Projeto de Compensador em Avanço de Fase para Sistemas de Controle - Análise e Dimensionamento

GRUPO 2 1 Considere o sistema da Figura abaixo Projete um compensador em avanço de fase de modo que o sistema de malha fechada satisfaça os seguintes requisitos constante de erro estático de velocidade 20 s1 margem de fase 35 e margem de ganho 10 dB Sistema de Controle Sistema Compensado 2 Considere o sistema abaixo Projetar um compensador em avanço Gcs tal que a margem de fase seja de 45 a margem de ganho não seja menor do que 8 db e a constante de erro de velocidade Kv seja 4 seg1 Questão 1 Parâmetros do projeto G s 10 s s1 Kv20s 1MF35 MG10 dB Formulas utilizadas Gc s KCs 1 T s 1 αT 0α 1 senϕm1α 1α ωm 1 α T Ganho K do sistema Klim s0 KCs 1 T s 1 αT KK C 1 T 1 αT KK C α Passo 1 Como a constante de erro estático de velocidade pode ser obtida como Kvlim s0 s KGs Kvlim s0 s K 10 s s1 Kv10K K K v 10 K20 10 K2 Passo 2 Com o valor da constante K encontrado é possível realizar o diagrama de bode do sistema e encontrar a margem de ganho e a margem de fase G1 s 10K s s1 G1 s 20 s s1 G1 jω 20 jω jω1 clear clc close all numG20 denG1 1 0 sysGtfnumGdenG marginsysG grid GmPmWcgWcp marginsysG Gm Pm127580 Wcg Wcp44165 Passo 3 Para determinar o ângulo de avanço realizase a diferença entre a margem de fase desejada e a margem de fase atual do sistema A este ângulo também é acrescido um valor entre 5 e 12 ϕ ADM FdesejadoM Fatual5 ϕ AD351285 ϕ AD27 2 Passo 4 Com o ângulo de avanço encontrado é possível definir o fator de atenuação α a partir da seguinte fórmula senϕm1α 1α 1α 1α senϕm 1α1αsenϕm αsen ϕmα1sen ϕm α 1senϕm 1senϕm Substituindo ϕm pelo valor do ângulo de avanço encontrado α1sen27 2 1sen27 2 α03726 Passo 5 O valor em dB do módulo de G1ω então é dado por G1 ω10logα G1 ω10log 03726 G1 ω4 29dB Com o valor do módulo de G1ω a partir do diagrama de Bode é possível localizar a frequência ω em que referente a este ganho É possível notar que a frequência é menor que 569rads Um valor aproximado que pode ser utilizado então é dado como ω565rads Com este valor de ω podese encontrar o zero e o polo do compensador zero 1 T 1 T α ωc 1 T 03726565 1 T 345 polo 1 αT 1 αT ωc α 1 αT 565 03726 1 αT 9256 Passo 6 Com as constantes K e α é possível encontrar a constante Kc Kc K α Kc 2 03726 Kc5368 Portanto a função de transferência do compensador é dada por Gc s 5368 s345 s9256 E a função de transferência de malha aberta do sistema é dada por Gc s G s 5368 s345 s9256 10 s s1 Passo 7 Devese então observar a margem de ganho e a margem de fase do sistema para saber se satisfazem os requisitos pedidos clear Limpa variaveis clc Limpa janela de comandos close all Fecha todos os gráficos numG10 Numerador de G denG1 1 0 Denominador de G sysGtfnumGdenG Função de transferencia de G numC1 345 Numerador de Gc denC1 9256 Denominador de Gc sysC5368tfnumC denC Função de transferência de Gc syssysGsysC Sistema de malha aberta GGc wlogspace23 Analise de 102 até 103 marginsysw Bode do sistema com os valores de MF e MG grid GmPmWcgWcp marginsys Apresentação dos valores na janela de comandos Gm Pm371569 W cg W cp56904 A margem de ganho encontrada é infinita pois a fase nunca chega a 180 sendo assim é maior que 10 A margem de fase encontrada é 3716 que está acima do ângulo pedido É possível notar que todos os requisitos foram atendidos Questão 2 Especificações G s K s 01 s1 s1 Kv4 s 1MF45 Ganho K do sistema Klim s0 KCs 1 T s 1 αT KK C 1 T 1 αT KK C α Passo 1 Como a constante de erro estático de velocidade pode ser obtida como Kvlim s0 s KGs Kvlim s0 s K K s 01s1 s1 Kvlim s0 K 2 01s1 s1 KK v K4 K2 Passo 2 Com o valor da constante K encontrado é possível realizar o diagrama de bode do sistema e encontrar a margem de ganho e a margem de fase G1 s K 2 s 01s1 s1 G1 s 4 01 s 311s 2s G1 s 4 s 01s1 s1 G1 jω 4 jω 1 10 jω1 jω1 clear Limpa variaveis clc Limpa janela de comandos close all Fecha todos os gráficos numG2 Numerador de G1 denG01 11 1 0 Denominador de G1 sysGtfnumGdenG Função de transferencia de G1 K2 sysG1KsysG Função de transferencia de G1 wlogspace12 Analise de 102 até 103 figure1 hold on bodesysGw Bode do sistema G com os valores de MF e MG marginsysG1w Bode do sistema G1 com os valores de MF e MG bodesysCw Bode do sistema Gc com os valores de MF e MG marginsysw Bode do sistema completo com os valores de MF e MG legendG Gc GGc grid GmPmWcgWcp marginsysG1 Apresentação dos valores na janela de comandos Gm275Pm177051 Wcg31623Wcp18612 Bode Diagram Gm 879 dB at 316 rads Pm 177 deg at 186 rads Magnitude dB Phase deg Frequency rads Passo 3 Para determinar o ângulo de avanço realizase a diferença entre a margem de fase desejada e a margem de fase atual do sistema A este ângulo também é acrescido um valor entre 5 e 12 ϕ ADM FdesejadoM Fatual15 ϕ AD4517715 ϕ AD423 Passo 4 Com o ângulo de avanço encontrado é possível definir o fator de atenuação α a partir da seguinte fórmula senϕm1α 1α 1α 1α senϕm 1α1αsenϕm αsen ϕmα1sen ϕm α 1senϕm 1senϕm Substituindo ϕm pelo valor do ângulo de avanço encontrado α1sen423 1sen423 α0195 Passo 5 O valor em dB do módulo de G1ω então é dado por G1 ω10logα G1 ω10log 0195 G1 ω71dB Com o valor do módulo de G1ω a partir do diagrama de Bode é possível localizar a frequência ω em que referente a este ganho É possível notar que a frequência é aproximadamente 2867rads ω2867rad s Com este valor de ω podese encontrar o zero e o polo do compensador zero 1 T 1 T α ωc 1 T 01952867 1 T 1266 polo 1 αT 1 αT ωc α 1 αT 2867 0195 1 αT 649 Passo 6 Com as constantes K e α é possível encontrar a constante Kc Kc K α Kc 2 0186 Kc10256 Portanto a função de transferência do compensador é dada por Gc s 10256 s1266 s649 E a função de transferência de malha aberta do sistema é dada por Gc s G s 10256 s1266 s649 2 s 01s1 s1 Passo 7 Devese então observar a margem de ganho e a margem de fase do sistema para saber se satisfazem os requisitos pedidos clear Limpa variaveis clc Limpa janela de comandos close all Fecha todos os gráficos numG2 Numerador de G1 denG01 11 1 0 Denominador de G1 sysGtfnumGdenG Função de transferencia de G1 K2 sysG1KsysG Função de transferencia de G1 numC1 1266 Numerador de Gc denC1 649 Denominador de Gc sysC10256tfnumC denC Função de transferência de Gc syssysGsysC Sistema de malha aberta GGc wlogspace12 Analise de 102 até 103 figure1 hold on bodesysGw Bode do sistema G marginsysG1w Bode do sistema G1 com os valores de MF e MG bodesysCw Bode do sistema Gc marginsysw Bode do sistema completo com os valores de MF e MG legendG Gc GGc grid GmPmWcgWcp marginsys Apresentação dos valores na janela de comandos Gm4851Pm455605 W cg77848W cp2868 A margem de ganho encontrada é 137dB sendo assim maior que os 8dB exigido no projeto A margem de fase encontrada é 4556 que está acima do ângulo de 45 pedido É possível notar que todos os requisitos foram atendidos mas para isso foi necessário um incremento de 15 no ângulo de avanço esse incremento ocorreu pois o sistema original possui 3 polos e a fase decai de forma acelerada tendendo para os 270 sendo assim necessário a compensação de uma fase maior que o habitual Questão 1 Parâmetros do projeto 𝐺𝑠 10 𝑠𝑠 1 𝐾𝑣 20𝑠1 𝑀𝐹 35 𝑀𝐺 10𝑑𝐵 Formulas utilizadas 𝐺𝑐𝑠 𝐾𝐶 𝑠 1 𝑇 𝑠 1 𝛼𝑇 0 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝛼 1 𝛼 𝜔𝑚 1 𝛼𝑇 Ganho K do sistema 𝐾 lim 𝑠0 𝐾𝐶 𝑠 1 𝑇 𝑠 1 𝛼𝑇 𝐾 𝐾𝐶 1 𝑇 1 𝛼𝑇 𝐾 𝐾𝐶𝛼 Passo 1 Como a constante de erro estático de velocidade pode ser obtida como 𝐾𝑣 lim 𝑠0 𝑠 𝐾 𝐺𝑠 𝐾𝑣 lim 𝑠0 𝑠 𝐾 10 𝑠𝑠 1 𝐾𝑣 10𝐾 𝐾 𝐾𝑣 10 𝐾 20 10 𝐾 2 Passo 2 Com o valor da constante K encontrado é possível realizar o diagrama de bode do sistema e encontrar a margem de ganho e a margem de fase 𝐺1𝑠 10𝐾 𝑠𝑠 1 𝐺1𝑠 20 𝑠𝑠 1 𝐺1𝑗𝜔 20 𝑗𝜔𝑗𝜔 1 clear clc close all numG20 denG1 1 0 sysGtfnumGdenG marginsysG grid GmPmWcgWcp marginsysG 𝐺𝑚 𝑃𝑚 127580 𝑊𝑐𝑔 𝑊𝑐𝑝 44165 Passo 3 Para determinar o ângulo de avanço realizase a diferença entre a margem de fase desejada e a margem de fase atual do sistema A este ângulo também é acrescido um valor entre 5 e 12 𝜙𝐴𝐷 𝑀𝐹𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 𝑀𝐹𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 5 𝜙𝐴𝐷 35 128 5 𝜙𝐴𝐷 272 Passo 4 Com o ângulo de avanço encontrado é possível definir o fator de atenuação 𝛼 a partir da seguinte fórmula 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝛼 1 𝛼 1 𝛼 1 𝛼 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝛼 1 𝛼𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 𝛼𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 Substituindo 𝜙𝑚 pelo valor do ângulo de avanço encontrado 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛272 1 𝑠𝑒𝑛272 𝛼 03726 Passo 5 O valor em dB do módulo de 𝐺1𝜔 então é dado por 𝐺1𝜔 10𝑙𝑜𝑔𝛼 𝐺1𝜔 10 log03726 𝐺1𝜔 429𝑑𝐵 Com o valor do módulo de 𝐺1𝜔 a partir do diagrama de Bode é possível localizar a frequência 𝜔 em que referente a este ganho É possível notar que a frequência é menor que 569rads Um valor aproximado que pode ser utilizado então é dado como 𝜔 565 𝑟𝑎𝑑𝑠 Com este valor de 𝜔 podese encontrar o zero e o polo do compensador 𝑧𝑒𝑟𝑜 1 𝑇 1 𝑇 𝛼𝜔𝑐 1 𝑇 03726 565 1 𝑇 345 𝑝𝑜𝑙𝑜 1 𝛼𝑇 1 𝛼𝑇 𝜔𝑐 𝛼 1 𝛼𝑇 565 03726 1 𝛼𝑇 9256 Passo 6 Com as constantes 𝐾 e 𝛼 é possível encontrar a constante 𝐾𝑐 𝐾𝑐 𝐾 𝛼 𝐾𝑐 2 03726 𝐾𝑐 5368 Portanto a função de transferência do compensador é dada por 𝐺𝑐𝑠 5368 𝑠 345 𝑠 9256 E a função de transferência de malha aberta do sistema é dada por 𝐺𝑐𝑠𝐺𝑠 5368 𝑠 345 𝑠 9256 10 𝑠𝑠 1 Passo 7 Devese então observar a margem de ganho e a margem de fase do sistema para saber se satisfazem os requisitos pedidos clear Limpa variaveis clc Limpa janela de comandos close all Fecha todos os gráficos numG10 Numerador de G denG1 1 0 Denominador de G sysGtfnumGdenG Função de transferencia de G numC1 345 Numerador de Gc denC1 9256 Denominador de Gc sysC5368tfnumC denC Função de transferência de Gc syssysGsysC Sistema de malha aberta GGc wlogspace23 Analise de 102 até 103 marginsysw Bode do sistema com os valores de MF e MG grid GmPmWcgWcp marginsys Apresentação dos valores na janela de comandos 𝐺𝑚 𝑃𝑚 371569 𝑊𝑐𝑔 𝑊𝑐𝑝 56904 A margem de ganho encontrada é infinita pois a fase nunca chega a 180 sendo assim é maior que 10 A margem de fase encontrada é 3716 que está acima do ângulo pedido É possível notar que todos os requisitos foram atendidos Questão 2 Especificações 𝐺𝑠 𝐾 𝑠01𝑠 1𝑠 1 𝐾𝑣 4𝑠1 𝑀𝐹 45 Ganho K do sistema 𝐾 lim 𝑠0 𝐾𝐶 𝑠 1 𝑇 𝑠 1 𝛼𝑇 𝐾 𝐾𝐶 1 𝑇 1 𝛼𝑇 𝐾 𝐾𝐶𝛼 Passo 1 Como a constante de erro estático de velocidade pode ser obtida como 𝐾𝑣 lim 𝑠0 𝑠 𝐾 𝐺𝑠 𝐾𝑣 lim 𝑠0 𝑠 𝐾 𝐾 𝑠01𝑠 1𝑠 1 𝐾𝑣 lim 𝑠0 𝐾2 01𝑠 1𝑠 1 𝐾 𝐾𝑣 𝐾 4 𝐾 2 Passo 2 Com o valor da constante K encontrado é possível realizar o diagrama de bode do sistema e encontrar a margem de ganho e a margem de fase 𝐺1𝑠 𝐾2 𝑠01𝑠 1𝑠 1 𝐺1𝑠 4 01𝑠3 11𝑠2 𝑠 𝐺1𝑠 4 𝑠01𝑠 1𝑠 1 𝐺1𝑗𝜔 4 𝑗𝜔 1 10 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 1 clear Limpa variaveis clc Limpa janela de comandos close all Fecha todos os gráficos numG2 Numerador de G1 denG01 11 1 0 Denominador de G1 sysGtfnumGdenG Função de transferencia de G1 K2 sysG1KsysG Função de transferencia de G1 wlogspace12 Analise de 102 até 103 figure1 hold on bodesysGw Bode do sistema G com os valores de MF e MG marginsysG1w Bode do sistema G1 com os valores de MF e MG bodesysCw Bode do sistema Gc com os valores de MF e MG marginsysw Bode do sistema completo com os valores de MF e MG legendG Gc GGc grid GmPmWcgWcp marginsysG1 Apresentação dos valores na janela de comandos 𝐺𝑚 275 𝑃𝑚 177051 𝑊𝑐𝑔 31623 𝑊𝑐𝑝 18612 Passo 3 Para determinar o ângulo de avanço realizase a diferença entre a margem de fase desejada e a margem de fase atual do sistema A este ângulo também é acrescido um valor entre 5 e 12 𝜙𝐴𝐷 𝑀𝐹𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 𝑀𝐹𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 15 𝜙𝐴𝐷 45 177 15 𝜙𝐴𝐷 423 Passo 4 Com o ângulo de avanço encontrado é possível definir o fator de atenuação 𝛼 a partir da seguinte fórmula 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝛼 1 𝛼 1 𝛼 1 𝛼 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝛼 1 𝛼𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 𝛼𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 Substituindo 𝜙𝑚 pelo valor do ângulo de avanço encontrado 𝛼 1 𝑠𝑒𝑛423 1 𝑠𝑒𝑛423 𝛼 0195 Passo 5 O valor em dB do módulo de 𝐺1𝜔 então é dado por 𝐺1𝜔 10𝑙𝑜𝑔𝛼 𝐺1𝜔 10 log0195 𝐺1𝜔 71𝑑𝐵 Com o valor do módulo de 𝐺1𝜔 a partir do diagrama de Bode é possível localizar a frequência 𝜔 em que referente a este ganho É possível notar que a frequência é aproximadamente 2867rads 𝜔 2867 𝑟𝑎𝑑𝑠 Com este valor de 𝜔 podese encontrar o zero e o polo do compensador 𝑧𝑒𝑟𝑜 1 𝑇 1 𝑇 𝛼𝜔𝑐 1 𝑇 0195 2867 1 𝑇 1266 𝑝𝑜𝑙𝑜 1 𝛼𝑇 1 𝛼𝑇 𝜔𝑐 𝛼 1 𝛼𝑇 2867 0195 1 𝛼𝑇 649 Passo 6 Com as constantes 𝐾 e 𝛼 é possível encontrar a constante 𝐾𝑐 𝐾𝑐 𝐾 𝛼 𝐾𝑐 2 0186 𝐾𝑐 10256 Portanto a função de transferência do compensador é dada por 𝐺𝑐𝑠 10256 𝑠 1266 𝑠 649 E a função de transferência de malha aberta do sistema é dada por 𝐺𝑐𝑠𝐺𝑠 10256 𝑠 1266 𝑠 649 2 𝑠01𝑠 1𝑠 1 Passo 7 Devese então observar a margem de ganho e a margem de fase do sistema para saber se satisfazem os requisitos pedidos clear Limpa variaveis clc Limpa janela de comandos close all Fecha todos os gráficos numG2 Numerador de G1 denG01 11 1 0 Denominador de G1 sysGtfnumGdenG Função de transferencia de G1 K2 sysG1KsysG Função de transferencia de G1 numC1 1266 Numerador de Gc denC1 649 Denominador de Gc sysC10256tfnumC denC Função de transferência de Gc syssysGsysC Sistema de malha aberta GGc wlogspace12 Analise de 102 até 103 figure1 hold on bodesysGw Bode do sistema G marginsysG1w Bode do sistema G1 com os valores de MF e MG bodesysCw Bode do sistema Gc marginsysw Bode do sistema completo com os valores de MF e MG legendG Gc GGc grid GmPmWcgWcp marginsys Apresentação dos valores na janela de comandos 𝐺𝑚 4851 𝑃𝑚 455605 𝑊𝑐𝑔 77848 𝑊𝑐𝑝 2868 A margem de ganho encontrada é 137dB sendo assim maior que os 8dB exigido no projeto A margem de fase encontrada é 4556 que está acima do ângulo de 45 pedido É possível notar que todos os requisitos foram atendidos mas para isso foi necessário um incremento de 15 no ângulo de avanço esse incremento ocorreu pois o sistema original possui 3 polos e a fase decai de forma acelerada tendendo para os 270 sendo assim necessário a compensação de uma fase maior que o habitual