Critério de Estabilidade de Nyquist: Análise e Aplicações

22 de dezembro de 2021 PROFESSORA LUDMILA FERREIRA DOS ANJOS Critério de Estabilidade de Nyquist I Aline da Silva Magalhães Estabilidade de Nyquist Agenda de Hoje Assuntos dessa aula Critério de Estabilidade de Nyquist RE DIAGRAMAS POLARES Crité rio de Nyquist Considerese o sistema A FTMF é Rs Gs 1 Gs Hs Para estabilidade todas as raízes da equação característica 1 Gs Hs 0 devem permanecer no semiplano s da esquerda Crité rio de Nyquist Observase que embora os pólos e zeros da FTM A GsHs possam estar no SPD de s o sistema é está vel se todos os pólos da FTM F isto é as raízes da equação característica estiverem no SPE de s Crité rio de Nyquist O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência a malha aberta GsHs ao número de zeros e pólos de 1 GsHs que estão no SPD do plano s As curvas de resposta em frequência de MA obtidas analiticamente bem como aquelas obtidas experimentalmente podem ser utilizadas na análise de estabilidade Isto é conveniente porque no projeto de um sistema de controle muitas vezes ocorre que as expressões matemáticas para alguns dos componentes não são conhecidas sendo disponíveis apenas seus dados de resposta em frequência Dada a equação característica Fs 1 GsHs 0 Podese expandir de forma que Fs 1 NsDs Ds NsDs Ks zis pi Assim descobrese que as raízes de um sistema estável os zeros de Fs devem estar no SPE Deve ser escolhido um contorno ΓS que envolva inteiramente o SPD Crítério de Nyquist Alternativamente é possível definir a função Fs Fs Fs 1 GsHs Enunciado Um sistema com retroação é estável se e somente se o contorno ΓGH no plano GHs não circunscrever o ponto 10 quando o número de pólos de GsHs no SPD de s for zero P0 Quando o número de pólos de GsHs no SPD de s for diferente de zero o critério de Nyquist é Um sistema com retroação é estável se e somente se para o contorno ΓGH o número de circunscrições no sentido antihorário do ponto 10 for igual ao número de pólos de GsHs com parte real positiva Resumindo N Z P Z N P onde Z n de zeros da função 1 GsHs no interior do contorno de Nyquist P n de pólos da função GsHs no interior do contorno de Nyquist N n de envolvimentos do ponto crítico 1 no sentido horário do plano GH Critério de Nyquist Resumindo Exemplo 1 Sistema com 2 pólos reais Sistema com 2 pólos reais Sistema com 2 pólos reais Sistema com 1 pólo na origem No contorno Γs no plano s é efetuado um desvio infinitesimal em torno do pólo na origem por meio de um pequeno semicirculo de raio ε em que ε 0 Esse desvio é consequência do Teorema de Cauchy que requer que o ponto não passe pelo pólo na origem Um ponto representativo s se move ao longo do eixo jω negativo de j até j0 De s j0 até s j0 o ponto se move ao longo da semicircunferência de raio ε onde ε 1 e em seguida se move ao longo do eixo jω positivo desde j0 até j De s j o contorno segue uma semicircunferência com raio infinito e o ponto representativo retorna ao ponto de partida A área que o contorno fechado modificado evita é muito pequena e tende a zero à medida que o raio ε tende a zero Um esboço do contorno ΓGH está mostrado Para investigar a estabilidade do sistema constatase que o número P de pólos no interior do SPD de s é zero Sistema com 3 pólos O contorno de Nyquist Γₛ é o mesmo do anterior e o contorno Γₕ está mostrado abaixo Para investigar a estabilidade do sistema constatase que o número P de pólos no interior do SPD de s é zero Em consequência para que este sistema seja estável é necessário que se tenha N Z 0 ou seja o contorno Γₕ não pode circunscrever o ponto 1 no plano GHs Examinandose constatase que Para pequenos valores de K não há nenhum envolvimento Para grandes valores de K o ponto 1 é envolvido duas vezes no sentido horário indicando 2 pólos de MF no SPD sistema instável Exemplo 1 Dado um sistema de controle GHs Ks²τs 1 Sistema com 2 pólos na origem Para investigar a estabilidade do sistema constatase que o número P de pólos no interior do SPD de s é zero Em consequência para que este sistema seja estável é necessário que se tenha N Z 0 ou seja o contorno ΓGH não pode circunscrever o ponto 1 no plano GHs Examinandose constatase que o ponto 1 é envolvido duas vezes no sentido horário contorno circunscreve 1 indicando 2 pólos de MF no SPD sistema instável independente do valor de K Sistema com 1 pólo no SPD O contorno ΓGH está mostrado abaixo Para investigar a estabilidade do sistema constatase que o número P de pólos no interior do SPD de s é 1 ou seja P 1 Examandose constatase que O contorno ΓGH circunscreve o ponto 1 uma vez no sentido horário N 1 Portanto Z N P 2 indicando 2 zeros da eq característica no SPD sistema instável independente do valor de K Referências OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4ª Edição 2003 PrenticeHall OGATA 2003 DORF RC BISHOP RH Sistemas de Controle Modernos Rio de Janeiro 11ª Ed LTC 2009 Material elaborado pelo Prof José Luiz Ferraz Barbosa