Projeto de Sistemas de Controle pela Resposta em Frequência

Projeto de sistemas de controle pela resposta em frequência O que veremos Introdução Características básicas de compensação por avanço atraso e atrasoavanço de fase Compensação por avanço de fase Resolução de Exercício 1 Introdução Ogata p450 No projeto de um sistema de controle o desempenho é de fundamental importância Um sistema de controle adequado deve ser estável capaz de produzir respostas aceitáveis aos comandos de entrada capaz de reduzir o efeito de perturbações indesejáveis É raro ter um sistema de controle com retroação que propicie um desempenho ótimo sem necessidade de quaisquer ajustes 1 Introdução Muitas vezes não é possível obter todas as especificações desejadas Tornase necessário estabelecer um compromisso entre as especificações requeridas e conflitantes e proceder o ajuste dos parâmetros de modo a alcançar um desempenho aceitável Nesta busca quase sempre é possível ajustar os parâmetros do sistema no sentido de se obter uma resposta desejada 1 Introdução Entretanto muitas vezes é necessário reconsiderar a estrutura do sistema e reprojetálo afim de que seja obtido o sistema desejado A alteração ou o ajuste de um sistema de controle com a finalidade de obter um desempenho adequado é chamada de compensação 1 Introdução Ao se reprojetar um sistema de controle inserese um componente adicional na estrutura É este componente que equaliza ou compensa a deficiência de desempenho 1 Introdução No projeto de um sistema de controle dentre todos os índices de desempenho aqueles situados em regime transitório é usualmente o aspecto mais importante Na abordagem no domínio de frequência o desempenho em regime transitório é especificado de forma indireta 1 Introdução O desempenho da resposta transitória é expresso em termos de margem de fase margem de ganho magnitude do pico de ressonância fornecem boa estimativa do amortecimento do sistema frequência de cruzamento de ganho frequência de ressonância banda passante fornecem estimativa razoável da veloc da resposta transitória das constantes de erro estático fornecem a exatidão do sistema em regime permanente 1 Introdução Embora a correlação entre o regime transitório e a resposta de frequência seja indireta as especificações no domínio de frequência podem ser alcançadas convenientemente na abordagem via diagramas de Bode Após se ter projetado a malha aberta através do método de resposta de frequência os pólos e zeros a malha fechada podem ser determinados As características da resposta transitória devem ser verificadas para ver se o sistema projetado satisfaz os requisitos no domínio do tempo 1 Introdução Se não satisfazer o compensador deve ser modificado e a análise repetida até que o resultado obtido seja satisfatório O projeto no domínio de frequência é simples e direto O diagrama de resposta de frequência indica claramente a maneira através da qual se deve modificar o sistema 1 Introdução Devido à dificuldade de se deduzir as equações que governam certos componentes tais como dispositivos pneumáticos e hidráulicos as características dinâmicas destes componentes são de hábito determinadas experimentalmente através de testes de resposta de frequência Os gráficos de resposta de frequência obtidos podem ser combinados facilmente com outros gráficos de resposta de frequência quando se utiliza o método dos diagramas de Bode 1 Introdução Há duas abordagens de projeto no domínio de frequência utilizando o diagrama polar acrescentando um compensador não retém a forma original tornando necessário construir um novo diagrama polar utilizando os diagramas de Bode os DBode de um compensador podem ser adicionados aos DBode originais e o traçado final é uma tarefa simples 1 Introdução Podese dizer que em muitos casos práticos a compensação é essencialmente um compromisso entre a exatidão em regime permanente e a estabilidade relativa Para se ter um valor elevado de constante de erro de velocidade e ainda uma estabilidade relativa satisfatória tornase necessário reconfigurar a forma da curva de resposta de frequência a malha aberta 1 Introdução O ganho na região de baixas frequências deve ser suficientemente elevado Além disto nas proximidades da frequência de cruzamento de ganho a inclinação da curva de módulo em dB do diagrama de Bode deve ser 20 dBdécada Esta inclinação deve se estender sobre uma faixa de frequências suficientemente ampla de modo a assegurar uma margem de fase adequada Para a região de altas frequências o ganho deve ser atenuado tão rapidamente quanto possível a fim de minimizar os efeitos do ruído Características básicas de compensação por avanço atraso e atrasoavanço de fase A compensação por avanço de fase resulta essencialmente em uma melhoria apreciável na resposta transitória e em uma pequena variação da precisão em regime estacionário Ela pode acentuar os efeitos dos ruídos de alta frequência A compensação por atraso de fase por outro lado produz uma sensível melhora na precisão do regime estacionário à custa de um aumento da duração da resposta transitória A compensação por atraso de fase suprime os efeitos dos sinais de ruído de alta frequência A compensação por atraso e avanço de fase combina as características tanto da compensação por avanço como da compensação por atraso de fase A situação particular determina o tipo de compensação a ser usado A compensação por avanço de fase conduz a uma melhoria considerável do regime transitório e a uma pequena variação na exatidão em regime estacionário Entretanto ela pode acentuar os efeitos de ruídos de alta frequência Sua utilização eleva a ordem do sistema de uma unidade a menos que haja cancelamento entre o zero do compensador e um dos pólos da função de transferência a malha aberta nãocompensada A compensação por atraso de fase conduz a uma melhoria da exatidão em regime estacionário à custo de um aumento na duração do regime transitório suprime os efeitos dos sinais de ruído de altas frequências Sua utilização eleva a ordem do sistema de uma unidade a menos que haja cancelamento entre o zero do compensador e um dos pólos da função de transferência a malha aberta nãocompensada A compensação por atrasoavançado de fase combina as características de ambos os compensadores de atraso de fase e de avanço de fase Sua utilização eleva a ordem do sistema de duas unidades a menos que ocorra cancelamento entre zeros do compensador e pólos da função de transferência a malha aberta nãocompensada Isto significa que o sistema se torna mais complexo e é mais difícil controlar o comportamento em regime transitório 21Compensação por Avanço de Fase 21Compensação por Avanço de Fase 21Compensação por Avanço de Fase 21Compensação por Avanço de Fase O diagrama polar de Kcalpha fracjomega T 1jomega alpha T 1 0 α 1 com Kc1 é 21Compensação por Avanço de Fase Para um dado valor de α o ângulo formado pelo eixo real positivo com a tangente traçada da origem à semicircunferência fornece o valor máximo de avanço de fase φm A frequência no ponto de tangência será designada por ωm 21Compensação por Avanço de Fase A partir do diagrama polar o ângulo de fase na frequência ω ωm é φm onde senφm frac1alpha2 frac1alpha1alpha relacionando o valor máximo de avanço de fase com o valor de α 21Compensação por Avanço de Fase 21Compensação por Avanço de Fase 21Compensação por Avanço de Fase 21Compensação por Avanço de Fase Admitir o seguinte compensador por avanço de fase GCs Kc alpha fracTs1alpha Ts1 Kc fracsfrac1Tsfrac1alpha T quad 0 alpha 1 21Compensação por Avanço de Fase A função de transferência a malha aberta do sistema compensado é GCsGs K fracTs1alpha Ts1Gs fracTs1alpha Ts1KGs fracTs1alpha Ts1G1s onde G1s K Gs 1 Determinar o ganho K que satisfaça o requisito sobre a constante de erro estático dada KV lims o 0 s cdot K cdot Gs 21Compensação por Avanço de Fase 21Compensação por Avanço de Fase 21Compensação por Avanço de Fase 21Compensação por Avanço de Fase 5 Determinar as frequências de corte do compensador Calcular 10 log α G₁ω em dB No DBode achar o ω para o G₁ω Essa frequência será a nova frequência de cruzamento ωₐ ω 21Compensação por Avanço de Fase Como ωₐ ωₘ 1αT Calcular o zero 1T do compensador por avanço de fase ω 1T ωₐα Calcular o pólo 1αT do compensador por avanço de fase ω 1αT zero α 21Compensação por Avanço de Fase 6 Usandose o valor de K determinado na etapa 1 e o de α determinado na etapa 4 calcular a constante Kₐ a partir de Kₐ Kα 21Compensação por Avanço de Fase 7 Verificar a margem de fase para se certificar se ela é satisfatória GcGHs jωc K Tjωc 1 αTjωc 1 GcGHωc 3dB φGcGωc 180 MF especificada Se não for repetir o processo de projeto modificando a localização posição de póloszero do compensador até que seja obtido um resultado satisfatório 21Compensação por Avanço de Fase Exercício 01 Considerese o sistema A função de transferência a malha aberta é Gs 4ss 2 Desejase projetar um compensador para o sistema de modo que a constante de erro estático de velocidade Kv seja 20 s1 a margem de fase seja pelo menos igual a 50 e a margem de ganho seja no mínimo igual a 10 dB 21Compensação por Avanço de Fase Exercício 01 Será usado um compensador por avanço de fase da forma Gcs Kcα Ts 1 αTs 1 Kc s 1T s 1αT o sistema compensado terá a FTMA GcsGs Por definição G1s KGs 4Kss 2 1 Determinar o ganho K que satisfaça o requisito sobre a constante de erro estático dada KV lims0 s K Gs Passo 2 traçar o diagrama de Bode referente a G1s frac40jωjω2 frac20jω05jω1 Não esquecer de normalizar a função Exercício 01 D Bode a partir deste gráfico obtémse a margem de fase e a margem de ganho MF 17 e MG dB Passo 3 calcular ϕAD MF desejado MF atual Passo 4 admitir que ϕm valor máximo do avanço de fase requerido é de aproximadamente 38 Passo 5 a próxima etapa consiste em se determinar as frequências de corte ω 1T e ω 1αT Para isto calcular 10 log α 619788 dB Exercício 01 Fazendo GIω 62dB No D Bode corresponde a ω 9 rads Exercício 01 Selecionase este valor para ser a nova frequência de cruzamento de ganho ωc ω ωc 1 αT Exercício 01 Os pólos e zeros serão 1T αωc 441 e 1αT ωcα 184 o compensador por avanço de fase assim determinado é GCs KC s 441s 184 Exercício 01 Passo 6 o valor de Kc é obtido com Kc K α 10 024 417 Portanto a função de transferência do compensador se torna Gcs 417s 441 s 184 100227s 1 0054s 1 Exercício 01 O sistema compensado possui a seguinte função de transferência a malha aberta GcsGs 417s 441 s 184 4 ss 2 Exercício 01 Passo 7 Verificar a margem de ganho para se certificar se ela é satisfatória GcGHωc 3dB φGcGωc 180 MF especificada Exercício 01 Referências Material extraído da aula de Sistemas de Controle II Projeto de Sistemas no domínio da frequência Prof José Luiz Ferraz Barbosa OGATA K Engenharia de Controle Moderno São Paulo 4ª Ed Ed Pearson PrenticeHall do Brasil Ltda 2003 DORF RC BISHOP RH Sistemas de Controle Modernos Rio de Janeiro 11ª Ed LTC 2009