Controle Analógico - Aula 02: Sistemas de Segunda Ordem

Controle Analogico Aula 02 Resposta no domınio do tempo sistemas de segunda ordem Gabriel Cambraia Soares MEng email gabrielsoaresifmgedubr Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia de Minas Gerais IFMG 8 de janeiro de 2023 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 1 37 Introducao Revisao dos topicos da aula passada Na aula passada foi ensinado o conceito de controle de processos Vocˆes conheceram os elementos de controle medicao e atuacao Aprenderam o que sao sistemas em malha aberta e fechada Relacionaram o conceito de estabilidade com as respostas natural e forcada Revisaram o conceito de funcao de transferˆencia polos e zeros do sistema Por fim conheceram os sistemas de primeira ordem e os principais parˆametros de resposta transiente Apresentacao dos topicos da aula de hoje Na aula de hoje serao ensinados os sistemas de segunda ordem Vocˆes aprenderao sobre os quatro tipos de respostas subamortecida superamortecida criticamente amortecida e nao amortecida Tambem sera ensinado sobre os parˆametros importantes do regime transitorio gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 2 37 Sistemas de segunda ordem Introducao Vamos agora estender os conceitos de polos zeros e resposta transitoria aos sistemas de segunda ordem Comparado a simplicidade de um sistema de primeira ordem um sistema de segunda ordem exibe uma ampla variedade de respostas que devem ser analisadas e descritas Enquanto a variacao de um parˆametro de um sistema de primeira ordem simplesmente altera a velocidade da resposta as variacoes nos parˆametros de um sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta Por exemplo um sistema de segunda ordem pode apresentar caracterısticas muito parecidas com as de um sistema de primeira ordem Ou dependendo dos valores dos componentes apresentar oscilacoes amortecidas ou puras na resposta transitoria Mesmo que o sistema seja de ordem superior ele pode ser aproximado por um sistema de segunda ordem a fim de se obter uma primeira aproximacao com precisao razoavel Os sistemas de segunda ordem possuem a seguinte forma Figura 1 Sistema de segunda ordem geral Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 3 37 Sistemas de segunda ordem Essencialmente existem quatro tipos de respostas de sistemas de segunda ordem supera mortecida subamortecida nao amortecida e criticamente amortecida Resposta Superamortecida Esta funcao possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitario e dois polos reais provenientes do sistema O polo da entrada na origem gera a resposta forcada constante Cada um dos dois polos do sistema no eixo real gera uma resposta natural exponencial cuja frequˆencia exponencial e igual a posicao do polo Considere a seguinte resposta Cs 9 ss2 9s 9 9 ss 7 854s 1 146 1 Aplicando a transformada inversa de Laplace temos a resposta no domınio do tempo cnt 1 0 171e7854t 1 171e1146t 2 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 4 37 Sistemas de segunda ordem Resposta Superamortecida A Figura 2 apresenta a resposta ct do slide anterior de forma separada A primeira exponencial azul atua diretamente nos primeiros segundos de forma positiva A segunda exponencial laranja atua negativamente ate o momento de estabilizacao Em amarelo temos a resposta total do sistema Figura 2 Decomposicao da resposta ct Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 5 37 Sistemas de segunda ordem Resposta Superamortecida Em resumo as respostas superamortecidas possuem dois polos reais σ1 e σ2 distintos e a resposta natural possui duas exponenciais com constantes de tempo iguais ao inverso das posicoes dos polos cnt K1eσ1t K2eσ2t 3 Figura 3 Resposta superamortecida Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 6 37 Sistemas de segunda ordem Resposta Subamortecida A resposta subamortecida possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitario e dois polos complexos provenientes do sistema Figura 4 Figura 4 Resposta subamortecida Fonte Nise 2012 Ao contrario da resposta superamortecida a subamortecida apresenta polos com compo nentes nos eixos real e imaginario No exemplo da Figura 4 os polos estao em s 1 j 8 A componente imaginaria j 8 faz com que a resposta possua cossenos cuja frequˆencia de oscilacao e correspondida pela propria parte imaginaria do polo A componente real continua correspondendo a frequˆencia de decaimento exponencial da amplitude da senoide gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 7 37 Sistemas de segunda ordem Resposta Subamortecida A Figura 2 apresenta a resposta ct do slide anterior de forma separada A exponencial em azul e responsavel pela estabilizacao da resposta Quando ela se trans forma em zero faz com que a multiplicacao com a senoide se transforme em zero tambem A soma da senoide com a cosseinoide em laranja resulta na ondulacao da resposta tran sitoria Veremos ainda hoje que essa ondulacao e chamada de sobressinal overshoot Um bom projeto de controle deve ser realizado para tentar minimizar o sobressinal Figura 5 Decomposicao da resposta subamortecida ct Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 8 37 Sistemas de segunda ordem Resposta Subamortecida Em resumo as respostas subamortecidas possuem dois polos com componentes reais e complexas σd jωd distintas e a resposta natural possui senoide amortecida com uma envoltoria exponencial cuja constante de tempo e igual ao inverso da parte real do polo cnt Aeωd tcosωdt φ 4 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 9 37 Sistemas de segunda ordem Resposta Nao Amortecida A resposta nao amortecida possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitario e dois polos imaginarios provenientes do sistema Figura 6 Figura 6 Resposta nao amortecida Fonte Nise 2012 A ausˆencia de uma parte real no par de polos corresponde a uma exponencial que nao apresenta decaimento eσt e0 1 Por apresentar polos somente no eixo imaginario a resposta natural nao apresenta compo nente exponencial cnt Acosω1t φ 5 Uma resposta nao amortecida nao estabiliza na referˆencia ao longo do tempo Por esse motivo nao e desejavel em sistemas de controle gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 10 37 Sistemas de segunda ordem Resposta Criticamente Amortecida A resposta criticamente amortecida possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitario e dois polos reais iguais do sistema Figura 7 Figura 7 Resposta criticamente amortecida Fonte Nise 2012 Respostas criticamente amortecidas sao as mais rapidas possıveis sem o sobressinal que e caracterıstica da resposta subamortecida Por nao possuir polos com componentes imaginarias a resposta natural e totalmente ex ponencial assim como na resposta superamortecida A diferenca e que a presenca de polos iguais gera a componente temporal na resposta natural cnt K1eσ1t K2teσ1t 6 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 11 37 Sistemas de segunda ordem Resposta Criticamente Amortecida A Figura 8 apresenta a resposta ct criticamente amortecida com suas componentes se paradas Figura 8 Componentes da resposta criticamente amortecida Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 12 37 Sistemas de segunda ordem Resposta de sistemas de segunda ordem A Figura 9 apresenta os tipos de respostas de sistemas de segunda ordem Figura 9 Respostas dos sistemas de segunda ordem Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 13 37 Sistemas de segunda ordem Agora que ficamos familiarizados com os sistemas de 2ª ordem generalizamos a discussao e estabelecemos especificacoes quantitativas de modo que a resposta de um sistema de segunda ordem possa ser descrita sem a necessidade de esbocar a resposta NISE 2012 Duas grandezas serao apresentadas para descrever as caracterısticas da resposta transitoria de segunda ordem frequˆencia natural e fator de amortecimento Frequˆencia Natural ωn A frequˆencia natural de um sistema de segunda ordem e a frequˆencia de oscilacao do sistema sem amortecimento Considere o sistema de segunda ordem geral Gs b s2 as b 7 Sem amortecimento os polos estariam no eixo jω e a resposta seria uma senoide nao amortecida Para que os polos sejam imaginarios puros a 0 Portanto Gs b s2 b 8 Por definicao a frequˆencia natural ωn e a frequˆencia de oscilacao desse sistema Uma vez que os polos desse sistema estao no eixo jω em j b ωn b ou b ω2 n 9 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 14 37 Sistemas de segunda ordem Duas grandezas serao apresentadas para descrever as caracterısticas da resposta transitoria de segunda ordem frequˆencia natural e fator de amortecimento Fator de amortecimento ξ O fator de amortecimento e a razao entre a frequˆencia de decaimento exponencial da envoltoria e a frequˆencia natural ξ Frequencia Decaimento Exponencial Frequencia Naturalrads 10 O que e o termo a em 7 Em sistemas subamortecidos os polos complexos possuem uma parte real σ igual a a2 A magnitude desse valor e entao a frequˆencia de decaimento exponencial Portanto ξ Frequencia Decaimento Exponencial Frequencia Naturalrads σ ωn a2 ωn 11 Isolando a temos a 2ξωn 12 Substituindo 12 e 9 em 7 temos a funcao de transferˆencia de 2ª ordem generica Gs ω2 n s2 2ξωns ω2n 13 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 15 37 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Sistema de segunda ordem genérico 2 w Gs 14 s s 2Ewns w2 14 Os polos sao os valores de s que levam a fungdo de transferéncia Gs ao infinito Para encontrar os polos de Gs devese encontrar as raizes do denominador A be 4 46 2bwn 41 wy Ae wh dwn Aun 1 Aplicando o delta na formula de Bhaskara onde s2 sao os dois polos bVA 2wy 4w22 1 12 For 2 2 so 2fwn 2wnE2 1 12 5 12 EWn wny E2 1 15 A Equacao 15 permite encontrar os polos do sistema ao conhecer a resposta natural wy e o fator de amortecimento Sistemas de segunda ordem Sistema de segunda ordem generico A partir da Equacao 15 observamos que os diversos casos de resposta de segunda ordem sao uma funcao de ξ Eles sao resumidos na Figura 10 Figura 10 Respostas dos sistemas de segunda ordem Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 17 37 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Sistema de segunda ordem subamortecido A partir de agora vamos analisar quantitativamente os paradmetros da resposta de sistemas de segunda ordem subamortecidos Nosso primeiro objetivo é definir especificacdes transitérias associadas as respostas suba mortecidas Em seguida relacionamos essas especificagdes com a posiao do polo extraindo uma asso ciaao entre a posiao do polo e a forma da resposta de segunda ordem subamortecida Vamos iniciar com a determinaao da resposta ao degrau do sistema de segunda ordem geral 2 Ww ky Kos K Cs 5S 16 ss 2Ewns w2 s s2 wns w2 Ao expandir em fragdes parciais e aplicar a inversa de Laplace o que é deixado como exercicio para o estudante temos 1 ct 1 Fret sv 1t 17 1 Em que arctané1 2 Reparem que a resposta ct é totalmente dependente de Sistemas de segunda ordem Sistema de segunda ordem subamortecido Um grafico dessa resposta e mostrado na Figura 11 para diversos valores de ξ Quanto menor o valor de ξ mais oscilatoria e a resposta A frequˆencia natural e um fator de escala do eixo do tempo e nao afeta a natureza da resposta a nao ser pelo fato de mudar sua escala de tempo Figura 11 Respostas de segunda ordem subamortecidas com os valores da relacao de amortecimento Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 19 37 Sistemas de segunda ordem Sistema de segunda ordem subamortecido A partir de agora vamos definir 4 parˆametros da resposta de sistemas subamortecidos 1 Tempo de subida Tr O tempo necessario para que a forma de onda va de 01 do valor final ate 09 do valor final 2 Tempo de pico Tp O tempo necessario para alcancar o primeiro pico ou pico maximo 3 Tempo de acomodacao assentamento ou estabilizacao Ts O tempo necessario para que as oscilacoes amortecidas transitorias alcancem e permanecam dentro de uma faixa de 2 em torno do valor em regime permanente 4 Sobressinal overshoot ou ultrapassagem percentual Up O valor pelo qual a forma de onda ultrapassa o valor em regime permanente ou valor final no instante de pico expresso como uma percentagem do valor em regime permanente Essas informacoes podem auxiliar um projetista a determinar se a velocidade e a natureza da resposta degradam ou nao o desempenho do sistema gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 20 37 Sistemas de segunda ordem Sistema de segunda ordem subamortecido Figura 12 Especificacoes da resposta de segunda ordem subamortecida Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 21 37 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Calculo de Tp T e T O tempo de pico é calculado por T Tp 18 an V1 O tempo de estabilizacdo é dado por 4 Ts 19 EWn Uma relaao analitica precisa entre o tempo de subida e o fator de amortecimento nao pode ser obtida Contudo utilizando um computador é possivel encontrar os valores de Wnt que resultam em ct 09 e ct 01 através da equacao de resposta no tempo que vimos anteriormente 1 i1 Free ool v 1t 1 Sistemas de segunda ordem Calculo de Tr O valor de Tr pode ser estimado por meio do grafico que relaciona o tempo de subida com o fator de amortecimento a qual e apresentada na Figura 13 Figura 13 Tempo de subida normalizado versus fator de amortecimento para uma resposta subamortecida de segunda ordem Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 23 37 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Calculo de UP A ultrapassagem percentual overshoot é dada por 5 UPe V1 x 100 20 Observe que a ultrapassagem percentual é uma fundo apenas do fator de amortecimento Por esse motivo é possivel encontrar o valor de conhecendo apenas a ultrapassagem percentual InUP100 8 Se 21 7 InUP100 Veremos a seguir um exemplo SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Dada a funao de transferéncia 1 Gs 100 s 15s 100 Determine Tp Ts T e a ultrapassagem percentual UP Solugao O primeiro passo é calcular wn a 15 V100 10 075 n Soon 210 Calculando T Tv Tv Tv Tp 0 4749 segundo Pan J1 101 0752 6 6143 Calculando Ts 4 4 Tp 05333 segundo EWn 75 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Dada a funao de transferéncia 1 Gs 100 s15s 100 Determine Tp Ts T e a ultrapassagem percentual UP Calculando UP én 0757 UP e V x100e v1975 x 100 0 02837 x 100 2 838 Para estimar o valor do tempo de subida T usase o grafico da Figura 13 Para um fator de amortecimento de 075 o tempo de subida normalizado é de aproximadamente 23 segundos 23 23 T X Wn 23 T 023 segundo Wn 10 Sistemas de segunda ordem Exemplo A resposta ao degrau do sistema Gs e apresentada na Figura 14 Figura 14 Resposta ao degrau do sistema Gs tratado no exemplo Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 27 37 Sistemas de segunda ordem Exemplo Aproximando o grafico para a regiao proxima do pico e possıvel verificar o tempo de pico Tp 0 473 segundo O valor calculado foi de Tp 0 474 Figura 15 Resposta ao degrau do sistema Gs tratado no exemplo Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 28 37 Sistemas de segunda ordem Exemplo Aproximando o grafico para a regiao proxima da estabilizacao e possıvel verificar o tempo de estabilizacao Ts 0 574 segundo O valor calculado foi de Ts 0 533 Figura 16 Resposta ao degrau do sistema Gs tratado no exemplo Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 29 37 Sistemas de segunda ordem Exemplo Aproximando o grafico para avaliar a resposta transitoria e possıvel verificar o tempo de subida Tr 0 229 segundo O valor calculado foi de Tr 0 23 Figura 17 Resposta ao degrau do sistema Gs tratado no exemplo Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 30 37 Sistemas de segunda ordem Exemplo Aproximando o grafico para avaliar a resposta transitoria e possıvel verificar a ultrapassagem percentual UP 2 84 segundo O valor calculado foi de UP 2 838 Figura 18 Resposta ao degrau do sistema Gs tratado no exemplo Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 31 37 Sistemas de segunda ordem Diagrama de polos Vimos que um sistema subamortecido possui polos com componentes reais e imaginarias tal como a Figura 20 Figura 19 Diagrama de polos de um sistema de segunda ordem subamortecido Fonte Nise 2012 A frequˆencia natural ωn e a distˆancia radial da origem ao polo Com base no teorema de Pitagoras sabese que cosθ catetoadjacente hipotenusa ξωn ωn ξ Logo conhecendo o ˆangulo de inclinacao θ entre a origem real e o vetor que liga o polo e possıvel determinar o fator de amortecimento ξ gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 32 37 Diagrama de polos Vimos que um sistema subamortecido possui polos com componentes reais e imagindarias tal como a Figura 20 jo Koccaccnaab HOV jog Oy plano s GO Og Yonna j0V1 62 jo4g Figura 20 Diagrama de polos de um sistema de segunda ordem subamortecido Fonte Nise 2012 Além disso a parte imaginaria do polo chamada de frequéncia de oscilacdo amortecida Wg a magnitude real do polo denominada frequéncia de amortecimento exponencial oa podem ser usadas no calculo dos tempos de pico e estabilizacao 7 7 Tp 22 Pp wnv1 2 Wa 4 4 T 23 EWn Od gabrielsoaresifmgedubr Controle Analdgico 8 de janeiro de 2023 ReyACY A SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Diagrama de polos T T Tp Wnfl2 wa 4 4 T Ewn od A equacao do tempo de pico mostra que Tp é inversamente proporcional a parte imaginaria do polo De modo similar a equagao do tempo de acomodaao nos diz que Ts é inversamente proporcional a parte real do polo Uma vez que cos quanto menor o valor de theta maior sera o fator de amorteci mento Sistemas de segunda ordem Diagrama de polos Figura 21 Respostas ao degrau de sistemas subamortecidos de segunda ordem a medida que os polos se movem Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 35 37 Exercıcios Exercıcio 1 Dada a funcao de transferˆencia abaixo determine ξ e ωn Gs 36 s2 4 2s 36 Solucao ωn 6 e ξ 0 35 Exercıcio 2 Calcule o tempo de estabilizacao o tempo de subida o tempo de pico e a ultrapassagem percentual do sistema descrito no exercıcio 1 Exercıcio 3 Para cada uma das funcoes de transferˆencia abaixo determine os valores de ξ e ωn a Gs 400 s212s400 b Gs 900 s290s900 c Gs 225 s230s225 d Gs 625 s2625 Solucao a ξ 0 3 ωn 20 o sistema e subamortecido b ξ 1 5 ωn 30 o sistema e superamortecido c ξ 1 ωn 15 o sistema e criticamente amortecido d ξ 0 ωn 25 o sistema e nao amortecido gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 36 37 Referˆencias Bibliograficas NISE Norman S Engenharia de sistemas de controle 6ºed LTC Sao Paulo 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 37 37