Operadores Lineares e suas Propriedades

88 INSTITUTO FEDERAL MH sulriograndense MOO campus Bcharqueadas Operadores Lineares Lembre que nas aulas passadas definimos que uma transformagao linear que leva de V em V é chamada operador linear sobre V Assim trataremos nos proximos t6picos esse caso especial de transformagao linear Operadores inversiveis Seja um operador linear T V V que associa cada vetor V com um vetor Tz V Por outro lado se existir um operador S V V que inverte essa correspondéncia ou seja que associa cada vetor Tz V com o vetor da partida V entao chamamos o operador S de operador inverso de T Ainda podemos representar como S T No diagrama a seguir apresentamos dessa aplicagao T T1 OBS Quando o operador linear T admite a inversa T dizemos que T é inversivel invertivel ou naosingular Propriedades dos operadores inversiveis Seja T V V um operador linear inversivel 1 Se T é inversivel e T 6 a sua inversa entao ToTtTlo0TlI 2 T é inversivel se e somente se KerT 0 3 Se T é inversivel T transforma uma base em uma base ou seja seja B VU v2 Un uma base para V entao Tv1 Tv27v também seré uma base para V A Se T é inversivel e B t v2 Un linear e 1 1 OBS no caso da base candénica temos T T e portanto 7 T ToT f Como consequéncia temos T é inversivel se e somente se det IT 4 0 Exemplo 1 Seja um operador linear no R tal que Tx y 2x y 5x 6y Determine se T é inversivel se sim qual 6 T Exemplo 2 Verificar se 0 operador linear T R R definido por T111 100 T210 0 10 eT 1 3 2 01 1 é inversivel e em caso afirmativo detemine Tl Isomorfismo Chamamos de zsomorfismo a transformacao linear T V W que é bijetora Nesse caso dizemos que os espacos vetoriais V e W sao isomorfos Assim dois espacgos vetoriais de dimensao finita sao isomorfos se tiverem a mesma dimensao No caso dos operadores lineares que levam T V V logo mesma dimensao e que sao inversiveis temos um isomorfismo Matrizes semelhantes Dizemos que uma matriz A é semelhante a B se existir uma matriz P inversivel tal que A P BP Seja T V V um operador linear Se A e B sao bases para V e T e 7 as matrizes que representam o operador T nas bases A e B respectivamente entao 1 B B Tle Wa PAI sendo I iv a matriz de mudanga de base B para A Desta forma as matrizes T e T sao semelhantes O esquema a seguir mostra dois caminhos para se obter 7Z saindo de 7 7 S IT 1 1 B B iG fer 7 7s IT Propriedade das matrizes semelhantes As matrizes semelhantes T e J possuem 0 mesmo determinante Exemplo 1 Seja T R R um operador linear e as bases A 3457 e B 1 1 11 e seja 7 4 a matriz de na base A Determine T usando matrizes semelhantes Visto que as matrizes sao semelhantes mostre que seus determinantes sao iguais Exemplo 2 Com os dados do exemplo anterior determine T pelos dois caminhos sabendo que Z 21 Exemplo 3 Seja T R R um operador linear definido como Tx y 22 9y x 2y Determine a matriz 7 matriz candnica de T e a matriz T utilizando matrizes semelhantes onde B 3 1 3 1 Operador ortogonal Definigao Seja V um espaco vetorial euclidiano isto 6 um espacgo vetorial de dimensao finita munido de um produto interno Um operador linear T V V e dito ortogonal quando preserva a normamdédulo de cada vetor isto 6 P e para todo v EV Lembre que médulo de um vetor é dado pela raiz quadrada do produto escalar desse vetor ou seja v VUv 9 3 4 303 4 Exemplo 1 Mostre que 0 operador linear T R R dado por Tz y 52 Bur pe EY é ortogonal Exemplo 2 Mostre que o operador linear T R R que rotaciona um vetor no plano em torno da origem é ortogonal OBS O mesmo ocorre com as rotagdes em torno dos eixos no espacgo que vimos anteriormente Estes ficam com exercicios de casa Exemplo 3 Mostre que o operador linear T R R dado por Tz yz z2y é ortogonal Propriedades 1 Seja T V V um operador ortogonal sobre o espaco euclidiano V Entao a matriz inversa de T é igual a sua transposta ou seja T 7 OBS Uma matriz 7 tal que 7 T é chamada de matriz ortogonal Portanto uma matriz ortogonal define um operador ortogonal 2 O determinate de uma matriz ortogonal é 1 ou 1 Ou seja se T for um operador ortogonal entao det 7 ou sera 1 ou 1 3 Todo operador ortogonal T V V preserva o produto escalar de vetores isto é para quaisquer vetores uv V temos UvTuTv OBS 1 Uma conseguéncia dessa propriedade é um operador linear preserva o angulo entre dois vetores Ou seja o Angulo entre wu e U é igual ao Angulo entre Tu e Tv OBS 2 A OBS 1 juntamente com a definigao de operador ortogonal temos que T transforma uma base ortonormal em uma base ortonormal para o espaco vetorial V 4 Se TS V V sao operadores ortogonais entao ToS V V é ortogonal 5 Seja T V V um operador linear ortogonal entao as linhas ou colunas da matriz 7 sao vetores ortonormais Exemplo 4 Seja o operador linear ortogonal T R R dado por T0y V3n oy V3y xy s y 2 22 2 Mostre que as propriedades sao satisfeitas exceto a 4 que precisa de outra transformagao Operador simétrico Definigao Seja V um espago vetorial euclidiano Um operador linear T V V e dito simétrico se a matriz que o representa em uma base ortonormal 6 de V é simétrica isto é se t Zs T OBS 1 Note que a definicgao acima independe da base ortonormal escolhida OBS 2 Um operador simétrico também denominado operador autoadjunto Exemplo 1 O operador linear T R R dado por Tz y 32 2y 2x 5y é simétrico Na base canénica temos 3 2 que é igual a sua transposta Vamos mostrar para uma outra base ortonormal lembrado que 1 1 tra Seia B 34 4 3 vale para qualquer outra Seja B p qualq J 55 55 Exemplo 2 O operador linear T R R dado por Tz y z y 38y 22 2y é simétrico Propriedade Seja V um espaco vetorial euclidiano O operador linear T V V simétrico se e s6 se para quaisquer vetores uv V tivermos TtvUTv Exemplo 8 Seja operador linear simétrico T R R dado por Tz y 324 2y 2x 5y A partir dos vetores 0 12 e u 11 mostre a igualdade apresentada na propriedade acima Exemplo 4 O operador linear simétrico no R definido por Tx yz y v 3y 2z2y Considerando os vetores U 1 21 e 110 mostre a igualdade apresentada na propriedade acima Exercicios 1 Considerando os operadores lineares a seguir verifique quais sdo inversiveis no caso afirma tivo determine 7 a TR 5 R T2y 3a 4y x 2y b TR 5 R Tz y x 2y 22 3y c T R R T2y 22 y 4x 4 2y d TR R Tz y 2 cw y 22 y 2 2y 32 e TR R Tz y 2 a v 20 y 2 fTR SR T2yz a yt 22y 2 24 y 32 2 Mostre que o operador linear T R R tal que Tzy 2x y3x 2y 6 um isomorfismo 3 Seja operador linear do R tal que 1 O 1 T 2 1 1 0 O l a Mostrar que é um isomorfismo b Determine T c Utilizando T determine v R tal que Tv 2 3 0 4 Mostre que o operador linear do R tal que 1 2 3 T 2 3 4 35 7 nao é inversivel Determine v R tal que Tv 69 15 5 Verificar se o operador linear T R R definido por T100 2 10 T0 10 111 e T03 1 0 11 é inversivel e em caso afirmativo determine Tz y 2 6 Consideremos as seguintes bases do R A 11 01 e B 2 3 35 a Determine a matriz de mudanga de base J i b Determine vg sabendo que v4 23 c Determine a matriz de mudanga de base I Ee 7 Sabendo que 3 7 a e B 35 12 Determine a base A 8 Sejam as bases A 11 12 e B 1 3 02 e 0 operador linear Tx y x 2yx y todos eles do R Determine a matriz T na base A e em seguida a matriz T na base B utilizando matrizes semelhantes 9 Mostre que os operadores lineares do R e R a seguir séo ortogonais a T R R tal que Tz y 44 55 que Tx y Je 3 a V3 3 2 6 6 3 2 2 6 3 b T R R tal T 2 2 y al que Tx y 2 Fe Fy oe att cyt oe et oy 10 Verifique as propriedades dos operadores lineares ortogonais com as seguintes matrizes que representam transformacoes lineares Obs para propriedade 4 utilize as letras ae b 35 45 a J by ie wini 3 ye 2V5 1V5 11 Determine a e b para que os seguintes operadores no R sejam simétricos a T R R3 tal que Tz y z 32 2yaxr y 32 by z b T R R tal que T 2 y z 2u 22 ax 4y bz 2x 3y 4 z Respostas laT a y a 2y 22 y3 1bT a y 3x 2y 2x y 1cnao é inversivel 1dT2y z w y 2 3y 2 2y 2 leT xy z xy 0 y 1fnao é inversivel 3bT 2 y 2 w 222 y 22 3ct 27 0 4v 23 2zzz ER 5Txy z y 2 22 4y 7z 2 2y 32 A 8 3 6a I 5 2 6biy 74 B 2 3 6c I 4 5 8 TA 3 2 5 A 8T4 Tle sop llaa2eb3 1lba0eb3