Atividades de Estudos sobre a Lei de Gauss

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ ELETRICIDADE E APLICAÇÕES TURMA PROF ALUNO ATIVIDADES DE ESTUDOS 5 LEI DE GAUSS 1 Introdução Um dos principais objetivos da física é descobrir formas simples de resolver problemas aparentemente complexos Um dos instrumentos usados pela física para conseguir esse objetivo é a simetria Nesta sessão discutimos uma bela relação entre carga e campo elétrico que nos permite em certas situações de alta simetria calcular o campo elétrico produzido por objetos macroscópicos usando poucas equações algébricas Essa relação é chamada de lei de Gauss e foi descoberta pelo matemático e físico Carl Friedrich Gauss 17771855 Vamos aplicar alguns exemplos simples que dão uma ideia do espírito da lei de Gauss A figura 1 mostra uma partícula de carga Q cercada por uma esfera imaginária cujo centro é a posição da partícula Em todos os pontos da superfície da esfera imaginária chamada de superfície gaussiana os vetores do campo elétrico têm o mesmo módulo dado por E kQr2 e apontam radialmente para longe da partícula porque a carga da partícula é positiva As linhas de campo elétrico também apontam para longe da partícula e têm a mesma densidade já que como vimos no roteiro 4 a densidade de linha de campo elétrico é proporcional ao módulo do campo elétrico Dizemos que os vetores do campo elétrico assim como as linhas de campo elétrico atravessam a superfície A figura 2 é igual à figura 1 exceto pelo fato de que a carga da partícula é 2Q Como a carga envolvida é duas vezes maior o módulo dos vetores do campo elétrico que atravessam a mesma superfície gaussiana é duas vezes maior que na figura 1 e a densidade das linhas de campo elétrico também é duas vezes maior Foram observações como essa que levaram à lei de Gauss A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana fechada à carga total envolvida pela superfície Vamos examinar um terceiro exemplo mostrado na figura 3 em que uma partícula está no centro da mesma superfície gaussiana esférica Quais são o sinal e o valor absoluto da carga Como os vetores do campo elétrico apontam para a partícula sabemos que a carga da partícula é negativa Além disso como o comprimento dos vetores é metade do comprimento dos vetores da figura 1 concluímos que o valor absoluto da carga é 05Q Os problemas discutidos nesta sessão são de dois tipos Nos problemas do primeiro tipo conhecemos a carga e usamos a lei de Gauss para determinar o campo elétrico em um dado ponto nos do segundo tipo conhecemos o campo elétrico em uma superfície gaussiana e usamos a lei de Gauss para determinar a carga envolvida pela superfície Entretanto na maioria dos casos não podemos usar a lei de Gauss simplesmente observando o sentido e o comprimento dos vetores do campo elétrico em um desenho como acabamos de fazer precisamos de uma grandeza física que descreva a quantidade de campo elétrico que atravessa uma superfície Essa grandeza é chamada de fluxo elétrico 2 Fluxo Elétrico Para conceituação da grandeza fluxo elétrico começamos com uma superfície plana de área A em uma região onde existe um campo elétrico uniforme A figura 4a mostra um dos vetores de campo elétrico atravessando um pequeno quadrado de área ΔA em que Δ significa pequeno Na verdade apenas a componente x de módulo Ex E cos θ na figura 4b atravessa a superfície A componente y é paralela à superfície e não aparece na lei de Gauss A quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície é chamada de fluxo elétrico ΔΦ e é dada pelo produto do campo que atravessa a superfície pela área envolvida 𝛷 E cos 𝜃 𝐴 𝐸 𝐴 Outro modo de escrever o lado direito da expressão para o fluxo é pelo produto escalar do vetor campo elétrico com o vetor área 𝐴 que é perpendicular ao quadrado e tem um módulo igual à área do quadrado A da figura 4c Para determinar o fluxo total Φ que atravessa a superfície da figura 4 somamos o fluxo que atravessa todos os pequenos quadrados da superfície 𝛷 𝐸 𝐴 eq 51 Figura 1 Superfície Gaussiana envolvendo a carga Q Figura 2 Superfície Gaussiana envolvendo a carga 2Q Figura 3 Superfície Gaussiana envolvendo a carga 05Q Figura 4 a Fluxo do campo elétrico 𝐸 através da área A b Componente perpendicular à área Ex c Elemento de área orientado 𝐴 perpendicular à área A Entretanto como não queremos ter o trabalho de somar centenas ou mais de valores do fluxo transformamos a soma em uma integral reduzindo os pequenos quadrados de área ΔA em elementos de área dA Nesse caso o fluxo total passa a ser dado por 𝛷 𝐸 𝑑𝐴 eq 52 21 Superfície Fechada Para relacionar o fluxo à carga usando a lei de Gauss precisamos de uma superfície fechada Vamos usar a superfície fechada da figura 5 que está submetida a um campo elétrico não uniforme Como antes vamos começar pelo fluxo através de pequenos quadrados Agora porém estamos interessados não só em saber se as componentes do campo elétrico atravessam a superfície mas também se elas atravessam a superfície de dentro para fora ou de fora para dentro Para levar em conta o sentido com o qual o campo elétrico atravessa a superfície usamos o vetor área A mas agora escolhemos como positivo o sentido para fora da superfície fechada Assim se o vetor campo elétrico aponta para fora o campo elétrico e o vetor área apontam no mesmo sentido o ângulo entre os vetores é θ 0o e cos θ 1 Isso significa que o produto escalar é positivo e portanto o fluxo é positivo Se o vetor campo aponta para dentro o campo elétrico e o vetor área apontam em sentidos opostos o ângulo entre os vetores é θ 180o e cos θ 1 Nesse caso o produto escalar é negativo e o fluxo é negativo Se o vetor campo elétrico é paralelo à superfície o campo elétrico é perpendicular ao vetor área o ângulo entre os vetores é θ 90 o e cos θ 0 Nesse caso o produto escalar é nulo e o fluxo é zero A parte inferior da figura 5 mostra exemplos das três situações A conclusão é a seguinte Se o sentido do campo elétrico é para fora da superfície o fluxo é positivo se o sentido do campo elétrico é para dentro da superfície o fluxo é negativo se o campo elétrico é paralelo à superfície o fluxo é zero O fluxo total através de uma superfície fechada pode ser calculado por integração através da relação 𝛷 𝐸 𝑑𝐴 eq 53 O círculo no sinal de integral indica que a integral deve se estender a toda a superfície fechada já que estamos calculando o fluxo total através da superfície Note que o fluxo é uma grandeza escalar é verdade que trabalhamos com vetores de campo elétrico mas o fluxo é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície e não o campo em si A unidade de fluxo do SI é o newtonmetro quadrado por coulomb Nm2C 3 Lei de Gauss A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através de uma superfície fechada superfície gaussiana à carga total 𝑞𝑒𝑛𝑣 envolvida pela superfície Como vimos nas figuras 1 2 e 3 o fluxo elétrico através das superfícies dependia da carga contida dentro da superfície Logo em notação matemática 𝜀0Φ 𝑞𝑒𝑛𝑣 Lei de Gauss eq 54 Usando a eq 53 a definição de fluxo podemos escrever a lei de Gauss na forma 𝜀0 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑒𝑛𝑣 Lei de Gauss eq 55 As eq 54 e eq 55 são válidas somente se na região envolvida pela superfície gaussiana existe apenas vácuo ou ar que para efeitos práticos quase sempre pode ser considerado equivalente ao vácuo Nas eq 54 e eq 55 a carga total 𝑞𝑒𝑛𝑣 é a soma algébrica das cargas positivas e negativas envolvidas pela superfície gaussiana e pode ser positiva negativa ou nula Incluímos o sinal ao invés de usar o valor absoluto da carga envolvida porque o sinal nos diz alguma coisa a respeito do fluxo total através da superfície gaussiana Se 𝑞𝑒𝑛𝑣 é positiva o fluxo é para fora se 𝑞𝑒𝑛𝑣 é negativa o fluxo é para dentro A carga do lado de fora da superfície mesmo que seja muito grande ou esteja muito próxima não é incluída no termo 𝑞𝑒𝑛𝑣 da lei de Gauss A localização das cargas no interior da superfície de Gauss é irrelevante as únicas coisas que importam para calcular o lado direito das eq 54 e eq 55 são o valor absoluto e o sinal da carga total envolvida A grandeza do lado esquerdo da eq 55 por outro lado é o campo elétrico produzido por todas as cargas tanto as que estão do lado de dentro da superfície de Gauss como as que estão do lado de fora Isso pode parecer incoerente mas é preciso ter em mente o seguinte fato a contribuição do campo elétrico produzido por uma carga do lado de fora da superfície gaussiana para o fluxo através da superfície é sempre nula já que o número de linhas de campo que entram na superfície devido a essa carga é igual ao número de linhas que saem Figura 5 Superfície Gaussiana Fechada na região de campo elétrico uniforme 31 Lei de Gauss e Lei de Coulomb A lei de Gauss pode ser usada para determinar o campo elétrico produzido por uma partícula carregada Nesse caso o campo tem simetria esférica depende apenas da distância r entre o ponto considerado e a partícula Para tirar proveito dessa simetria envolvemos a partícula em uma esfera gaussiana com centro na partícula como mostra a figura 6 para uma partícula com uma carga positiva q Como todos os pontos da superfície da esfera estão à mesma distância r da partícula o campo elétrico tem o mesmo valor E em todos os pontos da superfície da esfera Escolhemos um elemento de área na superfície da esfera e desenhamos um vetor área d𝐴 perpendicular ao elemento apontando para fora da esfera A simetria da situação mostra que o campo elétrico também é perpendicular à superfície da esfera e aponta para fora da esfera o que significa que o ângulo entre 𝐸 e d𝐴 é θ 0 Assim a lei de Gauss nos dá 𝜀0 𝐸 𝑑𝐴 𝜀0 𝐸𝑑𝐴 𝑞𝑒𝑛𝑣 eq 56 em que 𝑞𝑒𝑛𝑣 𝑞 Como o módulo E do campo elétrico é igual em todos os elementos de área ele pode ser colocado do lado de fora do sinal de integração o que nos permite escrever 𝜀0𝐸 𝑑𝐴 𝑞 eq 57 A integral restante é apenas uma receita para somar todas as áreas elementares mas já sabemos que a área total é 4πr2 Substituindo a integral pelo seu valor obtemos 𝜀0𝐸4𝜋𝑟2 𝑞 𝐸 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟2 que é exatamente a mesma equação obtida pela lei de Coulomb Na atividade de estudos 2 Exemplo Resolvido A Figura 7a mostra em seção reta uma casca esférica de plástico de raio 𝑅 10 𝑐𝑚 e espessura desprezível com carga 𝑄 16𝑒 distribuída uniformemente No centro da casca está uma partícula de carga 𝑞 5𝑒 Qual é o campo elétrico módulo e orientação a em um ponto P1 situado a uma distância r1 6 cm do centro da casca e b em um ponto P2 situado a uma distância r2 120 cm do centro da casca Resolução Como o sistema mostrado na figura 7a tem simetria esférica é conveniente usar uma superfície gaussiana concêntrica com a casca para determinar o campo elétrico Para calcular o campo elétrico em um ponto devemos fazer a superfície gaussiana passar por esse ponto A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada à carga envolvida pela superfície As cargas externas são ignoradas assim em r1 6 cm construímos uma esfera gaussiana com P1 na superfície ou seja uma esfera gaussiana de raio r1 Como a carga envolvida pela esfera gaussiana é positiva o fluxo elétrico através da superfície é positivo e portanto aponta para fora da esfera Assim o campo atravessa a superfície de dentro para fora Além disso devido à simetria esférica é perpendicular à superfície como mostra a figura 7b A casca de plástico não aparece na figura porque está do lado de fora da superfície gaussiana e portanto sua carga não é envolvida pela superfície Pela lei de Gauss 𝜀0 𝐸 𝑑𝐴 𝜀0 𝐸𝑐𝑜𝑠 0𝑑𝐴 𝜀0𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑒𝑛𝑣 𝑞 Uma vez que 𝑞 5e e r1 600102 m descobrimos que o módulo do campo elétrico no ponto P1 𝐸1 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟1 2 200 106 𝑁𝐶 Para determinar o campo elétrico no ponto P2 construímos uma esfera gaussiana com P2 na superfície Dessa vez a carga total envolvida pela esfera gaussiana é 𝑞𝑒𝑛𝑣 𝑞 Q 5e 16e 11e Figura 6 Carga puntiforme envolvida por superfície gaussiana esférica Figura 7 Casca esférica carregada com Q 16e e carga puntiforme concêntrica carregada com q 5e Como a carga total é negativa os vetores campo elétrico atravessam a superfície gaussiana de fora para dentro como mostra a figura 7c Assim o ângulo θ entre E e dA é 180o e o produto escalar entre os dois vetores é EdA cos180o E dA Explicitando E na lei de Gauss e fazendo 𝑞𝑒𝑛𝑣 11e e r r2 1200 102 m obtemos 𝐸2 𝑞𝑒𝑛𝑣 4𝜋𝜀0𝑟22 110 106 𝑁𝐶 LEITURA COMPLEMENTAR Seção 233 páginas 6063 HALLIDAY David Fundamentos de Física vol 3 Eletromagnetismo 10ª ed São Paulo LTC 2016 4 Aplicações da Lei de Gauss I Simetria Cilíndrica A figura 8 mostra uma parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de carga positiva λ Vamos obter uma expressão para o módulo do campo elétrico a uma distância r do eixo da barra A lei de Gauss permite resolver o problema de uma forma muito mais simples e mais elegante A distribuição de carga e a configuração do campo elétrico têm simetria cilíndrica Para calcular o campo a uma distância r envolvemos um trecho da barra com um cilindro gaussiano concêntrico de raio r e altura h Em seguida usamos a lei de Gauss para relacionar a carga envolvida pelo cilindro ao fluxo total do campo elétrico através da superfície do cilindro Para começar observe que por causa da simetria o campo elétrico em qualquer ponto do espaço aponta radialmente para longe da barra Isso significa que nas bases do cilindro o campo elétrico é paralelo à superfície e portanto o fluxo através das bases do cilindro é zero Para calcular o fluxo através da superfície lateral do cilindro note que em todos os elementos de área da superfície lateral o vetor área aponta radialmente para longe do cilindro para fora da superfície gaussiana ou seja na mesma direção e no mesmo sentido que o campo elétrico Assim o produto escalar que aparece na lei de Gauss é simplesmente EdA cos 0o E dA e podemos passar E para fora da integral A integral restante é simplesmente uma receita para somar as áreas de todos os elementos de área da superfície lateral do cilindro mas já sabemos que o resultado é o produto da altura h do cilindro pela circunferência da base 2πr O fluxo total através do cilindro é portanto Φ EA cos θ E 2πrh cos 0o E 2πrh Do outro lado da lei de Gauss temos a carga qenv envolvida pelo cilindro Como a densidade linear de carga carga por unidade de comprimento é uniforme a carga envolvida é q λh Assim a lei de Gauss ε0Φ qenv logo ε0 E 2πrh λh o que nos dá 𝐸 λ 2 ε0πr O campo aponta radialmente para longe da linha de carga se a carga for positiva e radialmente na direção da linha de carga se a carga for negativa A relação obtida também fornece o valor aproximado do campo produzido por uma linha de carga finita em pontos não muito próximos das extremidades da linha II Simetria Planar Placa Isolante A figura 9 mostra uma parte de uma placa fina infinita isolante com uma densidade superficial de carga positiva σ Uma folha de plástico com uma das superfícies uniformemente carregada pode ser um bom modelo Vamos calcular o campo elétrico a uma distância r da placa Uma superfície gaussiana adequada para esse tipo de problema é um cilindro com o eixo perpendicular à placa e com uma base de cada lado da placa como mostra a figura Por simetria é perpendicular à placa e portanto às bases do cilindro Além disso como a carga é positiva as linhas de campo elétrico apontam para longe da placa e portanto atravessam as duas bases do cilindro no sentido de dentro para fora Como as linhas de campo são paralelas à superfície lateral do cilindro o produto 𝐸 𝑑𝐴 é nulo nessa parte da superfície gaussiana Assim 𝐸 𝑑𝐴 é igual a 𝐸𝑑𝐴 nas bases do cilindro e é igual a zero na superfície lateral Nesse caso a carga envolvida é 𝑞 𝜎𝐴 e a lei de Gauss permite obter o campo elétrico 𝜀0 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑒𝑛𝑣 𝜀0𝐸𝐴 𝐸𝐴 𝜎𝐴 𝐸 𝜎 2𝜀0 eq 58 Como estamos considerando uma placa infinita com uma densidade de carga uniforme esse resultado é válido para qualquer ponto que esteja a uma distância finita da placa A eq 58 é igual à eq 414 no limite de R z que foi obtida por integração das componentes do campo elétrico produzido por elementos de carga Figura 8 Uma superfície gaussiana cilíndrica envolvendo parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de carga positiva Figura 9 a Placa isolante carregada uniformemente e superfície gaussiana cilíndrica b Configuração das linhas de campo Duas Placas Condutoras Mostraremos a seguir como obter o campo elétrico produzido por duas placas condutoras A figura 10a mostra uma vista de perfil de uma placa condutora fina infinita com um excesso de carga positiva Sendo que a carga em excesso está na superfície da placa Como a placa é fina e muito extensa podemos supor que praticamente toda a carga em excesso está nas duas faces maiores da placa Se não existe um campo elétrico externo para forçar as cargas positivas a assumirem determinada distribuição as cargas se distribuem uniformemente nas duas faces com uma densidade superficial de carga σ1 Similarmente ao caso anterior pela lei de Gauss essas cargas criam nas proximidades da superfície da placa da figura 10a um campo elétrico de módulo 𝜀0 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝑒𝑛𝑣 𝜀0 𝐸𝐴 𝜎1𝐴 𝐸 𝜎1 𝜀0 Como a carga em excesso é positiva o campo aponta para longe da placa Outro ponto a notar é que no interior da placa não há campo elétrico A Fig 10b mostra uma placa do mesmo tipo com um excesso de carga negativa e uma densidade superficial de carga com o mesmo valor absoluto σ1 A única diferença é que agora o campo aponta na direção da placa Suponha que as placas das figuras 10a e10b sejam colocadas lado a lado figura 10c Como as placas são condutoras quando as aproximamos as cargas em excesso de uma placa atraem as cargas em excesso da outra e todas as cargas em excesso se concentram na superfície interna das placas como mostra a figura 10c Como existe agora uma quantidade de carga duas vezes maior nas superfícies internas a nova densidade superficial de carga que vamos chamar de σ nas faces internas é σ 2σ1 Assim o módulo do campo elétrico em qualquer ponto entre as placas é dado por 𝐸 2𝜎1 𝜀0 𝜎 𝜀0 eq 59 Esse campo aponta para longe da placa positiva e na direção da placa negativa Como não existe excesso de carga nas faces externas o campo elétrico do lado de fora das placas é zero Como as cargas das placas se moveram quando as placas foram aproximadas a figura 10c não é a superposição das figuras 10a e 10b em outras palavras a distribuição de carga no sistema de duas placas não é simplesmente a soma das distribuições de carga das placas isoladas A razão pela qual nos damos ao trabalho de discutir situações tão pouco realistas como os campos produzidos por uma placa infinita carregada e um par de placas infinitas carregadas é que a análise de situações infinitas permite obter boas aproximações para problemas reais como em Capacitores III Simetria Esférica Caso 1 Casca Esférica A figura 11 mostra uma casca esférica carregada de raio R com uma carga total q e duas superfícies gaussianas concêntricas S1 e S2 Quando aplicamos a lei de Gauss à superfície S2 para a qual r R o resultado é 𝐸 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟2 eq 510 Esse campo é igual ao que seria criado por uma carga pontual q localizada no centro da casca Assim a força que uma casca de carga q exerce sobre uma partícula carregada situada do lado de fora da casca é a mesma que a força exercida por uma partícula pontual de carga q situada no centro da casca O resultado obtido demonstra o primeiro teorema das cascas Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca Aplicando a lei de Gauss à superfície S1 para a qual r R obtemos 𝐸 0 eq 511 uma vez que S1 não envolve nenhuma carga Assim se existe uma partícula carregada no interior da casca a casca não exerce nenhuma força sobre a partícula Esta situação permite descrever o segundo teorema das cascas Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela casca Figura 10 a Uma placa condutora fina infinita com excesso de carga positiva b Uma placa do mesmo tipo com excesso de carga negativa c As duas placas colocadas lado a lado Figura 11 Vista em seção reta de uma casca esférica fina uniformemente carregada com uma carga total q Duas superfícies gaussianas S1 e S2 também são mostradas A superfície S2 envolve a casca e a superfície S1 envolve apenas a cavidade vazia Toda distribuição de carga esfericamente simétrica como a distribuição de raio R e densidade volumétrica de carga ρ da figura 12 pode ser substituída por um conjunto de cascas esféricas concêntricas Para fins de aplicação dos dois teoremas das cascas a densidade volumétrica de carga ρ deve ter um valor único para cada casca mas não precisa ser a mesma para todas as cascas Assim para a distribuição de carga como um todo ρ pode variar mas apenas em função de r a distância radial a partir do centro de curvatura Podemos portanto caso seja necessário examinar o efeito da distribuição de carga camada por camada Na Fig 12a todas as cargas estão no interior de uma superfície gaussiana com r R As cargas produzem um campo elétrico na superfície gaussiana como se houvesse apenas uma carga pontual situada no centro e a eq 510 pode ser aplicada A figura 12b mostra uma superfície gaussiana com r R Para determinar o campo elétrico em pontos da superfície gaussiana consideramos dois conjuntos de cascas carregadas um conjunto do lado de dentro da superfície gaussiana e outro conjunto do lado de fora De acordo com a eq 511 as cargas do lado de fora da superfície gaussiana não criam um campo elétrico na superfície gaussiana De acordo com a eq 510 as cargas do lado de dentro da superfície gaussiana criam o mesmo campo que uma carga pontual de mesmo valor situada no centro Chamando essa carga de q podemos escrever a eq 510 na forma 𝐸 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟2 eq 512 Uma vez que a distribuição de carga no interior da esfera de raio R é uniforme podemos calcular a carga q envolvida por uma superfície esférica de raio r usando uma relação de proporcionalidade entre a carga envolvida pelo volume da esfera de raio r e a carga total no volume total Assim 𝑞 𝑞 4 3 𝜋𝑅3 4 3 𝜋𝑟3 𝑞 𝑟3 𝑅3 eq 513 Substituindo eq 513 em eq 512 obtemos 𝐸 𝑞𝑟 4𝜋𝜀0𝑅3 eq 514 A eq 514 representa o campo elétrico no interior de uma esfera com distribuição uniforme de carga Observamos que no interior da esfera o campo cresce linearmente com o raio e fora da esfera diminui com o quadrado da distância em relação ao centro da esfera OBS As figuras 1 a 12 foram extraídas do HALLIDAY David Fundamentos de Física vol 3 Eletromagnetismo 10ª ed São Paulo LTC 2016 Figura 12Os pontos representam uma esfera feita de material isolante com uma distribuição de carga de simetria esférica Uma superfície gaussiana concêntrica com r R é mostrada em a e similarmente uma superfície gaussiana de raio r R em b EXEMPLOS RESOLVIDOS Exemplo 1 Exemplo 2 A Figura a mostra partes de duas placas de grande extensão isolantes paralelas com uma carga uniforme do lado esquerdo Os valores das densidades superficiais de carga são σ 68 μCm2 para a placa positivamente carregada e σ 43 μCm2 para a placa negativamente carregada Determine o campo elétrico a à esquerda das placas b entre as placas e c à direita das placas Resolução Como as cargas estão fixas as placas são isolantes podemos determinar os campos elétricos produzidos pelas placas da figura a calculando o campo de cada placa como se a outra não existisse e somando algebricamente os resultados Não há necessidade de usar uma soma vetorial porque os campos são paralelos Em qualquer ponto o campo elétrico E produzido pela placa positiva aponta para longe da placa e assim 𝐸 𝜎 2𝜀0 384 105𝑁𝐶 Em qualquer ponto o campo elétrico E produzido pela placa negativa aponta na direção da placa e tem um módulo dado por 𝐸 𝜎 2𝜀0 2431 05𝑁𝐶 A figura b mostra os campos criados pelas placas à esquerda das placas E entre as placas C e à direita das placas D Os campos resultantes nas três regiões podem ser obtidos usando o princípio de superposição À esquerda e também a direita o módulo do campo é 𝐸𝐸 𝐸𝐷 𝐸 𝐸 14 105𝑁𝐶 O campo elétrico total EE aponta para a esquerda pois E é maior que E nessa região como mostra a figura c À direita das placas o campo elétrico D tem o mesmo módulo mas aponta para a direita Entre as placas os dois campos se somam e temos 𝐸𝐸 𝐸 𝐸 63 105𝑁𝐶 Questões RA 2 1 A Figura mostra em seção reta uma esfera central metálica duas cascas metálicas e três superfícies gaussianas esféricas concêntricas de raio R 2R e 3R As cargas dos três corpos distribuídas uniformemente são as seguintes esfera Q casca menor 3Q casca maior 5Q Coloque as três superfícies gaussianas em ordem decrescente do módulo do campo elétrico em qualquer ponto da superfície 2 Uma superfície cúbica envolve uma carga pontual q Descreva o que acontece com o fluxo total através da superfície se a a carga é dobrada b o volume do cubo é dobrado c a superfície muda para um formato esférico d a carga é mudada para outra localidade dentro da superfície e e a carga é movida para fora da superfície 3 Na Figura um elétron é liberado entre duas placas infinitas isolantes horizontais com densidades superficiais de carga σ e σ como mostra a figura O elétron é submetido às três situações mostradas na tabela a seguir que envolvem as densidades superficiais de carga e a distância entre as placas Coloque as situações em ordem decrescente do módulo da aceleração do elétron 4 Uma pequena esfera carregada está no interior de uma casca esférica metálica de raio R Para três situações as cargas da esfera e da casca respectivamente são 1 4q 0 2 6q 10q 3 16q 12q Coloque as situações em ordem decrescente de acordo com a carga a da superfície interna da casca e b da superfície externa da casca 5 Se mais linhas de campo elétrico deixam uma superfície gaussiana do que entram o que se pode concluir sobre a carga total circundada por essa superfície Problemas Introdutórios RA 1 1 A superfície quadrada da figura tem 32 mm de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E 1800 NC e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35 com a normal como mostra a figura Tome essa normal como apontando para fora como se a superfície fosse a tampa de uma caixa Calcule o fluxo elétrico através da superfície 2 Uma esfera condutora uniformemente carregada com 12 m de diâmetro possui uma densidade superficial de carga 81 μCm2 Determine a a carga da esfera e b o fluxo elétrico através da superfície da esfera 3 O campo elétrico nas vizinhanças da superfície lateral de um cilindro condutor tem um módulo E de 23 105 NC Qual é a densidade superficial de carga do cilindro 4 Na figura um pequeno furo circular de raio R 180 cm foi aberto no meio de uma placa fina infinita isolante com uma densidade superficial de carga σ 450 pCm2 O eixo z cuja origem está no centro do furo é perpendicular à placa Determine na notação dos vetores unitários o campo elétrico no ponto P situado em z 256 cm Sugestão Use o princípio de superposição 5 Um elétron é liberado a partir do repouso a 90 cm de distância de uma barra isolante retilínea muito longa com uma densidade de carga uniforme de 60 μC por metro Qual é o módulo da aceleração inicial do elétron Problemas Específicos RA 2 6 A Fig 2335 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 200 m de aresta com um vértice no ponto x1 500 m y1 400 m O cubo está imerso em um campo elétrico dado por 𝐸 300î 400y2ĵ 300 𝑘 NC com y em metros Qual é a carga total contida no cubo 7 Uma partícula carregada está suspensa no centro de duas cascas esféricas concêntricas muito finas feitas de um material isolante A figura a mostra uma seção reta do sistema e a figura b mostra o fluxo Φ através de uma esfera gaussiana com centro na partícula em função do raio r da esfera A escala do eixo vertical é definida por Φs 50 105 N m2C a Determine a carga da partícula central b Determine a carga da casca A c Determine a carga da casca B 8 A figura mostra uma seção de um tubo longo de metal de parede finas com raio R 300 cm e carga por unidade de comprimento λ 200 108 Cm Determine o módulo E do campo elétrico a uma distância radial a r R200 e b r 200R c Faça um gráfico de E em função de r para 0 r 200R 9 Um fio reto longo possui cargas negativas fixas com uma densidade linear de 36 nCm O fio é envolvido por uma casca coaxial cilíndrica isolante de paredes finas com 15 cm de raio A casca possui uma carga positiva na superfície externa com uma densidade superficial σ que anula o campo elétrico do lado de fora da casca Determine o valor de σ 10 A Figura mostra pequenas partes de duas linhas de carga paralelas muito compridas separadas por uma distância L 80 cm A densidade uniforme de carga das linhas é 60 μCm para a linha 1 e 20 μCm para a linha 2 Em que ponto do eixo x o campo elétrico é zero 11 Na figura a um elétron é arremessado verticalmente para cima com uma velocidade vs 20105 ms a partir das vizinhanças de uma placa uniformemente carregada A placa é isolante e muito extensa A figura b mostra a velocidade escalar v em função do tempo t até o elétron voltar ao ponto de partida Qual é a densidade superficial de carga da placa 12 Na figura uma pequena esfera isolante de massa m 10 mg e carga q 20108 C distribuída uniformemente em todo o volume está pendurada em um fio isolante que faz um ângulo θ 30o com uma placa vertical isolante uniformemente carregada vista em seção reta Considerando a força gravitacional a que a esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão calcule a densidade superficial de carga σ da placa 13 A figura mostra o módulo do campo elétrico do lado de dentro e do lado de fora de uma esfera com uma distribuição uniforme de carga positiva em função da distância do centro da esfera A escala do eixo vertical é definida por Es 50107 NC Qual é a carga da esfera 14 Duas cascas cilíndricas longas carregadas coaxiais de paredes finas têm 30 e 60 m de raio A carga por unidade de comprimento é 50 106 Cm na casca interna e 70106 Cm na casca externa Determine a o módulo E e b o sentido para dentro ou para fora do campo elétrico a uma distância radial r 40 cm Determine c o módulo E e d o sentido do campo elétrico para r 80 cm 15 Na Figura uma esfera maciça de raio a 200 cm é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b 200a e raio externo c 240a A esfera possui carga uniforme q1 500 fC e a casca uma carga q2 q1 Determine o módulo do campo elétrico a em r 0 b em r a200 c em r a d em r 150a e em r 230a e f em r 350a Determine a carga g na superfície interna e h na superfície externa da casca Problemas de Aplicações RA1 e RA2 16 Os veículos espaciais que atravessam os cinturões de radiação da Terra podem interceptar um número significativo de elétrons O acúmulo de carga resultante pode danificar componentes eletrônicos e prejudicar o funcionamento de alguns circuitos Suponha que um satélite esférico feito de metal com 13 m de diâmetro acumule 24 μC de carga a Determine a densidade superficial de carga do satélite b Calcule o módulo do campo elétrico nas vizinhanças do satélite devido à carga superficial 17 a O cilindro condutor de uma máquina tem um comprimento de 42 cm e um diâmetro de 12 cm O campo elétrico nas proximidades da superfície do cilindro é 23 105 NC Qual é a carga total do cilindro b O fabricante deseja produzir uma versão compacta da máquina Para isso é necessário reduzir o comprimento do cilindro para 28 cm e o diâmetro para 80 cm O campo elétrico na superfície do tambor deve permanecer o mesmo Qual deve ser a carga do novo cilindro 18 Uma parede não condutora possui carga com uma densidade uniforme de 860 μCcm2 a Qual é o campo elétrico 700 cm a frente da parede se 700 cm é uma medida pequena em comparação com as dimensões da parede b Seu resultado seria alterado com a variação da distância da parede Explique 19 Um filamento reto uniformemente carregado de comprimento 700 m tem uma carga positiva total de 200 μC Um papelão cilíndrico não carregado de comprimento 200 cm e 100 cm de raio rodeia o filamento em seu centro com o filamento como o eixo do cilindro Usando aproximações razoáveis encontre a o campo elétrico na superfície do cilindro e b o fluxo elétrico total através do cilindro 20 A figura mostra um contador Geiger aparelho usado para detectar radiação ionizante radiação com energia suficiente para ionizar átomos O contador é formado por um fio central positivamente carregado e um cilindro circular oco coaxial condutor com uma carga negativa de mesmo valor absoluto As cargas criam um campo elétrico radial de alta intensidade entre o cilindro que contém um gás inerte rarefeito e o fio Uma partícula de radiação que penetra no aparelho através da parede do cilindro ioniza alguns átomos do gás produzindo elétrons livres que são acelerados na direção do fio positivo O campo elétrico é tão intenso que no percurso os elétrons adquirem energia suficiente para ionizar outros átomos do gás através de colisões criando assim outros elétrons livres O processo se repete até os elétrons chegarem ao fio A avalanche de elétrons resultante é recolhida pelo fio gerando um sinal que é usado para assinalar a passagem da partícula de radiação Suponha que o fio central tenha um raio de 25 μm e o cilindro tenha um raio interno de 14 cm e um comprimento de 16 cm Se o campo elétrico na superfície interna do cilindro é 29 104 NC qual é a carga positiva do fio central Respostas dos Problemas 1 Φ 0015 Nm2C 2 a 𝑞 37 𝜇𝐶 b Φ 41 106 Nm2C 3 𝜎 20 𝜇𝐶𝑚2 4 𝐸 0208 𝑁𝐶𝑘 5 𝑎 21 1017 𝑚𝑠2 6 𝑞𝑒𝑛𝑣 170 𝑛𝐶 7 𝑎 𝑞𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 18 𝜇𝐶 𝑏 𝑞𝐴 53 𝜇𝐶 𝑐 𝑞𝐵 88 𝜇𝐶 8 𝑎 𝐸 0 𝑏 𝐸 599 103 𝑁𝐶 𝑐 9 𝜎 38 108 𝐶𝑚2 10 𝑥𝑃 80 𝑐𝑚 11 𝜎 29 106 𝐶𝑚2 12 𝜎 50 𝑛𝐶𝑚2 13 𝑞 22 𝜇𝐶 14 𝑎 𝐸 23 106 𝑁𝐶 𝑏 𝑎𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑐 𝐸 45 105 𝑁𝐶 𝑑 𝑎𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 15 𝑎 𝐸 0 b 562 103 𝑁 𝐶 𝑐 𝐸 112 103 𝑁 𝐶 𝑑 𝐸 499 103 𝑁 𝐶 𝑒 𝐸 0 𝑓 𝐸 0 𝑔 𝑞𝑖𝑛𝑡 50 𝑓𝐶 16 𝑎 𝜎 45 107 𝐶𝑚2 𝑏 𝐸 51 104 𝑁𝐶 17 𝑎 𝑞 032 𝜇𝐶 b 𝑞 014 𝜇𝐶 18 𝐸 486 𝑁𝐶 19 𝑎 𝐸 514 103 𝑁𝐶 𝑏 Φ 646 𝑁 𝑚2𝐶 20 𝑞 36 𝑛𝐶 Referências HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Fundamentos de Física vol 3 9ª ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 2015 TIPLER Paul A Física vol 2 6ª ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 2014 BAUER W WESTFALL GD DIAS H Física para Universitários vol 3 1ª ed São Paulo McGrawHill 2012 MACHADO Kleber D Eletromagnetismo vol 1 Ponta Grossa 1ª ed Toda a Palavra 2012