐸𝐴 𝐿2 𝐿 0 𝑢2 1 𝑥 𝐿 𝑞𝑥𝑑𝑥 𝑃1 𝐿 0 0 𝜋𝑎 𝑢2 𝐸𝐴 𝐿2 𝐿 0 𝑢1 𝐸𝐴 𝐿2 𝐿 0 𝑢2 𝑥 𝐿 𝑞𝑥𝑑𝑥 𝑃2 𝐿 0 0 413 que desenvolvida toma a forma 𝜋𝑎 𝑢1 𝐸𝐴 𝐿 𝑢1 𝐸𝐴 𝐿 𝑢2 1 𝑥 𝐿 𝑞𝑥𝑑𝑥 𝑃1 𝐿 0 0 𝜋𝑎 𝑢2 𝐸𝐴 𝐿 𝑢1 𝐸𝐴 𝐿 𝑢2 𝑥 𝐿 𝑞𝑥𝑑𝑥 𝑃2 𝐿 0 0 414 e a equação de elementos finitos em forma matricial fica 𝐴𝐸 𝐿 1 1 1 1 𝑢1 𝑢2 1 𝑥 𝐿 𝑥 𝐿 𝑞𝑥𝑑𝑥 𝑃1 𝑃2 𝐿 0 415 que é a mesma obtida pelo Método dos Elementos Finitos de Galerkin REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LUERSEN M A Métodos Numéricos para Engenharia Introdução ao Método dos Elementos Finitos Fundamentos Teóricos CEFETPR Departamento de Engenharia Mecânica McGrawHill 2000