Notas de Aula: Método dos Elementos Finitos - Deduções do Elemento de Treliça 2D

Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 1 1 Capítulo 07 DEDUÇÃO DO ELEMENTO DE TRELIÇA 2D 71 INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores nas deduções da matriz de rigidez e vetor de carga do elemento de barra ele estava referenciado em relação a um sistema com eixo coordenado 𝑥 alinhado com o seu eixo axial No caso de não se ter esta situação necessitase fazer uma transformação de coordenadas Com esta transformação temse a possibilidade de modelar treliças planas pois estas têm a característica de seus membros sofrerem apenas tração ou compressão Este capítulo quase que integralmente foi extraído da Apostila Métodos Numéricos para Engenharia do Prof Marco Antônio Luersen 2000 docente do então CEFETPR hoje Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR 72 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PARA O ELEMENTO DE BARRA A Figura 71 apresenta o elemento finito em um sistema cujos eixos coordenados não estão alinhados com seu eixo axial Na Figura 71a são apresentados os graus de liberdade do elemento Note que o elemento não alinhado apesar de possuir um grau de liberdade por nó 𝑢𝑖 com direção coincidente com seu eixo centroidal possuirá dois graus de liberdade por nó em relação ao sistema de coordenadas global Figura 71b provenientes da decomposição daquele grau de liberdade nos eixos globais 𝑥 e 𝑦 Figura 71 Elemento de barra rotacionado em relação ao sistema de coordenadas global xy Fonte Luersen 2000 Sendo 𝑢 o deslocamento ao longo do elemento 𝑢 o deslocamento ao longo do eixo 𝑥 e 𝑣 o deslocamento ao longo do eixo 𝑦 𝑢 𝑢 cos 𝜃 𝑣 sin 𝜃 71 Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 2 2 A partir dessa decomposição podese escrever as relações entre os deslocamentos nodais e suas componentes nas direções 𝑥 e 𝑦 como 𝑢1 𝑢2 cos 𝜃 sin 𝜃 0 0 0 0 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 ou 𝒖 𝑻𝒖 72 em que 𝒖 𝑢1 𝑢2 é o vetor deslocamentos no sistema local 𝑻 cos 𝜃 sin 𝜃 0 0 0 0 cos 𝜃 sin 𝜃 é a matriz de transformação 𝒖 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 é o vetor deslocamentos no sist global 𝑥 𝑦 Uma força 𝑃 ao longo do elemento mesma direção de 𝑢 pode ser decomposta em componentes nas direções 𝑥 e 𝑦 𝑃𝑥 𝑃 cos 𝜃 𝑃𝑦 𝑃 sin 𝜃 73 e assim a relação entre as forças nodais e suas componentes nas direções 𝑥 e 𝑦 atuantes nos dois nós do elemento é escrita como 𝑃𝑥1 𝑃𝑦1 𝑃𝑥2 𝑃𝑦2 cos 𝜃 sin 𝜃 0 0 0 0 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑃1 𝑃2 ou 𝑷 𝑻𝑇𝑷 74 em que 𝑷 𝑃1 𝑃2 é o vetor carregamento nodal no sistema local 𝑷 𝑃𝑥1 𝑃𝑦1 𝑃𝑥2 𝑃𝑦2 é o vetor carregamento no sistema global 𝑥 𝑦 𝑻𝑇 cos 𝜃 sin 𝜃 0 0 0 0 cos 𝜃 sin 𝜃 é a transposta da matriz de transformação 𝑻 Inserindo as Equação 72 e 74 na equação de elementos finitos do elemento de barra agora expressa em termos de 𝑢1 e 𝑢2 ou seja 𝐴𝐸 𝐿 1 1 1 1 𝑢1 𝑢2 𝑃1 𝑃2 75 e pré multiplicando por 𝑻𝑇 obtémse Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 3 3 cos 𝜃 sin 𝜃 0 0 0 0 cos 𝜃 sin 𝜃 𝐴𝐸 𝐿 1 1 1 1 cos 𝜃 sin 𝜃 0 0 0 0 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑃𝑥1 𝑃𝑦1 𝑃𝑥2 𝑃𝑦2 76 ou 𝑲𝒖 𝑷 77 onde 𝑲 é a matriz de rigidez do elemento de barra expressa no sistema de coordenadas global 𝑥 𝑦 e dada por 𝑲 𝑻𝑇𝑲𝑻 𝐴𝐸 𝐿 cos2 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 sin2 𝜃 𝑆𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 cos2 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 cos2 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 sin2 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 sin2 𝜃 78 sendo 𝑲 a matriz de rigidez do elemento de barra no sistema local A Equação 77 ou 76 é a equação para o elemento de barra em relação a um sistema de coordenadas 𝑥 𝑦 para o caso geral em que seu eixo centroidal está inclinado em relação ao eixo 𝑥 de um ângulo 𝜃 A força axial ao longo de cada membro pode ser obtida a partir dos deslocamentos no sistema de coordenadas local Equação 75 Inserindo a Equação 72 na Equação 75 podese obter as forças axiais nos membros em função dos deslocamentos nodais no sistema 𝑥 𝑦 que foram obtidos diretamente da resolução do sistema linear expresso pela Equação 77 𝑷 𝐴𝐸 𝐿 1 1 1 1 𝑻𝒖 ou 𝑃1 𝑃2 𝐴𝐸 𝐿 1 1 1 1 cos 𝜃 sin 𝜃 0 0 0 0 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 79 Desenvolvendo as multiplicações matriciais da Equação 77 temse que 𝑃1 𝐴𝐸 𝐿 𝑢1 𝑢2 cos 𝜃 𝑣1 𝑣2 sin 𝜃 𝑃2 𝐴𝐸 𝐿 𝑢1 𝑢2 cos 𝜃 𝑣1 𝑣2 sin 𝜃 710 Note que 𝑃1 𝑃2 e assim apenas uma das Equações 710 necessita ser calculada Geralmente é escolhida a força associada ao nó 2 𝑃2 pois pode ser interpretado que o membro está sob tração se for positiva e sob compressão se for negativa A partir de 𝑃2 podese também calcular a tensão normal de cada elemento apenas dividindose 𝑃2 pela área correspondente Notas de Aula Introd ao Método dos Elementos Finitos Prof Dr Sebastião Simão da Silva Agosto de 2020 4 4 𝜎 𝑃2 𝐴 711 Para montar a matriz de rigidez necessitase das propriedades 𝐸 e 𝐴 de cada elemento do comprimento 𝐿 e do ângulo 𝜃 sendo que estes dois últimos dados geralmente não são fornecidos diretamente Podese calcular o comprimento 𝐿 o coseno e o seno do ângulo 𝜃 para cada elemento a partir de suas coordenadas nodais ou seja 𝐿 𝑥2 𝑥12 𝑦2 𝑦12 cos 𝜃 𝑥2𝑥1 𝐿 e sin 𝜃 𝑦2𝑦1 𝐿 712 onde 𝑥1 𝑦1 são as coordenadas do primeiro nó do elemento e 𝑥2 𝑦2 do segundo nó do elemento EXERCÍCIOS Dada a estrutura apresentada na Figura 72 calcular o deslocamento no ponto 𝐴 as forças axiais e as tensões normais em cada membro utilizando o MEF A área de cada membro está indicada e os dois membros são de aço cujo módulo de elasticidade 𝐸 é igual a 20 105𝑀𝑃𝑎 Utilizar unidades compatíveis Figura 72 Treliça plana composta de duas barras Fonte Luersen 2000 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LUERSEN M A Métodos Numéricos para Engenharia Introdução ao Método dos Elementos Finitos Fundamentos Teóricos CEFETPR Departamento de Engenharia Mecânica McGrawHill 2000