Transformações Lineares: Matrizes e Propriedades

B INSTITUTO FEDERAL MH sulriograndense MOO campus Bcharqueadas A Matriz de uma Transformagao Linear Sempre que uma transformacao linear aparece geometricamente ou é descrita em palavras geralmente queremos uma formulapara Tz A discusséo que se segue mostra que toda transformacao linear do R para o R é na verdade uma transformagao matricial 7 AZ e que propriedades importantes da JT estao intimamente relacionadas a propriedades conhecidas de A Iniciamos olhando para 0 caso particular da transformacéo T V V onde B Wt t2 Un uma base para V Nesse caso podemos escrever um vetor U nessa base da seguinte forma v a1U AgVy e t nV Utilizando a propriedade da transformagao ser linear Tv aT v1 agT v2 e t An Ir e escrevendo na forma matricial ay ya Tv TH Tw Tn Jf An Assim obtermos uma matriz associada a transformacao linear T Exemplo Seja a transformacao T V V dada por Tx X2 xy 322 321 522 e B é uma base para V Assim a matriz associada a transformacao linear T é construida pelos vetores 1 3 Té T2 a 2 me4 Concluimos que 1 3 XY Tu 3 3 2 Desta forma associamos uma matriz de ordem 2 x 2 a4 transformagao linear T V V Generalizando sejam dois espagos vetoriais V e W e uma transformagao linear T de V em W Sejam duas bases GB e C para os espagos V e W respectivamente Entao para qualquer 7 em V temos Zg vetor de coordenadas na base B e Tc o vetor de coordenadas na base C Assim T ie 2 A 73 ST Queremos determinar a matriz A que associa um vetor de coordenadas da base B com um vetor transformado na base C conforme esquema acima Seja b bob6 uma base B para o espago V e FEV I ab agby Anbn ay ce entao Z i an Aplicando a transformagéo linear T em temos T aTb a2T bz an T dn Escrevendo Tz em termos dos vetores da base C ITe a1 T 4 IT 6 tet an T 1 re rE reo Je c Ie ou seja T7 Az Em algumas referéncias essa matriz A é escrita como Te eé denominada matriz de T em relagao as bases B eC Exemplo 1 Determine a matriz que associa um vetor da base 6b a um 1 1 2 vetor transformado da base C 1 0O7 2 onde a transformagao é dada por 1 2 0 Txy ayyy Se Zz 21 determine TZ usando a matriz encontrada Exemplo 2 Seja B 51b2 Bs base para V C Ci base paraW e T V W uma transformacao linear que satisfaz Tb1 3 5é T b2 6e Tb3 4c Determine a matriz de T relativa as bases B e C Exemplo 3 Seja B 11 10 base para o R C 1 20 10 1 1 13 base 2 0 para R e transformacao linear T R R cuja matriz é T le 1 2 Determine 1 38 esse transformacao linear T O caso particular em que temos a transformacao identidade T para V Entao Te é chamada de matriz de mudanga de coordenadas e é identificada como I le Tinhamos denominado como P onde Zc P zz x N Z i Nesse caso temos Me bl Ble oo Ble J Ue Je Operações com transformações lineares 1 Adição Sejam T1 V W e T2 V W transformações lineares Chamase soma das transformações lineares T1 e T2 à transformação linear T1 T2 V W v V T1 T2v T1v T2v Se B e C são base para V e W respectivamente então T1 T2B C T1B C T2B C Exemplo Sejam T1 R2 R3 e T2 R2 R3 transformações lineares definidas por T1x y x 2y 2x y x e T2x y x y x y Determine T1 T2 2 Multiplicação por escalar Sejam T V W uma transformação linear e α R Chamase produto da transformação T por α à transformação linear αT V W v V αTv αTv Se B e C são base para V e W respectivamente então αTB C α TB C Exemplo Sejam T1 R2 R3 e T2 R2 R3 transformações lineares definidas por T1x y x 2y 2x y x e T2x y x y x y Determine 3T1 2T2 3 Composição Sejam T1 V W e T2 W U transformações lineares Chamase aplicação composta de T1 com T2 à transformação linear T2 T1 V U v V T2 T1v T2 T1v Se A B e C são base para V W e U respectivamente então T2 T1A C T2B C T1A B OBS o ponto representa a multiplicação usual de matrizes Exemplo Sejam T1 R2 R3 e T2 R3 R4 transformações lineares definidas por T1x y x 2y 2x y y x e T2x y z x y y z z x Determine T2 T1 OBS 1 A dimensão dos espaços vetoriais tem fundamental importância para as operações OBS 2 Em geral T2 T1 T1 T2 Transformacoes Lineares no plano Transformacoes lineares no plano sao transformacées do tipo T R R Veremos algumas dessas transformagoes especiais Para uma melhor visualizagao utilizaremos a figura abaixo como sendo o conjunto xy e nas demais figuras apresentaremos além dessa a sua transfor macao em azul 8 6 4 2 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 8 1 Reflexoes e Reflexaéo em torno do eixo x T R R tal que Tz y x y sendo sua matriz 8 6 4 1 O 2 x rev 5 2 4 8 6 4 2 6 8 2 4 6 8 e Reflexaéo em torno do eixo y T R R tal que Tz y 2 y sendo sua matriz 8 6 4 l1 0 x ren 4 0 4 8 6 4 2 2 4 6 8 4 6 8 e Reflexaéo em torno da origem T R R tal que Tz y x y sendo sua matriz 8 6 4 1 O 2 x ren4 1 8 6 2 4 6 8 4 6 8 e Reflexaéo em torno da reta yx T R R tal que Tz y y xz sendo sua matriz 8 av 6 a gel 011s 2A ren 35 NS y 86 429 2 4 6 8 4 6 8 2 Dilatagoes e Contragoes e Dilatacgdes e contracdes na direcao do vetor T R R tal que Tz y ax y para a R sendo sua matriz Caso a 15 8 6 4 a 0 x 2 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 8 Note que sea 1 T dilata no mesmo sentido do vetor se 0 a 1 TJ contrai no mesmo sentido do vetor sea1 7 éa transformacao identidade se 1 a0 T contrai no sentido oposto do vetor sea 1T éa transformagcao reflexao em torno da origem sea 1 T dilata no sentido oposto do vetor e Dilatacgdes e contragoes na direcao do eixo x T R R tal que Tz y az y para a R sendo sua matriz Caso a 15 8 6 4 a 0 x 2 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 8 e Dilatacgoes e contragoes na direcao do eixo y T R R tal que Tz y x ay para a R sendo sua matriz Caso a 15 8 6 4 1 0 x 2 T eo5 21 5 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 8 OBS Note que quando tivermos a 0 é a projegao ortogonal sobre o eixo x 3 Cisalhamento e Dilatacgdes e contracdes na direcdo do eixo x T R R tal que Tz y x ay y para a R sendo sua matriz Caso a 15 8 6 4 1 a x 2 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 8 Esse é chamado de cisalhamento horizontal de fator a e Cisalhamento na direcao do eixo y T R R tal que Tz y v7ary paraa eR sendo sua matriz Caso a 15 8 6 4 1 O x 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 8 Esse é chamado de cisalhamento vertical de fator a 4 Rotagao A rotagao do plano em torno da origem que faz cada ponto descrever um Angulo determina a transformacao linear T R R tal que 8 OF cos0 sen6 x 5 Tyo Q on 7 Pxy sen cos y 36 4 a Na figura caso 6 745 em azul e AW om U 0 F 150 em verde 8 6 A 2 2 4 6 8 Note que a rotacao NAO altera o tama 4 nho 6 8 Exemplo 1 Determine a matriz da transformacdo T R R que representa um cisalha mento por um fator 2 na diregao horizontal seguida de uma reflexao em torno do eixo y Exemplo 2 Seja um U R onde 63 rotacione esse vetor em 30 no sentido horario Exemplo 3 Determine a matriz da transformacao T R R que representa as seguintes transformacoes uma rotagao de um Angulo 0 dilatacao de fator 4 na diregao do eixo x uma reflexao em torno da reta yx Exemplo 4 Seja um triangulo retangulo de vértices A13 B81 e Cxy Sabendo que o Angulo correpondente ao vértice A é reto é 0 lado AC é 0 dobro de AB determine o ponto C Transformações Lineares no Espaço Transformações lineares no espaço são transformações do tipo T R3 R3 De forma seme lhante as transformações no plano veremos algumas dessas transformaçoes especiais no espaço 1 Reflexões Reflexões em relação aos planos coordenados Reflexão em relação ao plano xy é a transformação T R3 R3 tal que Tx y z x y z sendo sua matriz Tx y z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z Reflexão em relação ao plano xz é a transformação T R3 R3 tal que Tx y z x y z sendo sua matriz Tx y z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z Reflexão em relação ao plano yz é a transformação T R3 R3 tal que Tx y z x y z sendo sua matriz Tx y z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z Reflexões aos eixos coordenados Reflexão em relação ao eixo x é a transformação T R3 R3 tal que Tx y z x y z sendo sua matriz Tx y z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z Reflexão em relação ao eixo y é a transformação T R3 R3 tal que Tx y z x y z sendo sua matriz Tx y z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z Reflexão em relação ao eixo z é a transformação T R3 R3 tal que Tx y z x y z sendo sua matriz Tx y z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z Reflexão na origem Reflexão na origem é a transformação T R3 R3 tal que Tx y z x y z sendo sua matriz Tx y z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z 2 Rotações Dentre as rotações do espaço ressaltamos a rotação do espaço em torno do eixo dos z que faz cada ponto descrever um ângulo θ ver figura Essa transformação linear T R3 R3 é tal que Tx y z x cosθ y senθ x senθ y cosθ z sendo sua matriz Tx y z cosθ senθ 0 senθ cosθ 0 0 0 1 x y z OBS o ângulo θ corresponde ao ângulo central cujos lados in terceptam na circunferência de centro O um arco de medida θ Esse ângulo NÃO é o ângulo α formado pelos v e Tv As rotações do espaço em torno dos outros eixos são análogas Em torno do eixo y Tx y z cosθ 0 senθ 0 1 0 senθ 0 cosθ x y z Em torno do eixo x Tx y z 1 0 0 0 cosθ senθ 0 senθ cosθ x y z Exemplo 1 Determine o vetor formado pela transformação do vetor v 4 0 2 a partir de uma rotação de 120 em torno do eixo dos y Além disso determine o ângulo α Exemplo 2 Determine o vetor formado pela transformação do vetor v 1 2 4 a partir de uma rotação de 30 em torno do eixo dos x Além disso determine o ângulo α Exercicios 1 Seja uma transnformagao linear T R R tal que Tz yz 22 y zv 2y eas bases B 100 2 10 01 1 do R eC 1 1 0 1 do R Determine a matriz B Te 2 Sejam as bases B 11 10 do R e C 11 1 2 10 301 do R para 3 1 a transnformacao linear T R R Sabendo que a matriz Tle 2 29 determine a 1 l expressao de Tx y e a matriz 7 1 l 3 Seja uma transnformacao linear T R R com a matriz Te 0 11onde Aé 2 3 a base candnica do R e C 101 20 1 010 base do R Qual a imagem do vetor 23 por T 4 Seja uma transnformacao linear T R R tal que Tz y x 2y2 y e as bases A 11 10 e B 2 1 11 Determine 7 e T OBS 7 T4 5 Sejam as transformacés lineares JT R R tal que Tzy x y 2 y 22 e T2 R R tal que Tz y 2x yx 3yy Determine as seguintes transformacoes lineares a T Th b 37 27 6 Sendo S e T operadores lineares do R definidos por 2 yz x 2yxy e Tz yz x zyz determine a SoT b ToS 7 Determine a matriz da transformacao linear T R R que representa a sequéncia de transformacoes dadas a Reflexéo em torno do eixo dos y seguida de um cisalhamento de fator 5 na diregao horizontal b Rotagao de 30 no sentido horario seguida de uma duplicagao dos médulos e inversao dos sentidos c Rotagao de 60 seguida de uma reflexao em relacao ao eixo dos x 8 Seja um triangulo de vértices A24 B21 e Cxy Sabendo que o angulo em A é 30 e o lado AC é 0 3 vezes maior do que AB determine o ponto C 9 Os pontos A21 e B14 sao vétices consecutivos de um quadrado Calcular os outros dois vértices utilizando a matrizrotacao 10 Determine o Angulo a formado pelos vetores U e Tv nos seguintes casos 2 V2 a v v ve rotaciona 180 em torno do eixo dos z b v 11 1 rotaciona 60 em torno do eixo dos y Respostas 8 18 2 1 ri8 5 Ol ay irs 6 1 31132 4 T 3 Ws 3 3 2 5 4 1 2 3 1 0 1 0 1 0 5a xx4y2xy 5b xy4x8y6x2y 6a 0 2 O 6b 0 2 0 6 3 1 1 l 1 1 O 1 5 3 1 12 132 7 b 210 2 a 0 a 1 4 7c als 19 8C6V352 10 932 9ou 34 e 61 ou 47 e 72 10aa 90 10ba 48 19