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Administração ·

Estatística Aplicada para Finanças

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Tipos fundamentais de medidas estatísticas resumo medidas de posição ou tendência central medidas de dispersão ou de variabilidade As medidas descritivas são importantes para dar informações sobre o conjunto de dados Além dos cálculos envolvidos para a obtenção do valor que identifica cada uma delas é imprescindível que saibamos o significado de cada uma delas para que possamos interpretar e usar adequadamente os valores obtidos MÉDIA MEDIANA E MODA Dentre as medidas de posição podemos destacar inicialmente a média mediana e moda também conhecidas como medidas de tendência central ou de posição Uma medida de tendência central é usada para representar o conjunto de dados a partir de um único valor 4 MÉDIA Podemos interpretar a média como o valor que todas as observações assumiriam se fossem iguais Média aritmética simples é o valor que todas as observações assumiriam se fossem iguais A média aritmética simples é calculada por ҧ𝑥 σ 𝑥𝑖 𝑛 onde os 𝑥𝑖 são as observações da variável x e n é a quantidade de elementos do conjunto de dados 5 Exemplo Na tabela 1 abaixo são dados os tempos em minutos para o preparo de 1 m³ de uma mistura para construção em solo de cimento por um único operário Encontre a média 78 72 68 76 76 76 69 81 76 83 69 79 72 85 72 76 A média é calculada por 𝑥 78726876767669817683697972857276 16 1208 16 755 Ou seja o tempo médio para o preparo de 1 m³ dessa mistura é de 755 minutos Média aritmética ponderada é calculada a partir da atribuição de diferentes pesos para os valores observados Na tabela de distribuição de frequências podemos interpretar os pesos como as frequências que indicam o número de ocorrências de cada valor Assim ҧ𝑥 σ 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑛 6 Exemplo Usaremos o exemplo anterior dos tempos em minutos para o preparo de 1 m³ de uma mistura para construção em solo de cimento por um único operário Observe que podemos organizar os dados apresentados na forma de uma tabela de frequências 7 Tempo de preparo para a mistura 𝒙𝒊 Frequência Absoluta 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 68 1 68 69 2 138 72 3 216 76 5 380 78 1 78 79 1 79 81 1 81 83 1 83 85 1 85 Total 𝚺 n16 1208 Dessa forma utilizando a última coluna da tabela de frequência podemos calcular a média da seguinte forma 𝑥 Σ𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑛 1208 16 755 Tempo Necessário para a conclusão de auditorias dias Freq fi 10 14 4 15 19 8 20 24 5 25 29 2 30 34 1 Total 20 Ponto Médio da Classe Mi fi Mi 12 48 17 136 22 110 27 54 32 32 380 Média da amostra 𝑥 Σ𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑛 380 20 19 𝑑𝑖𝑎𝑠 9 Exercício 1 Considere a tabela 3 abaixo que fornece informações sobre o número de filhos em idade escolar de 20 funcionários de uma empresa Calcule a média de filhos em idade escolar desses funcionários Número de filhos em idade escolar Frequência 0 6 1 8 2 4 3 1 4 0 5 1 𝑥 Σ𝑥𝑖𝑓𝑖 𝑛 061824314051 20 12 Portanto a média é 12 filho em idade escolar por funcionário Para calcular a média vamos multiplicar cada observação 𝑥𝑖 por sua frequência ou seja 10 Exercício 2 O gerente de uma agência da Caixa Econômica verificou os valores depositados em contas de poupança que aniversariam no dia 1 de junho de determinado ano Os valores em reais estão apresentados na Tabela abaixo Classe Ponto Médio da Classe 𝒙𝒊 𝒑𝒎𝒊 Frequência Absoluta 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 000 750000 375000 55 20625000 750000 1500000 1125000 21 23625000 1500000 2250000 1875000 7 13125000 2250000 3000000 2625000 2 5250000 3000000 3750000 3375000 2 6750000 3750000 4500000 4125000 3 12375000 4500000 5250000 4875000 4 19500000 5250000 6000000 5625000 4 22500000 Total 98 123750000 Cada uma das classes de valores será representada pelo seu ponto médio 𝑥𝑖 𝑝𝑚𝑖 Dessa forma a média será calculada por 𝑥 Σ𝑥𝑖𝑓𝑖 𝑛 123750000 98 1262755 Portanto a média dos valores em reais depositados nessas contas que aniversariaram no dia 1 de junho no determinado ano é de R1262755 11 MODA A moda indica o valor que mais se repete dentre as observações ou seja aquele que possui a maior frequência absoluta OBS Esta é uma medida que pode também ser utilizada para dados qualitativos indicando a categoria que mais se destaca Para dados contínuos apesar de haver algumas fórmulas disponíveis na literatura os valores obtidos podem não ser representativos Podemos identificar a classe modal a partir da maior frequência absoluta Podemos encontrar conjuntos de dados no qual não existe um valor modal isto é são tais que nenhuma observação se repete Por exemplo o conjunto de dados 358101213 não tem moda Nesse caso chamamos o conjunto de dados de amodal Em outros casos pode haver dois ou mais valores de concentração Dizemos então que a série tem dois ou mais valores modais Por exemplo o conjunto de dados 23444566777899 tem duas modas 4 e 7 Nesse caso dizemos que o conjunto é bimodal Exemplos 12 O site de uma revista perguntou às pessoas quais gastos cortavam em crises econômicas As respostas estão apresentadas na tabela abaixo Cortes Percentual de respostas Jantar fora 24 Viagens 23 Curso de idioma 36 Cinema 7 Salão de beleza 10 Total 100 Qual a moda desse conjunto de dados e o que ela representa Resposta A moda é Curso de idioma pois é a observação com maior frequência Ela representa a resposta mais frequente dos entrevistados Segundo o Ministério da Agricultura temos os seguintes dados em relação ao rebanho suíno do sudeste do Brasil no ano de 1992 13 Com base nessa pesquisa qual a moda desse conjunto de dados Resposta A moda é Minas Gerais pois é a observação com maior frequência Exemplos 1 São dadas as notas de 12 alunos 0 0 2 5 3 7 4 7 8 7 9 6 Qual a moda das notas desses alunos Resposta A moda é 7 pois é o valor que ocorre o maior número de vezes 2 Para as 5 turmas de uma determinada disciplina as notas de um teste foram as indicadas na tabela Determine a moda para cada turma 14 Turma Notas Moda Distribuição A 0 3 4 5 6 7 8 Amodal B 2 4 5 6 6 7 9 6 Unimodal C 1 1 2 3 6 6 9 10 10 10 10 Unimodal D 1 2 3 6 6 9 10 10 6 10 Bimodal E 2 4 5 5 6 6 7 8 8 5 6 8 Trimodal Turma Notas Moda Distribuição A 0 3 4 5 6 7 8 Amodal B 2 4 5 6 6 7 9 6 Unimodal C 1 1 2 3 6 6 9 10 10 10 10 Unimodal D 1 2 3 6 6 9 10 10 6 10 Bimodal E 2 4 5 5 6 6 7 8 8 5 6 8 Trimodal