Campo Elétrico de Cargas Puntiformes - Atividade de Estudo

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ ELETRICIDADE E APLICAÇÕES TURMA PROF ALUNO ATIVIDADE DE ESTUDO 2 CAMPO ELÉTRICO DE CARGAS PUNTIFORMES 1 Introdução Sabese que a presença de uma massa modifica a região do espaço que a envolve gerando o que se chama de campo gravitacional Se outra massa for inserida nessa região essa sofrerá a ação de uma força gravitacional O mesmo ocorre com uma partícula eletrizada Uma carga elétrica q cria ao seu redor uma região onde ela exerce influência Essa região é denominada Campo Elétrico O campo elétrico consiste em uma distribuição de vetores campo elétrico 𝐸 um para cada ponto de uma região em torno de um objeto eletricamente carregado É este campo elétrico que atua sobre qualquer carga elétrica qo contida nessa região permitindo que exista uma força elétrica atuando em qo Diferentemente do campo gravitacional citado acima em que a força entre a massa geradora do campo gravitacional e a massa inserida nesse campo é sempre atrativa no campo elétrico a força gerada em qo pode ser atrativa ou repulsiva dependendo do sinal da carga qo 2 Intensidade do Campo Elétrico Considere um ponto 𝑷 qualquer do espaço onde exista um campo elétrico 𝐸 Se colocarmos nesse ponto 𝑷 uma pequena carga positiva q0 que chamamos de carga de prova sobre ela atuará uma força 𝐹 A relação entre o campo elétrico e a força que atua sobre a carga q0 é dada por 𝑬 𝑭 𝒒𝟎 eq 21 A unidade de campo elétrico no SI é NewtonCoulomb NC A partir da eq 21 podemos escrever a força elétrica atuante na partícula como 𝑭 𝒒𝟎𝑬 eq 22 Observação a A expressão 𝐹 𝑞0𝐸 mostra que os vetores 𝐹 e 𝐸 tem a mesma direção Observase que Se q0 0 então 𝐹 e 𝐸 possuem mesmo sentido Se q0 0 então 𝐹 e 𝐸 possuem sentidos contrário Figura 2 Carga elétrica sujeita à força elétrica 𝐹 devido à presença do campo elétrico 𝐸 Figura 1 Analogia entre Campo Gravitacional e Campo Elétrico b Podemos posicionar a carga de prova em vários pontos para medir o campo elétrico nesses pontos e assim levantar a distribuição de campo elétrico nas vizinhanças do objeto carregado Esse campo existe independentemente da carga de prova é algo que um objeto carregado cria no espaço em seu entorno ainda que o espaço que o cerca esteja vazio mesmo que não haja ninguém para medilo Na sequência vamos calcular o campo elétrico que existe nas vizinhanças de partículas e de objetos de várias formas geométricas Antes porém vamos discutir uma forma de visualizar os campos elétricos 3 Linhas de Campo Elétrico As linhas de campo permitem que seja possível de maneira esquemática visualizar como o campo elétrico em torno de uma carga se configura A variação em orientação e em intensidade do campo elétrico pode ser visualizada por meio de linhas de campo elétrico São linhas que dão a direção do campo elétrico numa determinada região O vetor campo elétrico e o vetor força elétrica com que o campo atua sobre uma carga colocada nesse campo são sempre tangentes às linhas de campo observe a figura 3 Podese observar que em relação às linhas de campo A intensidade do campo está relacionada com a distância entre as linhas de campo ou seja em um ponto em que as linhas estejam próximas o campo elétrico é mais intenso que em outro ponto no qual as linhas de força estejam mais afastadas As linhas de campo elétrico se afastam das cargas positivas onde começam e se aproximam das cargas negativas onde terminam O número de linhas que saem ou entram em uma carga é proporcional ao valor da carga A representação do vetor campo elétrico será sempre tangente à linha de campo no ponto considerado Exemplos de distribuições de linhas de campo de alguns arranjos de cargas 4 Campo elétrico gerado por uma carga puntiforme 𝒒 Usando a lei de Coulomb podese obter a expressão do campo elétrico gerado por uma carga puntiforme Seja a carga puntiforme positiva q geradora do campo e uma carga q0 positiva situada num ponto P a uma distância r da carga q o vetor campo elétrico é dado por 𝐸 𝑘𝑞 𝑟2 𝑟 eq 23 Lembrando que k 1 4𝜋Ɛ0 o módulo de 𝐸 pode ser calculado por 𝐸 1 4𝜋Ɛ0 𝑞 𝑟2 eq 24 Figura 3 Representação de linhas de campo a Partícula com carga positiva b Partícula com carga negativa c Dipolo elétrico d Duas partículas com mesma carga positiva e Duas partículas com cargas 2q e q f Disco com carga uniforme Para calcular o campo elétrico total produzido em um ponto por duas ou mais cargas pontuais utilizase o mesmo princípio de superposição aplicado para o cálculo da força resultante 𝐸 𝑇 𝐸 1 𝐸 2 𝐸 𝑛 eq 25 Exemplo resolvido Três partículas de cargas q1 2Q q2 2Q e q3 4Q dispostas conforme mostrado na figura 4 estão situadas a uma distância d da origem Determine o campo elétrico total produzido na origem pelas três partículas Primeiramente determinamos o módulo de 𝐸 1 o campo produzido por q1 utilizando a relação para cargas pontuais 𝐸 1 4𝜋Ɛ0 𝑞 𝑟2 𝐸1 1 4𝜋Ɛ0 2𝑄 𝑑2 Procedendo de modo análogo obtemos os módulos dos campos 𝐸 2 e 𝐸 3 𝐸2 1 4𝜋Ɛ0 2𝑄 𝑑2 𝐸3 1 4𝜋Ɛ0 4𝑄 𝑑2 Como q2 e q3 são negativas elas geram um campo elétrico que chega às respectivas cargas como q1 é positiva ela gera um campo elétrico que parte dela Podese agora escrever os vetores individualmente para posteriormente somálos utilizando o princípio da superposição Os vetores campo elétrico 𝐸 1 e 𝐸 2 se encontram no quarto quadrante e são idênticos já que possuem mesmo módulo direção e sentido O vetor 𝐸 3 encontrase no primeiro quadrante do sistema representado 𝐸 1 1 4𝜋Ɛ0 2𝑄 𝑑2 𝑐𝑜𝑠 330𝑜 𝑖 1 4𝜋Ɛ0 2𝑄 𝑑2 𝑠𝑒𝑛 330𝑜 𝑗 𝐸 2 1 4𝜋Ɛ0 2𝑄 𝑑2 𝑐𝑜𝑠 330𝑜 𝑖 1 4𝜋Ɛ0 2𝑄 𝑑2 𝑠𝑒𝑛 330𝑜 𝑗 𝐸 3 1 4𝜋Ɛ0 4𝑄 𝑑2 𝑐𝑜𝑠 30𝑜 𝑖 1 4𝜋Ɛ0 4𝑄 𝑑2 𝑠𝑒𝑛 30𝑜 𝑗 O campo resultante é a soma dos campos 𝐸 1 𝐸 2 𝑒 𝐸 3 𝐸 𝑅 𝐸 1 𝐸 2 𝐸 3 𝐸 693 4𝜋Ɛ0 𝑄 𝑑2 𝑖 N 5 O Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico A figura 6 mostra as linhas de campo elétrico produzidas por duas partículas carregadas de módulo 𝑞 e sinais opostos separadas por uma distância 𝑑 um arranjo muito comum e muito importante conhecido como dipolo elétrico A reta que passa pelas duas cargas é chamada de eixo do dipolo e constitui um eixo de simetria em torno do qual se pode fazer girar o padrão da figura 6 para obter uma imagem tridimensional do campo elétrico criado pelo dipolo Vamos chamar de eixo 𝑧 o eixo do dipolo e restringir nossa discussão ao campo elétrico 𝐸 em pontos sobre o eixo do dipolo conforme ilustrado na figura 7 a seguir Figura 6 Campo produzido por um dipolo elétrico Fonte HALLIDAY RESNICK e WALKER 2016 Figura 4 Representação das cargas em suas posições Fonte HALLIDAY RESNICK e WALKER 2016 Figura 5 Representação dos vetores campo elétrico Fonte HALLIDAY RESNICK e WALKER 2016 Na figura 7 podemos ver de forma simplificada o campo elétrico gerado em um ponto P situado sobre o eixo z pelo dipolo formado por duas cargas de mesmo módulo e sinais contrários separadas por uma distância d O ponto P localizase a uma distância z do centro do dipolo sobre a reta que liga as duas partículas conhecida como eixo do dipolo Figura 7 a Um dipolo elétrico Os vetores campo elétrico 𝐸 e 𝐸 no ponto P do eixo do dipolo são produzidos pelas duas cargas do dipolo As distâncias entre o ponto P e as duas cargas que formam o dipolo são r e r b O momento dipolar 𝑝 do dipolo aponta da carga negativa para a carga positiva Fonte HALLIDAY RESNICK e WALKER 2016 A figura 7 mostra os campos elétricos criados em um ponto P pelas duas partículas A partícula mais próxima de carga q produz um campo 𝐸 de módulo E no sentido positivo do eixo z para longe da partícula A partícula mais distante de carga q produz um campo 𝐸 de módulo E no sentido negativo do eixo z para perto da partícula Estamos interessados em calcular o campo total 𝐸 𝑇 no ponto P o que pode ser feito aplicando o princípio da superposição dado pela eq 25 𝐸 𝑇 𝐸 𝐸 Da figura 7 observase que o vetor campo elétrico resultante no ponto P deve estar sobre o eixo do dipolo Sendo assim o módulo do campo elétrico pode ser obtido fazendose a diferença entre os módulos dos vetores tal que ET E E 𝐸 1 4𝜋Ɛ0 𝑞 𝑟 2 1 4𝜋Ɛ0 𝑞 𝑟 2 𝐸 1 4𝜋Ɛ0 𝑞 𝑧1 2𝑑 2 1 4𝜋Ɛ0 𝑞 𝑧1 2𝑑 2 O desenvolvimento dessa relação nos leva à equação 26 abaixo que permite a determinação do módulo do campo elétrico originado pelo dipolo elétrico no ponto P 𝐸 1 2𝜋Ɛ0 𝑞𝑑 𝑧3 eq 26 O produto qd que envolve os dois parâmetros carga q e distância entre cargas d que definem o dipolo é o módulo p de uma grandeza conhecida como momento dipolar elétrico 𝑝 do dipolo a unidade de 𝑝 é o Coulombmetro Assim podemos escrever a eq 26 na forma vetorial 𝐸 1 2𝜋Ɛ0 𝑝 𝑧3 eq 27 Aplique seu conhecimento I Uma carga positiva 𝑞1 80 µ𝐶 é posicionada na origem do sistema de coordenadas mostrado na figura ao lado Uma segunda carga 𝑞2 120 µ𝐶 é colocada sobre o eixo 𝑥 em 𝑎 40 𝑚 Calcule o campo elétrico resultante a no ponto 𝑃1 em 𝑥 70 𝑚 b no ponto 𝑃2 em 𝑥 30 𝑚 II Considerando ainda as duas cargas da distribuição anterior determine o campo elétrico sobre o eixo 𝑦 em 𝑦 3 𝑚 do sistema mostrado na figura ao lado QUESTÕES RA2 1 A Figura ao lado mostra dois conjuntos de partículas carregadas em forma de quadrado Os lados dos quadrados cujo centro é o ponto 𝑃 não são paralelos A distância entre as partículas situadas no mesmo quadrado é 𝑑 ou 𝑑2 Determine o módulo e a direção do campo elétrico total no ponto 𝑃 2 Na figura mostrada ao lado duas partículas de carga 𝑞 estão dispostas simetricamente em relação ao eixo 𝑦 e produzem campos elétricos em um ponto 𝑃 situado no mesmo eixo a Os módulos dos dois campos no ponto 𝑃 são iguais b Os campos apontam na direção das cargas ou para longe das cargas c O módulo do campo elétrico total no ponto 𝑃 é igual à soma dos módulos 𝐸 dos campos elétricos produzidos pelas duas cargas ou seja é igual a 2𝐸 d As componentes 𝑥 dos campos produzidos pelas duas cargas se somam ou se cancelam e As componentes 𝑦 se somam ou se cancelam f A direção do campo total no ponto 𝑃 é a das componentes que se somam ou a das componentes que se cancelam g Qual é a direção do campo total 3 Na figura ao lado são mostradas duas partículas carregadas mantidas fixas em um eixo a Em que ponto do eixo além do infinito o campo elétrico é zero à esquerda das cargas entre as cargas ou à direita das cargas b Existe algum ponto fora do eixo além do infinito em que o campo elétrico seja zero 4 A Fig abaixo mostra cinco prótons que são lançados em uma região onde existe um campo elétrico uniforme o módulo e a orientação da velocidade dos prótons estão indicados Coloque em ordem decrescente os prótons de acordo com o módulo da aceleração produzida pelo campo elétrico 5 Uma carga negativa q e posicionada em um campo elétrico não uniforme como mostra a figura Qual e a direção da forca elétrica nessa carga negativa PROBLEMAS INTRODUTÓRIOS RA1 1 Na figura as linhas de campo elétrico do lado esquerdo têm uma separação duas vezes maior que as linhas do lado direito a Se o módulo do campo elétrico no ponto 𝐴 é 40 𝑁𝐶 qual é o módulo da força a que é submetido um próton no ponto 𝐴 b Qual é o módulo do campo elétrico no ponto 𝐵 2 Duas partículas são mantidas fixas no eixo x a partícula 1 de carga 200 10 7 𝐶 no ponto 𝑥 600 𝑐𝑚 e a partícula 2 de carga 200 10 7 𝐶 no ponto 𝑥 210 𝑐𝑚 Qual é o campo elétrico total a meio caminho entre as partículas na notação dos vetores unitários 3 Qual é o valor absoluto de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50 𝑐𝑚 de distância tem um módulo de 20 𝑁𝐶 4 Na figura abaixo as quatro partículas formam um quadrado de lado 𝑎 500 𝑐𝑚 e têm cargas 𝑞1 100 𝑛𝐶 𝑞2 200 𝑛𝐶 𝑞3 200 𝑛𝐶 e 𝑞4 100 𝑛𝐶 Qual é o campo elétrico no centro do quadrado na notação dos vetores unitários 5 Duas partículas são mantidas fixas no eixo x a partícula 1 de carga 𝑞1 21 108 𝐶 no ponto 𝑥 20 𝑐𝑚 e a partícula 2 de carga 𝑞2 400𝑞1 no ponto 𝑥 70 𝑐𝑚 Em que ponto do eixo 𝑥 o campo elétrico total é nulo 6 Em uma aula de laboratório de Física para estudar propriedades de cargas elétricas foi realizado um experimento em que pequenas esferas eletrizadas são injetadas na parte superior de uma câmara em vácuo onde há um campo elétrico uniforme na mesma direção e sentido da aceleração local da gravidade Observouse que com campo elétrico de módulo igual a 2x103 Vm uma das esferas de massa 32x1015 kg permanecia com velocidade constante no interior da câmara Essa esfera tem a o mesmo número de elétrons e de prótons b 100 elétrons a mais que prótons c 100 elétrons a menos que prótons d 2000 elétrons a mais que prótons e 2000 elétrons a menos que prótons Apresente seus cálculos PROBLEMAS ESPECÍFICOS RA1 7 Quatro partículas mostradas na figura abaixo são mantidas fixas e têm cargas 𝑞1 𝑞2 5𝑒 𝑞 3𝑒 e 𝑞 12𝑒 A distância 𝑑 50 𝜇𝑚 Qual é o módulo do campo elétrico no ponto 𝑃 8 A figura ao lado mostra duas partículas carregadas mantidas fixas no eixo 𝑥 𝑞 320 1019 𝐶 no ponto 𝑥 300 𝑚 e 𝑞 320 1019 𝐶 no ponto 𝑥 300 𝑚 Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no ponto 𝑃 para o qual 𝑦 400 𝑚 9 A Fig a mostra duas partículas carregadas mantidas fixas no eixo a uma distância 𝐿 uma da outra A razão 𝑞1𝑞2 entre os valores absolutos das cargas das duas partículas é 400 A Fig b mostra 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑥 a componente 𝑥 do campo elétrico total em função de 𝑥 para a região à direita da partícula 2 A escala do eixo x é definida por 𝑥𝑠 300 𝑐𝑚 a Para qual valor de 𝑥 0 o valor de 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑥 é máximo b Se a carga da partícula 2 é 𝑞2 3𝑒 qual é o valor do campo máximo 10 Na figura a partícula 1 de carga 𝑞1 500𝑞 e a partícula 2 de carga 𝑞2 200𝑞 são mantidas fixas no eixo 𝑥 Em que ponto do eixo em termos da distância 𝐿 o campo elétrico total é nulo 11 Na figura abaixo as três partículas são mantidas fixas no lugar e têm cargas 𝑞1 𝑞2 𝑒 e 𝑞3 2𝑒 A distância 𝑎 600 𝜇𝑚 Determine a o módulo e b a direção do campo elétrico no ponto 𝑃 12 a Qual é o módulo da aceleração de um elétron submetido a um campo elétrico uniforme de 140 106 𝑁𝐶 b Quanto tempo o elétron leva partindo do repouso para atingir um décimo da velocidade da luz c Que distância o elétron percorre nesse período de tempo 13 Na figura oito partículas estão no perímetro de um quadrado de lado 𝑑 20 𝑐𝑚 As cargas das partículas são 𝑞1 3𝑒 𝑞2 𝑒 𝑞3 5𝑒 𝑞4 2𝑒 𝑞5 3𝑒 𝑞6 𝑒 𝑞7 5𝑒 e 𝑞8 𝑒 Na notação dos vetores unitários qual é o campo elétrico produzido pelas partículas no centro do quadrado 14 Duas partículas ambas com uma carga de valor absoluto 12 𝑛𝐶 ocupam dois vértices de um triângulo equilátero com 20 𝑚 de lado Determine o módulo do campo elétrico no terceiro vértice a se as duas cargas forem positivas e b se uma das cargas for positiva e a outra for negativa 15 Um elétron entra na região de um campo elétrico uniforme como demonstrado na Figura ao lado com vi 300 x106 ms e campo elétrico dado por E 200 NC O comprimento horizontal dos planos é d 0100 m a Encontre a aceleração do elétron enquanto o mesmo se encontra no campo elétrico b Assumindo que o elétron entra no campo no tempo t 0 encontre o tempo no qual este deixa o campo 16 Uma partícula de carga 𝑞1 é mantida fixa na origem do eixo 𝑥 a Em que ponto do eixo x deve ser colocada uma partícula de carga 4𝑞1 para que o campo elétrico seja zero no ponto 𝑥 20 𝑚𝑚 b Se uma partícula de carga 4𝑞1 é colocada no ponto determinado no item a qual é a orientação em relação ao semieixo 𝑥 positivo do campo elétrico no ponto 𝑥 20 𝑚𝑚 17 A figura abaixo mostra um dipolo elétrico Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo 𝑥 positivo do campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto 𝑃 situado a uma distância 𝑟 𝑑 APLICAÇÕES RA1RA2 18 Um elétron dentro de um tubo de TV sofre a ação de uma força de 89 1014 𝑁 direcionada para a tela do tubo Qual é o módulo e a direção do campo elétrico que produz essa força 19 Um elétron que tem uma energia cinética igual à 200 1016 𝐽 se move para a direita ao longo do eixo de um tubo de raios catódicos como mostra a figura Um campo elétrico 𝐸 200 104 𝑁𝐶𝑗 existe na região entre as placas de deflexão e fora desta região o campo elétrico é nulo 𝐸 0 a A que distância está o elétron do eixo do tubo quando ele sai da região entre as placas b Em que ângulo o elétron está se movendo em relação ao eixo depois de sair da região entre as placas c Que distância do eixo o elétron colidirá com a tela fluorescente 20 Durante o experimento de Millikan usado para determinar a carga do elétron uma microesfera de poliestireno carregada é liberada em ar parado na presença de um campo elétrico vertical conhecido A microesfera carregada será acelerada na direção da força resultante até atingir a velocidade terminal A carga na microesfera é determinada medindose a velocidade terminal Durante um desses experimentos a microesfera tem raio 𝑟 550 107 𝑚 e o campo elétrico tem módulo 𝐸 600 106 𝑁𝐶 O módulo da força de arreste na esfera é dado por 𝐹𝐴 6𝜋𝜂𝑟𝑣 onde 𝑣 é a rapidez da esfera e 𝜂 é a viscosidade do ar 𝜂 180 105 𝑁 𝑠 𝑚2 A massa da específica do poliestireno é 105 103𝑘𝑔𝑚3 a Se o campo elétrico aponta para baixo e a microesfera de poliestireno está subindo com uma velocidade terminal de 116 104 𝑚𝑠 qual é a carga da esfera b Quantos elétrons em excesso estão na esfera c Se o sentido do campo elétrico for invertido mas seu módulo permanecer o mesmo qual será a nova velocidade terminal 21 A necessidade de impressoras mais rápidas e de alta resolução levou os fabricantes a procurarem alternativas para a impressão por impacto usada nas antigas máquinas de escrever Uma das soluções encontradas foi o emprego de campos elétricos para controlar o movimento de pequenas gotas de tinta Alguns modelos de impressoras de jato de tinta utilizam esse sistema A figura mostra uma gota de tinta negativamente carregada que se move entre duas placas defletoras de uma impressora eletrostática de jato de tinta usadas para criar um campo elétrico uniforme dirigido para baixo de módulo 14 106 𝑁𝐶 A gota de tinta com massa 𝑚 de 13 1010 𝑘𝑔 e carga de valor absoluto 𝑄 15 1013 𝐶 penetra na região entre as placas movendose inicialmente na direção do eixo 𝑥 positivo com uma velocidade 𝑣 18 𝑚𝑠 O comprimento 𝐿 de cada placa é 16 𝑐𝑚 As placas estão carregadas e portanto produzem um campo elétrico em todos os pontos da região entre elas Qual é a deflexão vertical da gota ao deixar a região entre as placas A força gravitacional é pequena em comparação com a força eletrostática e pode ser desprezada Referências HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Fundamentos de Física vol 3 9ª ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 2015 TIPLER Paul A Física Vol 2 6ª ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 2014 BAUER W WESTFALL GD DIAS H Física para Universitários vol 3 1ª ed São Paulo McGrawHill 2012 MACHADO Kleber D Eletromagnetismo vol 1 Ponta Grossa 1ª ed Toda a Palavra 2012 Gabarito 1 a 𝐹 64 1018 𝑁 𝐸𝐵 20 𝑁 𝐶 2 𝐸 𝑡𝑜𝑡 639 105 𝑁𝐶𝑖 3 𝑞 56 𝑝𝐶 4 𝐸 102 105 𝑁𝐶𝑗 5 𝑥 30 𝑐𝑚 6 c 7 𝐸 𝑡𝑜𝑡 0 8 a 𝐸𝑡𝑜𝑡 138 1010 𝑁 𝐶 b 𝜃 180 9 a 𝑥 34 𝑐𝑚 b 𝐸𝑡𝑜𝑡 22 108 𝑁 𝐶 10 a 𝑥 272𝐿 11 a 𝐸𝑡𝑜𝑡 160 𝑁 𝐶 b 𝜃 45 12 a 𝑎 26 1017 𝑚 𝑠2 b 𝑡 122 1010 𝑠 c 𝑥 183 103 𝑚 13 𝐸 108 105 𝑁 𝐶 𝑖 14 a 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑦 47 𝑁 𝐶 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑥 27 𝑁 𝐶 15a 𝑎𝑦 351 1013 𝑚 𝑠2 b 𝑡 333 108 𝑠 16 a 𝑥 60 𝑚𝑚 b 𝜃 180 17 a 𝐸𝑡𝑜𝑡 𝑞𝑑 4𝜋𝜀0𝑟3 b 𝜃 90 18 𝐸 56 105 𝑁𝐶𝑖 19 a 𝑦 640 𝑚𝑚 b 𝜃 178 c 𝑦𝑡𝑜𝑡 447 𝑐𝑚 20 a 𝑁𝑒 48 1019 𝐶 b 𝑁 3 c 𝑣 019 𝑚𝑚𝑠 21 𝑦 064 𝑚𝑚