Notas de Aula: Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 1 1 Capítulo 05 MÉTODO DIRETO 51 INTRODUÇÃO O método direto consiste em obter a equação de elementos finitos à partir dos conceitos de equilíbrio Para elementos simples este método é uma alternativa em relação à utilização dos métodos energéticos ou resíduos ponderados Mas para elementos mais complexos sua utilização é praticamente inviável Este capítulo quase que integralmente foi extraído da Apostila Métodos Numéricos para Engenharia do Prof Marco Antônio Luersen 2000 docente do então CEFETPR hoje Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR 52 FORMULAÇÃO DO ELEMENTO DE BARRA PELO MÉTODO DIRETO Para exemplificar a utilização do método direto ele será aplicado para a obtenção da equação do elemento finito para análise estrutural mais simples o elemento de barra Analisandose um elemento finito de barra de comprimento 𝐿 com dois nós atuando sobre eles as forças 𝐹1 e 𝐹2 conforme esquematiza a Figura 51 fazendo o equilíbrio de forças temse que 𝐹1 𝐹2 0 ou 𝐹1 𝐹2 51 Como o elemento de barra está submetido apenas a um carregamento axial temse somente a tensão normal 𝜎𝑥 atuando ao longo da barra e 𝜎𝑥 𝑃𝑥 𝐴 52 onde 𝑃𝑥 é o esforço normal e 𝐴 a área da seção transversal do elemento Assim pode se escrever 𝐹1 𝜎𝑥𝐴 ou 𝐹2 𝜎𝑥𝐴 53 Figura 51 Forças atuantes sobre o elemento de barra Fonte Luersen 2000 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 2 2 Utilizando a lei de Hooke para o estado uniaxial de tensões sabese que 𝜎𝑥 𝐸𝜀𝑥 logo 𝐹1 𝐸𝐴𝜀𝑥 𝐹2 𝐸𝐴𝜀𝑥 54 A deformação axial 𝜀𝑥 é dada em função do deslocamento axial 𝑢𝑥 através de sua derivada em relação à coordenada 𝑥 𝜀𝑥 𝑑𝑢𝑥 𝑑𝑥 55 Assumindo que a deformação 𝜀𝑥 é constante ao longo do elemento podese escrever 𝜀𝑥 𝐿 𝐿 56 em que 𝐿 é a variação do comprimento do elemento e 𝐿 o comprimento original do elemento 𝐿 pode ser dado em função dos deslocamentos nodais 𝑢1 e 𝑢2 𝐿 𝑢2 𝑢1 57 e a deformação 𝜀𝑥 toma a forma 𝜀𝑥 𝑢2𝑢1 𝐿 58 Substituindose a Equação 58 na Equação 54 temse que 𝐹1 𝐸𝐴 𝐿 𝑢2 𝑢1 𝐹2 𝐸𝐴 𝐿 𝑢2 𝑢1 59 que em notação matricial toma a forma 𝐴𝐸 𝐿 1 1 1 1 𝑢1 𝑢2 𝐹1 𝐹2 510 que é a mesma equação já deduzida anteriormente através da utilização de outros métodos para o elemento de barra REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LUERSEN M A Métodos Numéricos para Engenharia Introdução ao Método dos Elementos Finitos Fundamentos Teóricos CEFETPR Departamento de Engenharia Mecânica McGrawHill 2000