Potencial Elétrico de Distribuição Contínua de Cargas

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ ELETRICIDADE E APLICAÇÕES TURMA PROF ALUNO ATIVIDADES DE ESTUDOS 6 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS 1 Potencial Elétrico Nas atividades de estudo anteriores associamos à uma carga elétrica pontual um campo elétrico gerado por essa carga que se estende radialmente pelo espaço que a circunda O campo elétrico devido à essa carga pontual é dado por 𝐸 𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟2 𝑟 e foi associado à força exercida sobre uma carga teste 𝑞0 que se encontra na região do espaço em que esse campo existe através da relação 𝐸 𝐹 𝑞0 Essa força de interação entre a carga geradora do campo 𝑞 e a carga teste 𝑞0 faz com que elas possam se deslocar no espaço por repulsão ou atração dependendo dos sinais das cargas Como reconhecemos o deslocamento no espaço causado por uma força como trabalho realizado pela força para essa força eletrostática associada ao campo elétrico temos 𝑊 𝑞0 𝐸 𝑑𝑠 Uma vez que trabalho é energia transferida pela força então associamos esse trabalho a uma energia potencial elétrica 𝑈 contida no campo elétrico que é transferida para a carga teste assim que ela entra nesse campo Essa quantidade de energia por unidade de carga denominamos de potencial elétrico 𝑉 tal que 𝑉 𝑈 𝑞 Lembramos que por tratarse de energia por unidade de carga o potencial elétrico é uma grandeza escalar cuja unidade é o 𝑣𝑜𝑙𝑡 𝑉 Para uma carga pontual 𝑞 o potencial elétrico produzido a uma distância 𝑟 da carga pode ser obtido a partir do campo elétrico 𝐸 e é dado por 𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟 Note que para pontos equidistantes da carga o valor do potencial é o mesmo e que juntos esses pontos formam superfícies equipotenciais O sinal de 𝑉 é igual ao sinal de 𝑞 de forma que o potencial gerado por uma carga depende do sinal da carga ou seja uma carga positiva origina um potencial positivo da mesma forma que uma carga negativa origina um potencial negativo Considerando que uma região do espaço possa ser ocupada por mais de uma carga e que cada carga origina um potencial que se estende radialmente em seu entorno então um ponto 𝑃 qualquer nas imediações dessas cargas estará sujeito a todos os potenciais Sendo assim nesse ponto 𝑃 existirá um potencial resultante da soma de todos os potenciais produzidos pelas cargas individualmente o qual pode ser determinado usandose o princípio da superposição Então para um sistema de 𝑛 cargas temos 𝑉 𝑉𝑖 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑖 𝑟𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 𝑖1 em que 𝑞𝑖 é o valor da 𝑖ésima carga situada a uma distância 𝑟𝑖 do ponto 𝑃 considerado Figura 1 Linhas de Campo Elétrico de uma carga pontual positiva azul e seções retas de superfícies equipotenciais vermelho 2 Potencial Elétrico Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas Um objeto carregado de dimensões não desprezíveis pode conter um número muito grande de cargas pontuais distribuídas Essas cargas por possuírem dimensões muito pequenas comparativamente às dimensões do objeto não são mais observadas individualmente Consideramos então que elas se distribuem de maneira contínua sobre o objeto e assim como para o caso do campo elétrico os potenciais elétricos não podem mais ser somados um a um Apesar disso o princípio da superposição ainda é válido e portanto podemos generalizar a equação acima escrevendoa na forma 𝑉 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑟 Nesse caso consideramos que a distribuição de cargas total 𝑞 resulta da soma de muitas pequenas frações de carga 𝑑𝑞 que denominamos elementos de carga Vejam que o potencial elétrico resultante então decorre da soma dos potenciais elétricos produzidos por cada elemento de carga tomando o potencial no infinito como nulo Essa soma é feita através da integração dos elementos de carga e deve ser calculada para toda a distribuição No entanto como podemos observar da equação acima o potencial produzido por um pequeno elemento de carga depende da sua posição em relação a um ponto de interesse qualquer 𝑃 Sendo assim precisamos considerar a geometria da distribuição de cargas na determinação do potencial que ela produz sobre esse ponto Para isso lembramos que quando tratamos de distribuições contínuas de carga mais importante que a carga em si é como ela se distribui sobre o objeto e por isso é mais conveniente expressar a carga total em termos da densidade de carga Considerando as três dimensões espaciais que conhecemos essas cargas podem se distribuir sobre uma linha uma superfície ou sobre um volume de forma que para cada uma dessas distribuições teremos uma densidade correspondente A saber 𝜆 𝑞 𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝜎 𝑞 𝐴 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝜌 𝑞 𝑉 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 Lembremse que consideraremos para todo instante que as distribuições de carga são uniformes e homogêneas Dessa forma as densidades podem ser tratadas como constantes A seguir então discutiremos os casos da distribuição de cargas linear e da distribuição de cargas superficial I Linha de Cargas A figura 2a mostra uma barra fina não condutora de comprimento 𝐿 positivamente carregada A barra tem sua extremidade esquerda posicionada sobre a origem do eixo 𝑥 e produz um potencial elétrico 𝑉 no ponto 𝑃 situado a uma distância perpendicular 𝑑 dessa extremidade Como a carga total 𝑞 distribuise sobre todo o comprimento 𝐿 da barra a distribuição pode ser representada pela sua densidade linear Sendo a densidade constante se dividirmos a barra em pequenas partes iguais Fig 2b que denominamos de elementos de comprimento 𝑑𝑥 então cada elemento desses conterá proporcionalmente uma fração de carga 𝑑𝑞 A carga desse elemento de carga 𝑑𝑞 é dada então por 𝑑𝑞 𝜆𝑑𝑥 e produz um potencial elétrico 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝜆𝑑𝑥 𝑟 Notamos porém que a posição 𝑟 de cada elemento de comprimento 𝑑𝑥 em relação ao ponto 𝑃 é diferente Logo essa posição deverá ser expressa levando em conta que cada elemento 𝑑𝑥 ocupa uma posição 𝑥 diferente sobre o eixo e que o ponto 𝑃 assume uma posição fixa sobre o eixo 𝑦 igual à 𝑑 como mostrado na Fig 2c Sendo assim usando a relação de Pitágoras podemos escrever 𝑟 𝑥2 𝑑2 o que será verdadeiro para qualquer elemento de comprimento 𝑑𝑥 Agora podemos determinar o potencial elétrico no ponto 𝑃 integrando sobre todos os elementos de comprimento ao longo do comprimento da barra desde 𝑥 0 à 𝑥 𝐿 tal que 𝑉 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝜆𝑑𝑥 𝑥2 𝑑2 𝐿 0 Figura 2 a Uma barra fina uniformemente carregada produz um potencial elétrico 𝑉 no ponto 𝑃 bUm elemento de comprimento 𝑑𝑥 carregado com uma carga 𝑑𝑞 c O potencial produzido por 𝑑𝑞 no ponto 𝑃 depende da distância 𝑟 A integração é então conduzida extraindo da integral os termos constantes 𝑉 𝜆 4𝜋𝜀0 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑2 𝐿 0 O cálculo da integral fornece 𝑉 𝜆 4𝜋𝜀0 𝑙𝑛 𝑥 𝑥2 𝑑2 0 𝐿 𝑉 𝜆 4𝜋𝜀0 𝑙𝑛 𝐿 𝐿2 𝑑2 ln 𝑑 Lembrando de propriedades de logaritmos podemos simplificar a equação acima para obter 𝑉 𝜆 4𝜋𝜀0 𝑙𝑛 𝐿 𝐿2 𝑑2 𝑑 Exemplo 1 A Figura mostra uma barra fina de plástico que coincide com o eixo 𝑥 A barra tem um comprimento 𝐿 120 𝑐𝑚 e uma carga positiva uniforme 𝑄 561 𝑓𝐶 uniformemente distribuída Com 𝑉 0 no infinito determine o potencial elétrico no ponto P1 do eixo 𝑥 a uma distância 𝑑 250 𝑐𝑚 de uma das extremidades da barra Resolução Um elemento de carga 𝑑𝑞 contido no elemento infinitesimal 𝑑𝑥 da barra com densidade linear 𝜆 𝑄𝐿 pode ser escrito como 𝑑𝑞 𝜆𝑑𝑥 A distância entre o segmento e o ponto P1 é 𝑟 𝑑 𝑥 𝑥 distância da origem até o elemento de carga e o potencial criado pelo segmento no ponto P1 é 𝑑𝑉 𝑘0𝑑𝑞 𝑟 𝑘0𝜆𝑑𝑥 𝑑 𝑥 Para calcular o potencial no ponto P1 integramos o potencial 𝑑𝑉 para toda a extensão da barra o que nos dá 𝑉 𝑘0𝜆𝑑𝑥 𝑑 𝑥 𝐿 0 𝑘0𝜆 ln𝑑 𝐿 ln𝑑 739 103 𝑉 Atividade 1 Potencial Elétrico de um Anel de Cargas Determine a expressão para o potencial elétrico produzido por um anel isolante de raio 𝑅 no ponto 𝑃 situado a uma distância 𝑧 do centro do anel conforme ilustrado na Figura 3 Considere que o anel possui uma carga total 𝑄 distribuída uniformemente sobre ele a Calcule o potencial 𝑉 se a carga 𝑄 32 𝑝𝐶 𝑅 60 𝑐𝑚 e 𝑧 4 𝑐𝑚 b Calcule o potencial 𝑉 se a carga 𝑄 42 𝑝𝐶 𝑅 60 𝑐𝑚 e 𝑧 4 𝑐𝑚 c Calcule o potencial 𝑉 no centro do anel de raio 𝑅 60 𝑐𝑚 se a carga 𝑄 42 𝑝𝐶 Figura 3 Anel isolante de raio 𝑅 carregado com carga total Q II Disco Carregado A Figura 4 mostra um disco isolante carregado de raio 𝑅 em cujo centro passa um eixo 𝑧 perpendicular ao plano do disco Uma carga 𝑄 uniformemente distribuída sobre o disco produz no ponto P situado a uma distância 𝑧 um potencial elétrico 𝑉𝑧 Para determinar o potencial elétrico em um ponto qualquer sobre o eixo central adotaremos a mesma estratégia utilizada para a determinação do campo elétrico produzido por um disco carregado Assumiremos para tal que o disco é constituído por muitos anéis de carga concêntricos de raio 𝑅 variável mas com largura radial 𝑑𝑅 iguais como ilustrado na figura Se a distribuição de carga sobre o disco é uniforme então a distribuição de carga sobre o disco pode ser caracterizada pela sua densidade superficial 𝜎 Sendo assim cada um dos anéis de área 𝑑𝐴 conterá uma carga 𝑑𝑞 proporcional à sua superfície dada por 𝑑𝑞 𝜎𝑑𝐴 𝜎2𝜋𝑅𝑑𝑅 O potencial produzido no ponto 𝑃 por cada elemento de carga que agora assume a distribuição na forma de anel é então 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝜎2𝜋𝑅𝑑𝑅 𝑟 em que 𝑟 é a distância de cada ponto sobre o anel ao ponto 𝑃 Da Figura 4 no entanto fica claro que essa distância 𝑟 apesar de diferente para cada anel pode ser expressa por 𝑟 𝑧2 𝑅2 se observarmos que 𝑧 e 𝑅 são os catetos do triângulo retângulo cuja hipotenusa é 𝑟 Agora considerando que o potencial elétrico total sobre o ponto 𝑃 devese à contribuição de cada elemento de carga que constitui o disco podemos escrever 𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝜎2𝜋𝑅𝑑𝑅 𝑧2 𝑅2 𝜎 2𝜀0 𝑅 𝑑𝑅 𝑧2 𝑅2 𝑅 0 em que os limites de integração variam de 𝑅 0 à 𝑅 𝑅 Sendo assim o potencial elétrico produzido por um disco de raio 𝑅 em um ponto 𝑃 qualquer sobre um eixo 𝑧 que passa pelo centro do disco é 𝑉 𝜎 2𝜀0 𝑧2 𝑅2 𝑧 3 Potencial de Um Condutor Carregado Ao estudar campos elétricos produzidos por condutor carrega verificouse que dentro do condutor 𝐸 0 e ainda que qualquer carga em excesso colocada em um condutor se acumula na superfície externa mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna Objetivamos verificar então que Uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui na superfície do condutor de tal forma que o potencial é o mesmo em todos os pontos do condutor tanto na superfície como no interior Isto acontece mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna e mesmo que a cavidade interna contenha uma carga elétrica Recordando a equação 35 onde 𝑉𝑓 𝑉𝑖 𝐸 𝑓 𝑖 𝑑𝑠 Como 𝐸 0 em todos os pontos no interior de um condutor 𝑉𝑖 𝑉𝑓 para qualquer par de pontos 𝑖 e 𝑗 no interior do condutor A Figura 5a mostra um gráfico do potencial elétrico em função da distância 𝑟 do centro de uma casca esférica condutora com 10 m de raio e uma carga de 10 μC Para pontos do lado de fora da casca podemos calcular 𝑉𝑟 usando a equação 36 𝑉 1 4𝜋Ɛ0 𝑞 𝑟 já que a carga 𝑞 se comporta para os pontos externos como se estivesse concentrada no centro da casca Essa equação é válida até a superfície da casca Suponha agora que uma carga de prova seja introduzida na casca através de um pequeno furo e deslocada até o centro da casca Não é necessário nenhum trabalho para realizar o deslocamento uma vez que a força eletrostática é nula em todos os pontos do lado de dentro da casca e portanto o potencial Figura 4 Um disco isolante de raio 𝑅 com uma densidade de cargas uniforme 𝜎 na superfície superior que produz um campo elétrico sobre o ponto 𝑃 posicionado à distância 𝑧 do centro do disco Figura 5 a Gráfico de 𝑉𝑟 para pontos no interior e no exterior de uma casca esférica com 10 m de raio b Gráfico de 𝐸𝑟 para a mesma casca em todos os pontos do lado de dentro da casca é igual ao potencial na superfície da casca como na Fig 5a A Figura 5b mostra a variação do campo elétrico com a distância radial para a mesma casca Observe que 𝐸 0 em todos os pontos situados no interior da casca Segundo a equação 310 𝐸𝑠 𝑉 𝑠 o gráfico da Fig 5b pode ser obtido a partir do gráfico da Fig 5a derivando o gráfico da em relação a 𝑟 lembrese de que a derivada de uma constante é zero De forma análoga o gráfico da figura a pode ser obtido a partir do gráfico Fig 5b integrando o gráfico em relação a 𝑟 4 Centelhamento de um Condutor Carregado Nos condutores não esféricos uma carga superficial não se distribui uniformemente na superfície do condutor Em vértices e arestas a densidade de cargas superficiais e portanto o campo elétrico externo que é proporcional à densidade de cargas superficiais pode atingir valores muito elevados Nas vizinhanças desses vértices e arestas o ar pode se ionizar produzindo as centelhas quando o céu está carregado As centelhas como o cabelo em pé podem ser um sinal de que um relâmpago está para acontecer Nessas circunstâncias é mais prudente abrigarse no interior de uma casca condutora local onde o campo elétrico com certeza é zero Um carro a menos que se trate de um modelo conversível ou com carroceria de plástico constitui uma proteção quase ideal 5 Condutor em um Campo Elétrico Externo Se um objeto feito de um material condutor é submetido a um campo elétrico externo como na Figura 7 o potencial continua a ser igual em todos os pontos do objeto Os elétrons de condução se distribuem na superfície de tal forma que o campo elétrico que eles produzem no interior do objeto cancela o campo elétrico externo Além disso a distribuição de elétrons faz com que o campo elétrico total seja perpendicular à superfície em todos os pontos da superfície Se houvesse um meio de remover o condutor da figura ao lado deixando as cargas superficiais no lugar a configuração de campo elétrico permaneceria exatamente a mesma tanto para os pontos externos como para os pontos internos Figura 6 Uma forte descarga elétrica atinge um automóvel e chaga á terra através de uma centelha que parte da calota do pneu dianteiro esquerdo observe o clarão sem fazer mal ao motorista Figura 7 Um condutor descarregado submetido a um campo elétrico externo Os elétrons livres do condutor se distribuem na superfície de tal forma que o campo elétrico no interior do objeto é nulo e o campo elétrico na superfície é perpendicular à superfície OBS Todas as figuras foram extraídas do HALLIDAY David Fundamentos de Física vol 3 Eletromagnetismo 10ª ed São Paulo LTC 2016 Questões RA 2 1 O potencial elétrico é o mesmo em todos os pontos na superfície de um condutor Isto significa que a densidade superficial de carga é também a mesma em todos os pontos da superfície Justifique sua resposta 2 Três esferas de metal carregadas com raios diferentes estão conectadas por um fio fino metálico O potencial elétrico e o correspondente campo elétrico na superfície de cada esfera são respectivamente V e E Qual das seguintes alternativas é verdadeira 3 Na figura a qual é o potencial no ponto P devido à carga Q situada a uma distância R de P Considere V 0 no infinito b Na figura b a mesma carga Q foi distribuída uniformemente em um arco de circunferência de raio R e ângulo central 40o Qual é o potencial no ponto P o centro de curvatura do arco c Na figura c a mesma carga Q foi distribuída uniformemente em uma circunferência de raio R Qual é o potencial no ponto P o centro da circunferência d Coloque as três situações na ordem decrescente do módulo do campo elétrico no ponto P 4 A figura mostra uma barra fina com uma distribuição de carga uniforme e três pontos situados à mesma distância d da barra Coloque os pontos na ordem decrescente do módulo do potencial elétrico produzido pela barra em cada ponto Problemas Introdutórios 1 Uma carga de 100µC está uniformemente distribuída em uma fina casca esférica de raio 120 cm Considere que o potencial seja zero bem distante das cargas a Qual é a magnitude do campo elétrico próximo ao lado de fora e ao lado de dentro da casca b Qual é a magnitude do potencial elétrico próximo ao lado de fora e ao lado de dentro da casca c Qual é o potencial elétrico no centro da casca d Qual é o módulo do campo elétrico no centro da casca 2 Uma linha infinita de cargas com densidade linear 150µCm está no eixo z Determine o potencial elétrico nas seguintes distâncias da linha de carga a 200 m b 400 m e c 120 m Considere que escolhemos V 0 a uma distância de 250 m da linha de carga 3 Uma gota esférica de água transportando uma carga de 30 pC tem um potencial de 500 V em sua superfície com V 0 no infinito a Qual é o raio da gota b se duas gotas iguais a esta com a mesma carga e o mesmo raio juntarem para constituir uma única gota esférica qual será o potencial na superfície da nova gota 4 Uma moeda de 175 mm de diâmetro é carregada com 500 nC a Qual é o potencial sobre a moeda b Qual é a energia potencial de um elétron posicionado 100 cm acima da moeda 5 Qual é a carga em excesso de uma esfera condutora de raio r 015 m se o potencial da esfera é 1500 V e V 0 no infinito Problemas Específicos 6 Dois condutores esféricos descarregados de raios R1 60 cm e R2 20 cm figura separados por uma distância muito maior que 60 cm estão conectados por um longo fio condutor muito fino Uma carga total Q 80 nC é colocada em uma das esferas e é permitido que o sistema atinja o equilíbrio eletrostático a Qual é a carga em cada esfera b Qual é o módulo do campo elétrico na superfície de cada esfera c Qual é o potencial elétrico em cada esfera Considere que a carga no fio conector é desprezível 7 O potencial elétrico imediatamente fora de uma esfera condutora carregada é de 200 V e a 100 cm do centro da esfera o potencial é de 150 V Determine a o raio da esfera e b sua carga O potencial elétrico imediatamente fora de outra esfera condutora carregada é de 210 V e a 100 cm do centro o módulo do campo elétrico é de 400 Vm Determine c o raio da esfera e d sua carga e As respostas das partes c e d são únicas 8 A figura mostra uma barra não condutora de comprimento L 600 cm e densidade linear de cargas positivas uniforme λ 368 pCm Considere V 0 no infinito a Qual o valor de V no ponto P situado a uma distância d 800 cm acima do ponto médio da barra na figura a b Qual o valor de V no ponto P situado a uma distância d 800 cm acima do ponto médio da barra na figura b idêntica a a exceto pelo fato que a metade direita é carregada negativamente com mesmo valor absoluto de densidade de carga 9 Na figura ao lado uma barra de plástico com uma carga uniformemente distribuída Q 256 pC tem a forma de um arco de circunferência de raio R 371 cm e o ângulo central 𝜙 120o Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico no ponto P o centro de curvatura da barra 10 Uma barra de plástico tem a foram de uma circunferência de raio R 820 cm A barra possui uma carga Q1 420 pC uniformemente distribuída ao longo de um quarto de circunferência e uma carga e Q2 6Q1 distribuída uniformemente ao longo do resto da circunferência Com V 0 no infinito determine o potencial no centro C da circunferência e no ponto P que está no eixo central a uma distância D 671 cm do centro 11 Na figura três barras finas de plástico tem a forma de quadrantes de circunferência com o mesmo centro de curvatura situado na origem As cargas uniformes da barra são Q1 300 nC Q2 3Q1 e Q3 8Q1 Determine o potencial elétrico na origem 12 A figura mostra uma barra fina com uma densidade de carga uniforme de 200 μCm Determine o potencial elétrico no ponto P se d D L400 Suponha que o potencial é zero no infinito 13 Na figura determine o potencial elétrico produzido na origem por um arco de circunferência de carga Q1 721 pC e duas partículas de cargas Q2 400Q1 e Q3 200Q1 O centro de curvatura do arco está na origem o raio do arco é R 200 m e o ângulo indicado é θ 200o 14 Uma placa isolante infinita possui uma densidade superficial de carga σ 580 pCm2 a Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico produzido pela placa se uma partícula de carga q 160 1019 C é deslocada da superfície da placa para um ponto P situado a uma distância d 356 cm da superfície da placa b Se o potencial elétrico V é definido como zero na superfície da placa qual é o valor de V no ponto P Problemas Aplicados 15 Se a Terra tivesse uma densidade superficial de carga de 10 elétronm2 uma hipótese pouco realista qual seria o potencial da superfície terrestre Tome V 0 no infinito Determine b o módulo e c o sentido para cima ou para baixo do campo elétrico nas vizinhanças da superfície terrestre 16 O mistério do chocolate em pó Explosões provocadas por descargas elétricas centelhas constituem um sério perigo nas indústrias que lidam com pós muito finos Uma dessas explosões aconteceu em uma fábrica de biscoitos na década de 1970 Os operários costumavam esvaziar os sacos de chocolate em pó que chegavam à fábrica em uma bandeja da qual o material era transportado por canos de plástico até o silo onde era armazenado No meio do percurso duas condições para que uma explosão ocorresse foram satisfeitas 1 o módulo do campo elétrico ultrapassou 30 106 NC produzindo uma ruptura dielétrica do ar 2 a energia da centelha resultante ultrapassou 150 mJ fazendo com que o pó explodisse Vamos discutir a primeira condição Suponha que um pó carregado negativamente esteja passando por um cano cilíndrico de plástico de raio R 50 cm e que as cargas associadas ao pó estejam distribuídas uniformemente com uma densidade volumétrica ρ a Usando a lei de Gauss escreva uma expressão para o módulo do campo elétrico 𝐸 no interior do cano em função da distância r do eixo do cano b O valor de E aumenta ou diminui quando r aumenta c O campo 𝐸 aponta para o eixo do cilindro ou para longe do eixo d Para ρ 11 103 Cm3 um valor típico determine o valor máximo de E e a que distância do eixo do cano esse campo máximo ocorre e O campo pode produzir uma centelha Onde f A partir da resposta do item a determine uma expressão para o potencial elétrico em função da distância r do eixo do cano O potencial é zero na parede do cano que está ligado à terra g Para uma densidade volumétrica de carga típica ρ 11 103 Cm3 qual é a diferença de potencial elétrico entre o eixo do cano e a parede interna 17 Um avião pode acumular carga elétrica durante o voo Você ja deve ter notado as extensões de metal em forma de agulha nas pontas das asas e na cauda de uma aeronave Seu objetivo é permitir que a carga saia antes que o acúmulo alcance um nível excessivo O campo elétrico em torno da agulha é muito maior que aquele em torno da fuselagem do avião e pode se tornar grande o suficiente para produzir a ruptura dielétrica do ar descarregando a aeronave Para modelar este processo suponha que dois condutores esféricos carregados estejam conectados por um fio condutor longo e uma carga de 120 µC esteja posicionada no arranjo Uma esfera representando a fuselagem do avião tem um raio de 600 cm A outra representando a ponta da agulha tem um raio de 200 cm a Qual é o potencial elétrico de cada esfera b Qual é o campo elétrico na superfície de cada esfera Respostas dos Problemas 1 a 624MVm b 749kVc 749kVd 0 2 a 602kV b 127kV c 423kV 3 a 54104m b 79412V 4 a 103kV b 6191016J 5 25108C 6 a 20nC e 60nC b 150kNC e 450kNC c 9kV 7 a 300 cm b 667 nC c 291 cm ou 344 cm d 679 nC ou 804 pC e Não ha duas respostas para cada parte 8 243 mV zero 9 V 620 V 10 230 V 178 V 11 135 kV 12 218 x 104V 13 324 mV 14 187 x 1021J 00117 V 15 012 V 18 x 108NC 16 a E ρ r 2ε0 b aumenta c o campo aponta para o eixo do cilindro d 31 x 106 NC e Sim nas proximidades da superfície interna do cano f E ρ R2 r2 4ε0 g 78 kV 17 a 135 105 V b esfera maior 225106 Vm em direção contrária ao centro esfera menor 674106 Vm em direção contrária ao centro Referências HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Fundamentos de Física vol 3 9ª ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 2015 TIPLER Paul A Física vol 2 6ª ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 2014 BAUER W WESTFALL GD DIAS H Física para Universitários vol 3 1ª ed São Paulo McGrawHill 2012 MACHADO Kleber D Eletromagnetismo vol 1 Ponta Grossa 1ª ed Toda a Palavra 2012