Sistemas de Controle II - 2a Avaliação - Estabilidade e Diagramas

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA Goiás MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS CAMPUS GOIÂNIA DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV Data 291122 2ª Avaliação de Sistemas de Controle II Professora Aline da Silva Magalhães Nome Soniah Soledão de S Lopes Obs Não serão aceitas respostas diretas ou seja todos os cálculos devem ser apresentados para validação da questão Não é permitido o uso de aparelho celular 07 1 Determine a estabilidade do sistema sendo o diagrama polar mostrado na figura abaixo considerando que o sistema de malha fechada tenha a seguinte função de transferência de malha aberta GsHs K sTs 1 08 2 Considerese o sistema com realimentação mostrado abaixo Esboçar o diagrama de Nyquist para a função de transferência dada e analisar a estabilidade GHs 100 s5s10 08 3 Qual é a Margem de Fase e a Margem de Ganho do Sistema com a seguinte função de transferência de malha aberta Gs 8 ss4 07 4 Abaixo temos o diagrama em blocos de um determinado sistema e seu diagrama de Bode para K 1 a Determine a margem de fase e a margem de ganho Dizer se o sistema é estável ou instável b Faça no próprio diagrama um esboço do que acontecerá se o valor de K for alterado para K10 Como será a margem de fase e de ganho e em relação a sua estabilidade Critério de Nyquist N Z P Z N P Instabilidade Se Z 0 o sistema é instável por definição Isto porque os zeros de 1 GsHs correspondem aos pólos da FTMF Gs 1 GsHs E se há pólos em MF localizados no SPD o sistema é instável Estabilidade Quando não há pólos ou zeros de 1 GsHs nos eixos tjo do plano s e Z 0 o sistema é estável somente nas seguintes condições P 0 e N 0 contorno e diagrama de Nyquist possuem o mesmo sentido P 0 e N P contorno e diagrama de Nyquist possuem sentidos contrários Margem de fase é o ângulo de atraso de fase adicional na frequência de cruzamento de ganho wcg necessária para que o sistema atinja o limiar de estabilidade A frequência de cruzamento de ganho wcg é a frequência na qual o módulo da FTMA for unitário ou 0 dB ie Gjwcg 1 ou GjwcgdB 0 dB Assim a MF é determinada como MF 180 ϕ onde MF é a margem de fase ϕ Gjwcg é o ângulo de fase da FTMA de cruzamento de ganho Margem de ganho é o recíproco do módulo Gjw na frequência em que o ângulo é 180 Definamos a frequência de cruzamento de fase wcf como a frequência em que o ângulo de fase da FTMA é igual a 180 resulta na margem de ganho MG MG 1 Gjwcf MGdB 20 log10 MG 20 log10 Gjwcf Z nº de zeros da função 1 GsHs no interior do contorno de Nyquist P nº de pólos da função GsHs no interior do contorno de Nyquist N nº de envolvimentos do ponto crítico 1 no sentido horário do plano GH Instituto Federal de Goiás Goiânia 29 de novembro de 2022 Aluna Sarah Bebisa de S Lopes 2 Avaliação Sistemas de Controle II 02 GHs 100 s5s10 0 δ 5 δ 10 s jω para ω 0 GHjω 100 jω5jω10 GHjω 100 ω²25 ω² 100 φ GHjω tg¹ ω5 tg¹ ω10 e Punto A s0 GH1 100 0² 25 0² 100 100 510 2 GH tg¹ 0 tg¹ 0 0 Ponto B s 05 GH 100 05² 25 05² 100 100 2525 10025 100 5012 1987 GH tg¹ 05 5 tg¹ 05 10 571 286 857 Ponto C s 1 GH 100 1² 25 1² 100 100 26 101 1951 GH tg¹ 1 5 tg¹ 1 10 1131 571 1702 Ponto D s 5 GH 100 5² 25 5² 100 100 50 125 1265 GH tg¹ 5 5 tg¹ 6 10 45 26565 71565 u ω² ω² ω⁴ u² 16 u 64 0 u 16 16² 4 1 64 21 ω² 16 256 256 2 ω² 16 2263 2 ω² 38137 φ1 apenas valores positivos de ω temos ω 182 rads O ângulo de fase para esse módulo ϕ tg¹ 4 182 ϕ tg¹ 2197 6553 Como tanto a parte real como a imaginária de GHjω são negativos esse ângulo é o ângulo relativo a 180 e é a margem de fase MG Sarah Bebisa de Souza Lopes 2 Avaliação Sistemas de controle 2 01 GsHs K sTs1 0 s 1T A função Gs Hs está com um pólo localizado em 1T e está localizado no semiplano direito Pelo diagrama de nyguist podese perceber que ele encobre o ponto 1 e está em sentido horário cortando n1 Usando a equação z n p z 1 1 2 O sistema possui 2 pólos no semiplano direito portanto o mesmo é INSTÁVEL 03 Gs 8 ss4 Φ1 domínio da frequência Gjω 8 jω jω4 8 j²ω² 4jω 8 ω² 4jω 8ω² 30 jω ω⁴ 16 jω Módulo Gjω 8 ω⁴ 16ω² Fase Φ tg¹ 4 ω A margem de fase é o ângulo de fase menor que 180 quando o módulo é 1 1 8 ω⁴ 16ω² ω⁴ 16² ˣ 8² ω⁴ 16 ω² 64 0 Ponto E s10 Gj1 100 102 25 102 100 100 125 100 0632 Gj1 tg1 105 tg1 1010 63435 45 108435 Ponto F s Gj1 100 lim σ σ2 25 σ2 100 0 Gj1lim σ tg1 5 tg1 10 90 90 180 A s módulo fase 0 2 0 B 05 1887 8572 C 1 1951 1402 D 5 1265 71565 E 10 0632 108435 F 0 180 Diagrama de Nyquist Análise dos polos P0 P1 0 P2 5 P3 10 N0 não há envolvimento nos polos Z N P Z0 sistema estável O sistema é estável pois não possui nenhum pólo no semi plano direito a Margem de fase Gjω 16 jω 1jω2jω4 1 16 ω2 1 ω2 4 ω2 16 1 16 ω2 1 ω2 4 ω2 16 2 12 162 ω2 1ω2 4ω2 16 1 ω4 5ω2 4ω2 16 ω2 1ω2 4ω2 16 256 ω4 4ω2 ω2 4ω2 16 256 ω4 5ω2 4ω2 16 256 ω6 16ω4 5ω4 80ω2 4ω2 64 256 ω6 21ω4 84ω2 192 0 ω 126 rads Assim Φ é a soma dos ângulos dos termos do numerador menos a soma dos ângulos dos termos do denominador Assim Φ arctanω arctanω2 arctanω4 ω 126 rads Φ arctan126 arctan1262 arctan1264 5156 3221 1748 10125 Assim Φ 10125 MF 180 Φ 7875 MF 7875