Prova Sistemas de Controle II - Estabilidade e Diagramas de Nyquist e Bode

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS CAMPUS GOIÂNIA DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV Data 291122 2ª Avaliação de Sistemas de Controle II Professora Aline da Silva Magalhães Nome Sarah Helena de S Lopes Obs Não serão aceitas respostas diretas ou seja todos os cálculos devem ser apresentados para validação da questão Não é permitido o uso de aparelho celular 07 1 Determine a estabilidade do sistema sendo o diagrama polar mostrado na figura abaixo considerando que o sistema de malha fechada tenha a seguinte função de transferência de malha aberta GsHs K sTs 1 08 2 Considerese o sistema com realimentação mostrado abaixo Esboçar o diagrama de Nyquist para a função de transferência dada e analisar a estabilidade GHs 100 s5s10 08 3 Qual é a Margem de Fase e a Margem de Ganho do Sistema com a seguinte função de transferência de malha aberta Gs 8 ss4 07 4 Abaixo temos o diagrama em blocos de um determinado sistema e seu diagrama de Bode para K 1 a Determine a margem de fase e a margem de ganho Dizer se o sistema é estável ou instável b Faça no próprio diagrama um esboço do que acontecerá se o valor de K for alterado para K10 Como será a margem de fase e de ganho e em relação a sua estabilidade Critério de Nyquist N Z P Z N P Instabilidade Se Z 0 o sistema é instável por definição Isto porque os zeros de 1 GsHs correspondem aos pólos da FTMF Gs1GsHs E se há pólos em MF localizados no SPD o sistema é instável Estabilidade Quando não há pólos ou zeros de 1 GsHs nos eixos jω do plano s e Z 0 o sistema é estável somente nas seguintes condições P 0 e N 0 contorno e diagrama de Nyquist possuem o mesmo sentido P 0 e N P contorno e diagrama de Nyquist possuem sentidos contrários Z nº de zeros da função 1 GsHs no interior do contorno de Nyquist P nº de pólos da função GsHs no interior do contorno de Nyquist N nº de envolvimentos do ponto crítico 1 no sentido horário do plano GH Margem de fase é o ângulo de atraso de fase adicional na frequência de cruzamento de ganho ωcg necessária para que o sistema atinja o limiar de estabilidade A frequência de cruzamento de ganho ωcg é a frequência na qual o módulo da FTMA for unitário ou 0 dB ie Gjωcg 1 ou GjωcgdB 0 dB Assim a MF é determinada como MF 180 φ onde MF é a margem de fase φ Gjωcg é o ângulo de fase da FTMA de cruzamento de ganho Margem de ganho é o recíproco do módulo Gjω na frequência em que o ângulo é 180 Definamos a frequência de cruzamento de fase ωcr como a frequência em que o ângulo de fase da FTMA é igual a 180 resulta na margem de ganho MG MG 1 Gjωcr MGdB 20log10 MG 20log10 Gjωcr Questão 2 A equação que nos foi dada é G s H s 100 s5 s10 Realizando a análise apenas na frequência temos G jω H jω 100 jω5 jω10 Ao abrir o denominador e separar a parte real da imaginária ficamos com G jω H jω 100 50ω 2 j15ω Para garantir um denominador real podemos multiplicar em cima e em baixo por seu conjugado G jω H jω 100 50ω 2 j15ω 50ω 2 j 15ω 50ω 2 j 15ω G jω H jω10050ω 2j 15ω 50ω 2 215ω 2 G jω H jω 10050ω 2j 15ω 50 2100ω 2ω 415 2ω 2 Agora podemos separar a parte real da parte imaginária G jω H jω 5000100ω 2 ω 4125ω 250 2j 1500ω ω 4125ω 250 2 ℜG jω H jω 5000100 ω 2 ω 4125ω 250 2 ℑG jω H jω 1500ω ω 4125ω 250 2 Com isto também podemos calcular o módulo e a fase G jω H jω5000100 ω 2 21500ω 2 ω 4125ω 250 2 G jω H jωarctg 1500ω 5000100ω 2 Podemos verificar alguns pontos de interesse Para ω0 G 0 H 0 100 510 G 0 H 02 G jω H jω2 G jω H jω0 Para ω lim ω G jωH jωlim ω 100 jω5 jω10 lim ω G jωH jωlim ω 100 ω j 5 ω j 10 ω lim ω G jωH jω 0 j0 j0 lim ω G jωH jω0 G jω H jω0 G jω H jωarctg 1500ω 5000100ω 2 G jω H jωarctg 1500 ω 5000 ω 2 100 G jω H jωarctg 0 100 G jω H jω0 Para saber em que momento o gráfico cruza o eixo real temos ℑG jω H jω0 1500ω ω 4125ω 250 20 ω0 Para saber em que momento o gráfico cruza o eixo imaginário temos ℜG jω H jω0 5000100ω 2 ω 4125ω 250 20 5000100ω 20 100ω 25000 ω507 07 ℑG j50 H j50 150050 50 412550 250 2 ℑG jω H jω 150050 50 21255050 2 ℑG jω H jω0943 G jω H jω0943 G jω H jωarctg 0943 0 90 THE SEA STONE STORIES Because the Sea Made Us Written by Erica Rowell Using the story The Gone Fishing which many of us grew up with this play was carefully crafted to tell the story of what happened and how it affected our families communities and our future generations We hope you will enjoy engaging with the story being told here and of course walk away with a better understanding of what is the Sea Stone Story This play was created by Storytellers and Drama facilitators from the three communities of Rufiji Kilwa and Lindi in Tanzania and 25 adult presence that fed into creating this story In honouring the connections with the Swahili coast we include stories music and performances from communities outside of Tanzania Agora devemos espelhar a figura podemos ver o resultado utilizando o próprio MATLAB para conferir se calculamos corretamente Para analisar a estabilidade temos que o sistema de malha aberta não possui pólos no SPD pois os polos estão em s5 e s10 ou seja P0 A quantidade de voltas em torno de 1 no sentido horário pelo gráfico são 0 voltas ou seja N0 Temos que a quantidade de polos no SPD para o sistema em malha fechada é dada por ZNP Z00 Z0 Como a quantidade de polos no semiplano direito para a função de transferência de malha fechara é zero o sistema é estável Questão 3 Para analisar a margem de ganho e a margem de fase devemos identificar a parte real parte imaginária módulo e fase da função de transferência de malha aberta G s 8 s s4 8 s 24 s G jω 8 jω 24 jω G jω 8 ω 2 j 4ω G jω 8 ω 2 j 4ω ω 2 j 4ω ω 2 j 4ω G jω8ω 2j 32ω ω 416ω 2 8ωj 32 ω 316ω G jω 8ω ω 316ω j 32 ω 316ω G jω 8 ω 216 j 32 ω 316ω Agora podemos identificar facilmente a parte real e a parte imaginária ℜG jω H jω 8 ω 216 ℑG jω H jω 32 ω 316 ω Com isto também podemos calcular o módulo e a fase G jω H jω8ω 232 2 ω 316ω G jω H jωarctg 32 8ω Para saber em que momento o gráfico cruza o eixo real temos ℑG jω H jω0 32 ω 316ω 0 Como nenhum valor de ω atende a esta equação apenas ω temos que o diagrama de Nyquist só toca o eixo real no infinito Desta forma a margem de ganho é infinita Para calcular a margem de fase observase em que momento o módulo é igual a 1 G jω H jω1 8ω 232 2 ω 316ω 1 8ω 232 2ω 316ω 8ω 232 2 ω 316ω 2 64 ω 21024ω 632ω 4256ω 2 1024ω 632ω 4192ω 2 Substituindo a variável ω 2z z 332z 2192 z10240 z16z 216z640 A partir da equação acima já identificamos uma das raízes z116 As outras duas raízes podem ser identificadas pela equação de segundo grau a seguir z 216 z640 z231616 2464 2 z238113137 Desta forma temos as seguintes raízes z116 z2193137 z333137 Como o único resultado positivo é z33137 zω 2 ω33137 ω182rad s A frequência a ser analisada para a margem de fase é 182rads G jω H jωarctg 32 8ω G jω H jωarctg 32 81826553 A margem de fase é 6553 Questão 4 A partir do gráfico de Bode podemos encontrar a margem de ganho observando qual frequência correspondente a fase de 180 e com esta frequência observamos a magnitude que ela representa É possível verificar este caminho a partir dos seguimentos azuis Pelo gráfico é possível visualizar que o ganho é de aproximadamente 15dB Gm10 15 20562V V Já para a margem de fase devemos analisar o segmento vermelho Onde observamos para qual frequência o ganho é 0dB com esta frequência observamos qual a fase que ela representa Pelo gráfico é possível observar uma fase de aproximadamente 105 somando 180 à fase temos que a margem de fase é 75 Podemos calcular a partir da função de transferência dada e assim verificar os valores obtidos G s 16 K s1 s2 s4 G s 16 K s 23 s2s4 G s 16 K s 37s 214 s8 G jω 16 K jω 37 jω 214 jω8 G jω 16K 87ω 2 j14 ωω 3 G jω 16K 87ω 2 j14 ωω 3 87 ω 2 j14 ωω 3 87 ω 2 j14 ωω 3 G jω16 K 87ω 2j 14ωω 3 87ω 2 214ωω 3 2 G jω 16 K 87ω 2 87ω 2 214 ωω 3 2 j 16 K 14ωω 3 87ω 2 214 ωω 3 2 ℜG jω 16 K 87ω 2 87ω 2 214ωω 3 2 ℑG jω 16K 14 ωω 3 87ω 2 214ωω 3 2 G jω16 K 87ω 2 214 ωω 3 2 87ω 2 214 ωω 3 2 G jωarctg 14 ωω 3 87ω 2 Para a margem de ganho temos 16 K 14ωω 3 87 ω 2 214 ωω 3 20 14ω 20 ω14 ω374 G jω16 K 87ω 2 214 ωω 3 2 87ω 2 214 ωω 3 2 Para K1 ω374 G jω16 87ω 2 214ωω 3 2 87ω 2 214ωω 3 2 017795 MG 1 G jω 1 017795 562 Para a margem de fase temos G jω16 87ω 2 214ωω 3 2 87ω 2 214ωω 3 2 1 1687ω 2 214 ωω 3 287 ω 2 214ωω 3 2 z87ω 2 214ωω 3 2 16 zz z z z z 16 z16 z256 87ω 2 214ωω 3 2256 64112ω 249ω 4196ω 228ω 4ω 6256 ω 621ω 484ω 21920 Substituindo ω 2z z 321z 284 z1920 As raízes são z114047 z285513 z315984 Como a única raiz positiva é z3 temos ω z ω1598412643 G jωarctg 14 ωω 3 87ω 2 arctg 16102 3189 1012 MF180G jω78 8 Os valores obtidos MG562 e MF788 são bastante próximas aos encontrados apenas observando o diagrama de Bode Share your thoughts and comments about this Sea Stone Story at httpsseastonestoryorgcontactus This play is a peoples history history as told by those who lived it as truthfully as possible there is no intent to compete with academia or other disciplines but rather to bring to life the story of the sea stone through stories song and dance from the people themselves For the purposes of this play and to assist clarity when reading it the following definitions have been created These do not represent historically or socially sensitive terms but are used in this context to help guide understanding 1 AFRICAN For the purposes of our story African means the Bantu people of the East African coast generally speaking those whose ancestors originally lived on the continent of Africa 2 ARAB ARABIAN A person from the Arabian Peninsula or a person whose ancestors were originally from the Arabian Peninsula 3 OMANI The term Omani is used to describe people from Oman or whose ancestry is from Oman 4 WASWAHILI Refers to a people group who live along the East African Coast and Islands including covering the region from Northern Kenya Southern Somalia through Tanzania and northern Mozambique Although Swahili may be used generically to describe a person culture or language from this region this term is often contested so in our story we have used the term Waswahili to try to establish a nondisputed identity 5 GREEK A person from Greece or of Greek ancestry 6 ARYAN Relating to a people speaking an IndoEuropean language of northwest India and Iran believed to have settled ancient Iran and northern India and brought Vedic religion with them 7 FOREIGNER A person or people who come from a country other than the one they currently live in especially a person who is visiting from another country 8 PERSIAN A person from Iran or whose ancestry is from Iran 9 INDIAN A person from India or whose ancestry is from India 10 SPIRIT A supernatural being embodying a particular quality or power often thought to be the soul of a person or animal 11 MYSTICAL Having a spiritual significance that goes beyond human understanding 12 MAASAI An ethnic group inhabiting northern central and southern Kenya and northern Tanzania 13 ZANZIBAR An island off the coast of Tanzania in East Africa 14 SWAHILI A language widely spoken in East Africa and the language of the Waswahili people 15 SULTAN A Muslim sovereign ruler 16 SLAVE A person who is the legal property of another and is forced to obey them 17 MALAY A person from the Malay Peninsula or Malay ethnic group originating from Southeast Asia including Malaysia and Indonesia 18 ARAMIC A Semitic language spoken in ancient times in the Middle East and the language spoken by Jesus Christ 19 WASI This term refers to people from the islands of the East African coast including Zanzibar and Pemba Wasi are also often referred to as Waswahili Thank you for engaging in our story LETRA B Com um ganho K10 o diagrama da magnitude deve subir em 20dB para multiplicação por 10 no ganho é acrescentado 20dB à magnitude Como pode ser visto no gráfico em verde foi redesenhada a magnitude com 20dB a mais e a partir desta nova magnitude devemos encontrar os novos valores para margem de ganho e margem de fase Para a margem de ganho encontramos um valor próximo aos 5dB desta forma MG10 5 200562 Já para a margem de fase o valor da fase é menor que 180 sendo algo próximo a 200 MF18020020 Como a margem de fase é menor que 0 o sistema é instável Para averiguar se foi calculado corretamente podemos recorrer ao método analítico a partir da função de transferência Para a margem de ganho temos K10 ω374 G jω16087ω 2 214 ωω 3 2 87ω 2 214ωω 3 2 17795 MG 1 G jω 1 17795 0562 Para a margem de fase temos z160 z25600 87ω 2 214ωω 3 225600 64112ω 249ω 4196ω 228ω 4ω 625600 ω 621ω 484ω 2255360 Substituindo ω 2z z 321z 284 z255360 As raízes são z123124 z2322062 j24851 Como a única raiz positiva é z1 temos ω z ω231244809 G jωarctg 14 ωω 3 87ω 2 arctg 4389 153885195 92 MF180G jω1592 Os valores obtidos MG0562 e MF15 92 são bastante próximas aos encontrados apenas observando o diagrama de Bode Questão 2 A equação que nos foi dada é 𝐺𝑠𝐻𝑠 100 𝑠 5𝑠 10 Realizando a análise apenas na frequência temos 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 100 𝑗𝜔 5𝑗𝜔 10 Ao abrir o denominador e separar a parte real da imaginária ficamos com 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 100 50 𝜔2 𝑗15𝜔 Para garantir um denominador real podemos multiplicar em cima e em baixo por seu conjugado 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 100 50 𝜔2 𝑗15𝜔 50 𝜔2 𝑗15𝜔 50 𝜔2 𝑗15𝜔 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 10050 𝜔2 𝑗15𝜔 50 𝜔22 15𝜔2 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 10050 𝜔2 𝑗15𝜔 502 100𝜔2 𝜔4 152𝜔2 Agora podemos separar a parte real da parte imaginária 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 5000 100𝜔2 𝜔4 125𝜔2 502 𝑗 1500𝜔 𝜔4 125𝜔2 502 𝑅𝑒𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 5000 100𝜔2 𝜔4 125𝜔2 502 𝐼𝑚𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 1500𝜔 𝜔4 125𝜔2 502 Com isto também podemos calcular o módulo e a fase 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 5000 100𝜔22 1500𝜔2 𝜔4 125𝜔2 502 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1500𝜔 5000 100𝜔2 Podemos verificar alguns pontos de interesse Para 𝜔 0 𝐺0𝐻0 100 5 10 𝐺0𝐻0 2 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 2 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 0 Para 𝜔 lim 𝜔 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 lim 𝜔 100 𝑗𝜔 5𝑗𝜔 10 lim 𝜔 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 lim 𝜔 100 𝜔 𝑗 5 𝜔 𝑗 10 𝜔 lim 𝜔 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 0 𝑗 0𝑗 0 lim 𝜔 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 0 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 0 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1500𝜔 5000 100𝜔2 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1500 𝜔 5000 𝜔2 100 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0 100 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 0 Para saber em que momento o gráfico cruza o eixo real temos 𝐼𝑚𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 0 1500𝜔 𝜔4 125𝜔2 502 0 𝜔 0 Para saber em que momento o gráfico cruza o eixo imaginário temos 𝑅𝑒𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 0 5000 100𝜔2 𝜔4 125𝜔2 502 0 5000 100𝜔2 0 100𝜔2 5000 𝜔 50 707 𝐼𝑚𝐺𝑗50𝐻𝑗50 150050 50 4 12550 2 502 𝐼𝑚𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 150050 502 125 50 502 𝐼𝑚𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 0943 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 0943 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0943 0 90 Agora devemos espelhar a figura podemos ver o resultado utilizando o próprio MATLAB para conferir se calculamos corretamente Para analisar a estabilidade temos que o sistema de malha aberta não possui pólos no SPD pois os polos estão em 𝑠 5 e 𝑠 10 ou seja P0 A quantidade de voltas em torno de 1 no sentido horário pelo gráfico são 0 voltas ou seja N0 Temos que a quantidade de polos no SPD para o sistema em malha fechada é dada por 𝑍 𝑁 𝑃 𝑍 0 0 𝑍 0 Como a quantidade de polos no semiplano direito para a função de transferência de malha fechara é zero o sistema é estável Questão 3 Para analisar a margem de ganho e a margem de fase devemos identificar a parte real parte imaginária módulo e fase da função de transferência de malha aberta 𝐺𝑠 8 𝑠𝑠 4 8 𝑠2 4𝑠 𝐺𝑗𝜔 8 𝑗𝜔2 4𝑗𝜔 𝐺𝑗𝜔 8 𝜔2 𝑗4𝜔 𝐺𝑗𝜔 8 𝜔2 𝑗4𝜔 𝜔2 𝑗4𝜔 𝜔2 𝑗4𝜔 𝐺𝑗𝜔 8𝜔2 𝑗32𝜔 𝜔4 16𝜔2 8𝜔 𝑗32 𝜔3 16𝜔 𝐺𝑗𝜔 8𝜔 𝜔3 16𝜔 𝑗 32 𝜔3 16𝜔 𝐺𝑗𝜔 8 𝜔2 16 𝑗 32 𝜔3 16𝜔 Agora podemos identificar facilmente a parte real e a parte imaginária 𝑅𝑒𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 8 𝜔2 16 𝐼𝑚𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 32 𝜔3 16𝜔 Com isto também podemos calcular o módulo e a fase 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 8𝜔2 322 𝜔3 16𝜔 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 32 8𝜔 Para saber em que momento o gráfico cruza o eixo real temos 𝐼𝑚𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 0 32 𝜔3 16𝜔 0 Como nenhum valor de 𝜔 atende a esta equação apenas 𝜔 temos que o diagrama de Nyquist só toca o eixo real no infinito Desta forma a margem de ganho é infinita Para calcular a margem de fase observase em que momento o módulo é igual a 1 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 1 8𝜔2 322 𝜔3 16𝜔 1 8𝜔2 322 𝜔3 16𝜔 8𝜔2 322 𝜔3 16𝜔2 64𝜔2 1024 𝜔6 32𝜔4 256𝜔2 1024 𝜔6 32𝜔4 192𝜔2 Substituindo a variável 𝜔2 𝑧 𝑧3 32𝑧2 192𝑧 1024 0 𝑧 16𝑧2 16𝑧 64 0 A partir da equação acima já identificamos uma das raízes 𝑧1 16 As outras duas raízes podem ser identificadas pela equação de segundo grau a seguir 𝑧2 16𝑧 64 0 𝑧23 16 162 4 64 2 𝑧23 8 113137 Desta forma temos as seguintes raízes 𝑧1 16 𝑧2 193137 𝑧3 33137 Como o único resultado positivo é 𝑧 33137 𝑧 𝜔2 𝜔 33137 𝜔 182 𝑟𝑎𝑑𝑠 A frequência a ser analisada para a margem de fase é 182rads 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 32 8𝜔 𝐺𝑗𝜔𝐻𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 32 8 182 6553 A margem de fase é 6553 Questão 4 A partir do gráfico de Bode podemos encontrar a margem de ganho observando qual frequência correspondente a fase de 180 e com esta frequência observamos a magnitude que ela representa É possível verificar este caminho a partir dos seguimentos azuis Pelo gráfico é possível visualizar que o ganho é de aproximadamente 15dB 𝐺𝑚 1015 20 562𝑉𝑉 Já para a margem de fase devemos analisar o segmento vermelho Onde observamos para qual frequência o ganho é 0dB com esta frequência observamos qual a fase que ela representa Pelo gráfico é possível observar uma fase de aproximadamente 105 somando 180 à fase temos que a margem de fase é 75 Podemos calcular a partir da função de transferência dada e assim verificar os valores obtidos 𝐺𝑠 16𝐾 𝑠 1𝑠 2𝑠 4 𝐺𝑠 16𝐾 𝑠2 3𝑠 2𝑠 4 𝐺𝑠 16𝐾 𝑠3 7𝑠2 14𝑠 8 𝐺𝑗𝜔 16𝐾 𝑗𝜔3 7𝑗𝜔2 14𝑗𝜔 8 𝐺𝑗𝜔 16𝐾 8 7𝜔2 𝑗14𝜔 𝜔3 𝐺𝑗𝜔 16𝐾 8 7𝜔2 𝑗14𝜔 𝜔3 8 7𝜔2 𝑗14𝜔 𝜔3 8 7𝜔2 𝑗14𝜔 𝜔3 𝐺𝑗𝜔 16𝐾8 7𝜔2 𝑗14𝜔 𝜔3 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 𝐺𝑗𝜔 16𝐾8 7𝜔2 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 𝑗 16𝐾14𝜔 𝜔3 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 𝑅𝑒𝐺𝑗𝜔 16𝐾8 7𝜔2 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 𝐼𝑚𝐺𝑗𝜔 16𝐾14𝜔 𝜔3 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 𝐺𝑗𝜔 16𝐾 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 𝐺𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 14𝜔 𝜔3 8 7𝜔2 Para a margem de ganho temos 16𝐾14𝜔 𝜔3 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 0 14 𝜔2 0 𝜔 14 𝜔 374 𝐺𝑗𝜔 16𝐾 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 Para K1 𝜔 374 𝐺𝑗𝜔 16 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 017795 𝑀𝐺 1 𝐺𝑗𝜔 1 017795 562 Para a margem de fase temos 𝐺𝑗𝜔 16 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 1 168 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 𝑧 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 16𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 16 𝑧 16 𝑧 256 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 256 64 112𝜔2 49𝜔4 196𝜔2 28𝜔4 𝜔6 256 𝜔6 21𝜔4 84𝜔2 192 0 Substituindo 𝜔2 𝑧 𝑧3 21𝑧2 84𝑧 192 0 As raízes são 𝑧1 14047 𝑧2 85513 𝑧3 15984 Como a única raiz positiva é 𝑧3 temos 𝜔 𝑧 𝜔 15984 12643 𝐺𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 14𝜔 𝜔3 8 7𝜔2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 16102 3189 1012 𝑀𝐹 180 𝐺𝑗𝜔 788 Os valores obtidos 𝑀𝐺 562 e 𝑀𝐹 788 são bastante próximas aos encontrados apenas observando o diagrama de Bode LETRA B Com um ganho 𝐾 10 o diagrama da magnitude deve subir em 20dB para multiplicação por 10 no ganho é acrescentado 20dB à magnitude Como pode ser visto no gráfico em verde foi redesenhada a magnitude com 20dB a mais e a partir desta nova magnitude devemos encontrar os novos valores para margem de ganho e margem de fase Para a margem de ganho encontramos um valor próximo aos 5dB desta forma 𝑀𝐺 10 5 20 0562 Já para a margem de fase o valor da fase é menor que 180 sendo algo próximo a 200 𝑀𝐹 180 200 20 Como a margem de fase é menor que 0 o sistema é instável Para averiguar se foi calculado corretamente podemos recorrer ao método analítico a partir da função de transferência Para a margem de ganho temos 𝐾 10 𝜔 374 𝐺𝑗𝜔 160 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 17795 𝑀𝐺 1 𝐺𝑗𝜔 1 17795 0562 Para a margem de fase temos 𝑧 160 𝑧 25600 8 7𝜔22 14𝜔 𝜔32 25600 64 112𝜔2 49𝜔4 196𝜔2 28𝜔4 𝜔6 25600 𝜔6 21𝜔4 84𝜔2 25536 0 Substituindo 𝜔2 𝑧 𝑧3 21𝑧2 84𝑧 25536 0 As raízes são 𝑧1 23124 𝑧23 22062 𝑗24851 Como a única raiz positiva é 𝑧1 temos 𝜔 𝑧 𝜔 23124 4809 𝐺𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 14𝜔 𝜔3 8 7𝜔2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4389 153885 19592 𝑀𝐹 180 𝐺𝑗𝜔 1592 Os valores obtidos 𝑀𝐺 0562 e 𝑀𝐹 1592 são bastante próximas aos encontrados apenas observando o diagrama de Bode