Transformações Lineares: Definições e Exemplos

Transformações Lineares Introdução Nesta unidade iremos estudar um tipo especial de funçãoaplicação onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais Essas aplicações são chamadas de transformações lineares que levam vetores de um espaço vetorial em outro espaço vetorial Denotaremos uma transformação linear como T V W onde T é a transformação linear uma aplicação mapeamento função etc de V em W onde V um espaço vetorial é o domínio e W um espaço vetorial é o contradomínio Assim para x Rn temos o vetor Tx Rm que é chamado de imagem de x sob a ação de T OBS note que também podemos ter n m ou seja uma aplicação de Rn em Rn Vejamos um exemplo de transformação linear Seja V R3 W R2 e uma transformação linear T R3 R2 que associa vetores v x y z R3 com vetores w x y R2 pela lei Tx y z x y y z No diagrama a seguir apresentamos três casos particulares dessa aplicação R2 R3 T 1 1 1 2 0 1 2 3 3 1 3 2 1 5 1 Nas aulas passadas já vimos uma operação matemática que levavam vetores de um espaço vetorial em outro espaço vetorial Essa operação era a multiplicação por uma matriz por exemplo 1 1 1 1 2 1 4 3 3 4 1 2 1 3 2 1 5 10 15 No exemplo vemos que um vetor do R4 ao ser multiplicado uma matriz 34 obtemos um vetor do R3 Definição de transformação linear Sejam V e W espaços vetoriais Uma aplicação T V W é chamada transformação linear de V em W se I Tu v Tu Tv II Tαu αTu para uv V e α R Exemplo 1 Mostre que o exemplo dado anteriormente é uma transformação linear Seja T R3 R2 onde Tx y z x y y z Exemplo 2 Mostre que T R2 R2 onde Tx y x y 2y x é uma transformação linear OBS Uma transformação como essa que leva de V em V é chamada operador linear sobre V Exemplo 3 Mostre que T R3 R2 onde Tx y z x 3 y 2z NÃO é uma transfor mação linear Propriedade Se a transformação T V W for linear então a imagem do vetor 0 V é o vetor 0 W isto é T0 0 Entretanto a recíproca não é verdadeira Veja exemplo a seguir Exemplo 4 Mostre que T R2 R onde Tx y xy NÃO é uma transformação linear OBS Note que as transformações lineares segue as mesmas regras das equações lineares Casos particulares de transformações lineares Transformação identidade T V W para Tx x Transformação nula T V W para Tx 0 Transformação simetria em relação a origem T V W para Tx x Transformação projeção ortogonal do R3 sobre o plano xy T R3 R3 para Tx y z x y 0 Transformação projeção ortogonal do R3 sobre o plano x T R3 R3 para Tx y z x 0 0 Propriedade Se T V W for uma transformação linear então Ta1v1 a2v2 a1Tv1 a2Tv2 para v1v2 V e a1 a2 R De forma análoga temos Ta1v1 a2v2 anvn a1Tv1 a2Tv2 anTvn para vi V e ai R i 1 n Note que se temos uma base B UV v2U parao espaco V e um vetor Z na base canénica logo Z ayU1 a9V9 tee AnUn entao temos as condigoes de determinar os coeficientes a A partir da propriedade apresentada acima temos Tz aTv agT v2 forse Hf anT Gn Assim uma transformacao linear T V W fica completamente definida quando conhecemos as imagens dos vetores de uma base de V 0 1 1 Exemplo 1 Seja T R R uma transformacao linear e B 1 07 1 0 1 0 uma base para o R Determine T53 2 sabendo que T0 10 1 2 T1 01 3 1 e T1 10 02 Exemplo 2 Sejam V Mx espaco das matrizes quadradas 2 x 2 e W P espaco dos polinémios de grau 4 Qual é a transformagao linear T Moy Py tal que 1 0 4 rea 0 1 3 9 r 5 2 0 0 9 3 T ye x4a 0 0 A r ntat Exemplo 3 Seja B 2 1 1 1 base para o R2 e uma trasnsformação linear T R2 R3 Determine T sabendo que T2 1 3 1 1 e T1 1 2 0 0 A Imagem e o Núcleo de uma Transformação Linear Definição de Imagem Chamamos de Imagem de uma transformação linear T V W o conjunto dos vetores w W tais que existe um vetor v V que satisfaça Tv w Indicamos esse conjunto de ImT ou TV Ou seja ImT TV w W Tv w para algum v V W Definição de Núcleo Chamamos de Núcleo de uma transformação linear T V W o conjunto de todos os vetores v V tais que Tv 0 Indicamos esse conjunto de KerT ou NT Ou seja KerT NT v V Tv 0 V No diagrama a seguir apresentamos um esquema dessas definições V NT W ImT T 0 Note que KerT é um subespaço de V Seja v1v2 V tal que v1v2 KetT então Tv1 v2 Tv1 Tv2 0 0 0 Logo v1 v2 KetT Seja α R então Tαv1 αTv1 α 0 0 Logo αv1 KerT ImT é um subespaço de W Seja v1v2 V tal que Tv1 w1 e Tv2 w2 para w1 w2 ImT então w1 w2 Tv1 Tv2 Tv1 v2 ImT Logo w1 w2 ImT Seja α R então αw1 αTv1 Tαv1 ImT Logo αw1 IMT Exemplo 1 Determine os subconjuntos KerT e ImT da trasnsformação T R2 R2 tal que Tx1 x2 x1 0 Exemplo 2 Determine os subconjuntos KerT e ImT da trasnsformação T R3 R2 tal que Tx1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 Note que para determinar o núcleo de uma transformação linear T Rn Rn é necessário resolver um sistema homogêneo Propriedades 1 Uma transformação linear T V W é injetora se e somente se KerT 0 v1v2 Vv1 v2 implica Tv1 Tv2 2 Uma transformação linear T V W é sobrejetora se ImT W w W existe pelo menos um v V tal que Tv w Teorema da dimensão Seja V um espaço de dimensão finita e T V W uma transformação linear Então dim KerT dim ImT dim V Exemplo 1 Determine as dimensões de KerT e ImT da trasnsformação T R2 R2 tal que Tx1 x2 x1 0 Exemplo 2 Determine as dimensões de KerT e ImT da trasnsformação T R3 R2 tal que Tx1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 Exemplo 3 Mostre que as transformações lineares de R3 R3 tais que T1x y z 0 y z e T2x y z 0 y z 2y z têm os mesmos núcleos e imagens Exemplo 4 Seja T R3 R2 a transformação linear tal que Te1 1 2 Te2 0 1 e Te3 1 3 sendo e1e2e3 a base canônica do R3 a Determine o KerT e uma de suas bases T é injetora b Determine a ImT e uma das suas bases T é sobrejetora Corolário Seja T V W uma transformação linear Se dim V dim W então T é injetora se e somente se é sobrejetora Prova Usar o fato que injetora implica que KerT 0 então 0 dim ImT dim W que implica que ImT W logo sobrejetora Como T é sobrejetora ImT W logo dim ImT dim W então dim KerT 0 que implica KerT 0 logo injetora Portanto uma transformação linear em que dim V dim W e T injetora ou sobre jetora então T é bijetora Exemplo 1 Seja T R R tal que Tz y 2x y 3x 2y Mostre que essa transfor magao linear é bijetora Exemplo 2 Seja T R W onde W 2yz R z O tal que Tzy y2xy0 Mostre que essa transformacao linear é bijetora Exercicios 1 Determine quais transformacoes sao lineares Justifique a T R R Tx y 3y fy 84 2y b TR R Tz y 2 c TRR Tz 222 V2 d T R P3 Tabc a 2bx cx a b a 2y 3x TR2 e T RY Moya Tz y y r a b a b Ti Maa R 7 1 aet g T R R Tz y senxy 2 Dada a trasnformacao linear T R R tal que Tz 3v1 e Tv w U calcular em funcao de wv e Vv a Tuv v b T8v c T4i 50 3 Dada a transformacaos linear T R R sendo Tz y 2 vu 2y2222y2x y 4z determine a v R tal que Tv 18 11 b w R tal que Tw w 4 Sabendo que T R R é uma transformacao linear e que T11 322 e T12 1 13 determine Tz y 5 SejaT V W uma transformacao linear sendo V Re W ReB a uma base para V Determine T3 4 sabendo que T1 1 3 21 e T1 1 1 43 6 Determine KerT e ImT da trasnsformacao T R R tal que Tz y z a 2y zy2z244 3y4 2 7 Determine as dimensdes de KerT e ImT da trasnsformacéo T R R tal que Tx y2 wy 0 8 Seja T Pp R tal que Ta br cx a b ca b3b c Mostre que essa transformacao linear é bijetora 9 Seja T R R tal que Tz y x y x 2y Determine o nicleo a imagem e suas dimensoes T é injetora eou sobrejetora Respostas la Linear b Nao é linear c Nao é linear d Linear e Linear f Nao é linear g Nao é linear 2a4ti U b3u 380 c7u 50 3a123 bk211 Vk ER AT xy 7a 4y 8a y a y 551510 5 1 2 l 6KerT f sexfomin on b 1 vel hee 1 1 3 1 7dim KerT 1e dim ImT 2 9 KerT 00 dim KerT 0e T injetora ImT a1 10 61027 ab R dim ImT 2 e T nao é sobrejetora