Notas de Aula sobre o Método dos Elementos Finitos - Elemento Quadrilátero Isoparamétrico

Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 1 1 Capítulo 10 ELEMENTO QUADRILÁTERO ISOPARAMÉTRICO DE 4 NÓS 101 INTRODUÇÃO Com frequência na discretização do contínuo é necessário utilizar elementos com geometria irregular para por exemplo fazer a transição entre elementos com dimensões diferentes em zonas com diferentes graus de refinamento etc É importante também dispor de elementos irregulares para representar adequadamente geometrias curvas A Figura 101 representa algumas dessas situações Figura 101 Discretização de estruturas com elementos de geometria irregular Fonte Oliveira 2016 I C Taig apresentou em 1961 a distorção do elemento retangular Esta concepção foi generalizada por B M Irons em 1966 e designada de elemento isoparamétrico por I Ergatoudis e coautores em 1968 Neste capítulo apresentase de forma sucinta a formulação do elemento quadrilátero isoparamétrico de quatro nós Q4 para análise estática linear e elástica de sólidos 2D no estado plano de tensões ou de deformações Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 2 2 A análise no estado plano de tensões referese a problemas em que a espessura é muito pequena quando em comparação com outras dimensões no plano de referência 𝑥 𝑦 As cargas e condições de contorno são aplicadas no plano médio ou de referência da estrutura Deslocamentos são computados no plano de referência As tensões relacionadas com coordenadas z são considerados muito pequenas e não são consideradas na formulação No estado plano de deformações as análises são realizadas em estruturas em que uma de suas dimensões o comprimento é bem maior que as outras duas e as cargas estão aplicadas perpendicularmente ao eixo da estrutura e distribuídas uniformemente em todo o seu comprimento Neste capítulo considerase apenas materiais isotrópicos e homogêneos O problema é definido em um domínio 𝛺 limitado por 𝛤 conforme ilustrado na Figura 102 Figura 102 Ilustração do domínio 𝛺 e contorno 𝛤 no estado plano de tensão Fonte Ferreira 2009 102 ELEMENTO QUADRILÁTERO Seja o elemento quadrilátero ilustrado na Figura 103 O elemento é definido por quatro nós em coordenadas naturais 𝜉 𝜂 Figura 103 Elemento quadrilátero isoparamétrico de quatro nós em coordenadas naturais Fonte Azevedo 2003 Adaptado As coordenadas do elemento são interpoladas por 𝑥 𝑁𝑖𝑥𝑖 4 𝑖1 101 𝑦 𝑁𝑖𝑦𝑖 4 𝑖1 102 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 3 3 em que 𝑁𝑖 são as funções de forma de Lagrange dadas por 𝑁1𝜉 𝜂 1 4 1 𝜉1 𝜂 103 𝑁2𝜉 𝜂 1 4 1 𝜉1 𝜂 104 𝑁3𝜉 𝜂 1 4 1 𝜉1 𝜂 105 𝑁4𝜉 𝜂 1 4 1 𝜉1 𝜂 106 Nas Equações 103 a 106 acima 𝜉𝑖 e 𝜂𝑖 são coordenadas naturais do nó 𝑖 As Equações 101 e 102 podem ser reescritas de forma mais compacta como 𝒙𝑒 𝑵𝑒𝒑𝑒 107 1021 INTERPOLAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS Sendo o elemento finito isoparamétrico os deslocamentos são interpolados por meio de 𝑢 𝑁𝑖𝑢𝑖 4 𝑖1 108 𝑣 𝑁𝑖𝑣𝑖 4 𝑖1 109 em que 𝑢 e 𝑣 são os deslocamentos em qualquer ponto no interior do elemento Já 𝑢𝑖 e 𝑣𝑖 são deslocamentos nodais tal como apresentado na Figura 104 De forma mais compacta temse que 𝒖𝑒 𝑵𝑒𝒅𝑒 1010 Figura 104 Deslocamentos nodais no elemento quadrilátero Fonte Azevedo 2003 Adaptado em que 𝒖𝑒 𝑢 𝑣 é o vetor de deslocamentos em um ponto qualquer do elemento 𝑵𝑒 𝑁1 0 0 𝑁1 𝑁2 0 0 𝑁2 𝑁3 0 0 𝑁3 𝑁4 0 0 𝑁4 é matriz das funções de forma Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 4 4 𝒅𝑒 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢3 𝑣3 𝑢4 𝑣4 é vetor de deslocamentos nodais 1022 MATRIZ DE DEFORMAÇÃODESLOCAMENTO B As integrais constantes na formulação do elemento finito serão calculadas no sistema de coordenadas natural e em seguida é necessário fazer um mapeamento para o sistema de coordenadas cartesiano 𝑥 𝑦 A Figura 105 ilustra as transformações que são efetuadas Figura 105 Mapeamento do elemento Fonte Azevedo 2003 Adaptado Em um estado de tensão plana ou estado de deformações plana as componentes de deformação são dadas por 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 𝑢 𝑦 𝑣 𝑥 1011 Pela regra da cadeia as derivadas dos deslocamento em relação no sistema de coordenadas natural são dadas por 𝑢 𝜉 𝑢 𝑥 𝑥 𝜉 𝑢 𝑦 𝑦 𝜉 1012 𝑢 𝜂 𝑢 𝑥 𝑥 𝜂 𝑢 𝑦 𝑦 𝜂 1013 que matricialmente pode ser expressa por Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 5 5 𝑢 𝜉 𝑢 𝜂 𝑥 𝜉 𝑦 𝜉 𝑥 𝜂 𝑦 𝜂 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 1014 Na Equação 1014 a matriz expressa por 𝑱𝑒 𝑥 𝜉 𝑦 𝜉 𝑥 𝜂 𝑦 𝜂 1015 tratase da matriz Jacobiano Ela relaciona os deslocamentos nas coordenadas natural e global Analogamente 𝑣 𝜉 𝑣 𝜂 𝑥 𝜉 𝑦 𝜉 𝑥 𝜂 𝑦 𝜂 𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 1016 Substituindo a Equação 107 na Equação 1015 𝑱𝑒 𝑁𝑖𝑥𝑖 𝜉 𝑁𝑖𝑦𝑖 𝜉 𝑁𝑖𝑥𝑖 𝜂 𝑁𝑖𝑦𝑖 𝜂 𝑁𝑖 𝜉 𝑥𝑖 𝑁𝑖 𝜉 𝑦𝑖 𝑁𝑖 𝜂 𝑥𝑖 𝑁𝑖 𝜂 𝑦𝑖 1017 que definida para todos os nós resulta em 𝑱𝑒 𝑁1 𝜉 𝑁2 𝜉 𝑁1 𝜂 𝑁2 𝜂 𝑁3 𝜉 𝑁4 𝜉 𝑁3 𝜂 𝑁4 𝜂 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 𝑥4 𝑦4 1018 Como expresso na Equação 1011 em um estado plano de tensão ou de deformação os componentes do vetor de deformações são dados por 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 𝑥 0 0 𝑦 𝑦 𝑥 𝑢 𝑣 1019 em que 𝑢𝑥 𝑦 e 𝑣𝑥 𝑦 são os componentes do deslocamento do ponto considerado De forma mais compacta podese escrever 𝜺 𝒖 1020 em que 𝒖 𝑢 𝑣 é o vetor de deslocamentos e Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 6 6 𝑥 0 0 𝑦 𝑦 𝑥 é um operador linear Fazendo a substituição da Equação 1010 na Equação 1020 obtémse as deformações no elemento 𝜺𝑒 𝑵𝑒𝒅𝑒 𝑩𝑒𝒅𝑒 1021 A matriz 𝑩𝑒 relaciona as deformações no elemento aos seus deslocamentos nodais tem dimesão 3 8 e é dada por 𝑩𝑒 𝑩1 𝑩2 𝑩3 𝑩4 1022 Cada submatriz na Equação 1022 é expressa por meio de 𝑩𝑖 𝑥 0 0 𝑦 𝑦 𝑥 𝑁𝑖 0 0 𝑁𝑖 𝑁𝑖 𝑥 0 0 𝑁𝑖 𝑦 𝑁𝑖 𝑦 𝑁𝑖 𝑥 1023 A derivada de 𝑁𝑖 em relação ao sistema de coordenadas natural é dado por 𝑁𝑖 𝜉 𝑁𝑖 𝜂 𝑥 𝜉 𝑦 𝜉 𝑥 𝜂 𝑦 𝜂 𝑁𝑖 𝑥 𝑁𝑖 𝑦 𝑁𝑖 𝜉 𝑁𝑖 𝜂 𝑱𝑒 𝑁𝑖 𝑥 𝑁𝑖 𝑦 1024 e em relação ao sistema natural 𝑁𝑖 𝑥 𝑁𝑖 𝑦 𝑱𝑒1 𝑁𝑖 𝜉 𝑁𝑖 𝜂 1025 em que 𝑱𝑒1 𝐽11 𝐽12 𝐽21 𝐽22 1026 é a inversa da matriz Jacobiano Para elementos muito distorcidos essa inversa não irá existir Dessa forma temse que 𝑁𝑖 𝑥 𝐽11 𝑁𝑖 𝜉 𝐽12 𝑁𝑖 𝜂 𝑁𝑖 𝑦 𝐽21 𝑁𝑖 𝜉 𝐽22 𝑁𝑖 𝜂 1027 Substituindo a Equação 1027 na Equação 1023 obtémse a matriz 𝑩𝑖 e por decorrência a matriz 𝑩𝑒 Com esta matriz podese calcular as deformações no elemento Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 7 7 por meio da Equação 1021 e finalmente as tensões fazendo uso da chamada lei de Hooke 𝝈𝑒 𝑫𝜺𝑒 1028 1023 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO A matriz de rigidez do elemento é obtida de 𝑲𝑒 𝑩𝑒 𝑇𝑫𝑩𝑒𝑑𝑉 𝑉 1029 Verificase que a matriz 𝑩𝑒 depende das coordenadas naturais 𝜉 𝜂 O volume do elemento é dado por 𝑑𝑉 𝑡 det 𝑱𝑒 𝑑𝜉𝑑𝜂 1030 em que det 𝑱𝑒 é o determinante da matriz Jacobiano e 𝑡 é a espessura da chapa Para realizar o cálculo da matriz de rigidez expressa na Equação 1029 utiliza se integração numérica Os pontos de integração e os pesos dependem do tipo de integração que se deseja realizar Na Figura 106 mostrase o elemento quadrilátero com 2 pontos de integração em cada direção interação 2 2 Figura 106 Integração com dois pontos de integração 𝜉 𝜂 057735 057735 Fonte Azevedo 2003 Adaptado Em elementos de quatro nós podese utilizar uma integração numérica 2 2 para uma integração exata A matriz de rigidez para uma integração 2 2 é dada por 𝑲𝑒 ℎ𝑩𝑇𝑪𝑩𝑑𝛺𝑒 𝛺𝑒 ℎ𝑩𝑇𝑪𝑩 det 𝑱 𝑑𝜉𝑑𝜂 1 1 1 1 ℎ 𝑩𝑇𝑪𝑩 det 𝑱 𝑤𝑖𝑤𝑗 2 𝑖1 2 𝑖1 1031 e todos os pontos de Gauss têm peso 1 nessa regra de integração 1024 FORÇAS INTERNAS DO ELEMENTO O vetor de forças internas do elemento é obtido por meio de 𝒇𝑒 𝑩𝑒 𝑇𝝈𝑒𝑑𝑉 𝑉 1032 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 8 8 1025 OBTENÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ E DO VETOR DE CARGA GLOBAL Cada elemento contribui na montagem da matriz de rigidez da estrutura nas posições referentes aos graus de liberdade nos seus nós Uma vez determinada a matriz de rigidez global aplicase as condições de contorno e resolve o sistema de equações para encontrar os deslocamentos desconhecidos e as reações de apoio O procedimento é análogo ao adotado nos capítulos anteriores para outros elementos mais simples EXERCÍCIOS Seja a viga biapoiada submetida ao carregamento distribuído mostrado na Figura 107 Simule a estrutura utilizando o elemento finito isoparamétrico de 4 nós Discretize a peça com pelo menos quatro malhas refinando sucessivamente o modelo Compare os resultados numéricos das flechas obtidas no meio do vão da viga com o valor analítico encontrado com a formulação de Resistência dos Materiais Trace um gráfico número de elementos versus deslocamentos obtidos Finalmente por meio do software Paraview mostre a deformada da malha mais refinada Dados E 20 GPa 015 e espessura h 03 m Sugestão utilizar planilhas eletrônicas para agilizar o processo de discretização Figura 107 Viga biapoiada Fonte Azevedo 2003 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AZEVEDO A F M Método dos Elementos Finitos Porto Portugal 1ª Edição Abril 2003 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto FERREIRA A J M MATLAB Codes for Finite Element Analysis Solids and Structures Porto Springer 2009 OLIVEIRA D B Implementação computacional de modelos elastoplasticos para análise fisicamente não linear Dissertação de mestrado Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Belo Horizonte Minas Gerais Brasil 2016