Campo Elétrico devido à Distribuição Contínua de Cargas

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ ELETRICIDADE E APLICAÇÕES TURMA PROF ALUNO ATIVIDADE DE ESTUDOS 4 CAMPO ELÉTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS 1 Introdução Até o momento os eventos da eletrostática foram estudados em sistemas contendo cargas elétricas puntiformes Nas próximas sessões será descrito o que acontece quando um conjunto de cargas está distribuído sob uma geometria A carga de um objeto macroscópico é frequentemente expressa em termos de uma densidade de carga em vez da carga total Veremos que as grandezas físicas poderão ter dependência com a geometria desta forma podese definir uma relação entre a quantidade de carga de uma porção e a dimensão desta porção tal relação expressa a densidade de carga Quando uma quantidade de carga está distribuída em uma configuração unidimensional como sobre uma linha ou um aro de espessura desprezível e comprimento apreciável a razão entre a carga q em Coulombs e o comprimento l usualmente em metros em que está distribuída é denominada densidade linear de carga 𝝀 Cm definese 𝝀 𝒒 𝒍 eq 41a Porém quando uma quantidade de carga está distribuída sobre uma superfície de espessura desprezível a razão entre a carga q em Coulombs e a área da superfície A usualmente em metros quadrados em que está distribuída é denominada densidade superficial de carga σ Cm2 obtendo 𝛔 𝒒 𝑨 eq 41b Temos também que se uma quantidade de carga está distribuída sobre um volume de espessura desprezível a razão entre a carga q em Coulombs e volume V usualmente em metros cúbicos em que está distribuída é denominada densidade volumétrica de carga ρ sendo 𝛒 𝒒 𝑽 eq 41c Salientase que se houver distribuição uniforme de cargas as densidades de carga podem ser escritas em termos da fração de carga em função do tamanho da porção em que a carga está contida Por exemplo numa quantidade de carga distribuída uniformemente em uma linha reta um elemento de infinitesimal comprimento dl pode ser tomado e neste haverá um elemento infinitesimal de carga dq Qualquer outro elemento infinitesimal de carga ocupará o mesmo elemento infinitesimal de comprimento De forma que a densidade linear de carga nesta configuração poderá ser escrita como 𝝀 𝒅𝒒 𝒅𝒍 De forma análoga sendo a distribuição de carga uniforme na superfície ou no volume podese utilizar 𝛔 𝒅𝒒 𝒅𝑨 𝛒 𝒅𝒒 𝒅𝑽 Veremos que estas relações nos auxiliarão nos cálculos de campo elétrico e potencial elétrico 2 Cálculo do Campo Elétrico de algumas distribuições uniformes de carga através da Lei de Coulomb Suponhamos um corpo carregado uniformemente e consideremos nesse corpo um elemento de carga dq suficientemente pequeno de forma que possa ser considerado uma carga puntiforme O campo elétrico E d deste elemento de carga num ponto P qualquer é dado pela Lei de Coulomb 𝑑𝐸 𝑘 𝑑𝑞 𝑟2 𝑟 onde r é o vetor unitário orientado do elemento dq para o ponto P Observe que neste caso como a carga está distribuída em um volume V cada elemento de infinitesimal de carga pode ser associado a densidade volumétrica de carga ρ Para determinar o campo elétrico num dado ponto do espaço criado por uma distribuição de cargas devese somar a contribuição de cada elemento Por se tratar de um vetor a orientação de cada elemento de campo elétrico E d passa a ter relevância neste cálculo O campo elétrico E total no ponto P será calculado integrando a expressão sobre toda a distribuição de carga 𝐸 𝑘 𝑑𝑞 𝑟2 𝑟 eq 42 Figura 1 Distribuição Contínua de carga Veremos a seguir alguns exemplos para determinação de campos elétricos de distribuição contínua de cargas 21 Campo Elétrico sobre o eixo de um anel carregado A figura 2 mostra um anel delgado de raio R com uma distribuição uniforme de carga positiva Vamos supor que o anel é feito de plástico o que significa que as cargas permanecem imóveis O campo elétrico envolve todo o anel mas vamos restringir nossa discussão a determinar o campo elétrico total num ponto P do eixo z uma reta que passa pelo centro do anel e é perpendicular ao plano do anel situado a uma distância z do centro do anel O anel pode ser dividido em elementos infinitesimais de carga dq contidos em elementos infinitesimais de comprimento Cada elemento contribui com um campo elétrico de orientação diferente para o campo em um ponto P do eixo central do anel Como podemos somálos para obter o campo total no ponto P A solução é calcular as componentes dos vetores campo elétrico em relação a eixos adequadamente escolhidos e somar separadamente as componentes para obter as componentes do campo elétrico total Antes de executar a soma porém é importante examinar a simetria do problema para verificar se algumas dessas componentes se cancelam o que pode facilitar muito o trabalho Escolhemos arbitrariamente o elemento de carga mostrado na figura ao lado Seja ds o comprimento do elemento de carga dq ou de qualquer outro elemento de carga Nesse caso em termos da densidade linear de carga carga por unidade de comprimento λ temos 𝑑𝑞 𝜆𝑑𝑠 eq 43 Vamos agora escrever a equação do módulo do campo produzido por uma partícula eq 42 em termos dos novos símbolos dE e dq e substituir dq pelo seu valor dado pela eq 43 O módulo do campo elétrico produzido pelo elemento de carga é 𝑑𝐸 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑟2 1 4𝜋𝜀0 𝜆𝑑𝑠 𝑟2 eq 44 Note que o novo símbolo r é a hipotenusa do triângulo retângulo mostrado na figura 2 Isso significa que podemos substituir r por 𝑟 𝑅2 𝑧2 o que nos dá 𝑑𝐸 1 4𝜋𝜀0 𝜆𝑑𝑠 𝑅2𝑧2 eq 45 Como todos os elementos de carga têm a mesma carga e estão à mesma distância do ponto P o módulo do campo elétrico produzido por todos os elementos de carga é dado pela eq 45 A figura 2 também mostra que todos os campos elétricos elementares d𝐸 fazem um ângulo θ com o eixo central o eixo z e portanto têm uma componente paralela e uma componente perpendicular ao eixo z Considere na figura 2 o elemento de carga do lado oposto do anel Esse elemento também produz um campo elétrico elementar de módulo d𝐸 mas esse campo faz um ângulo θ do lado oposto do eixo z em relação ao elemento de carga inicial como mostra a vista lateral da figura 3 Assim as duas componentes perpendiculares ao eixo se cancelam Esse cancelamento acontece ao longo de todo o anel entre um elemento de carga e o elemento de carga diametralmente oposto Isso significa que a soma das componentes perpendiculares é zero Como todas as componentes diferentes de zero apontam no sentido positivo do eixo z podemos simplesmente calcular a soma aritmética dessas componentes Isso significa que já conhecemos a orientação do campo elétrico total no ponto P ele aponta no sentido positivo do eixo z De acordo com a figura 3 o módulo das componentes paralelas dos elementos de carga dq é dE cos θ Podemos substituir cosθ por 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑧 𝑟 𝑧 𝑅2𝑧21 2 eq 46 Multiplicando a eq 45 pela eq 46 obtemos a componente paralela do campo produzido por um elemento de carga 𝑑𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 4𝜋𝜀0 𝜆𝑧𝑑𝑠 𝑅2𝑧23 2 eq 47 Como temos que somar um número muito grande de elementos escrevemos uma integral que se estende a todo o anel de um ponto de partida que vamos chamar de s 0 até um ponto s 2πR que corresponde ao mesmo ponto depois que todo o anel foi percorrido Apenas a variável s muda de elemento para elemento Como os outros parâmetros da eq 47 permanecem os mesmos podemos passá los para o lado de fora da integral o que nos dá 𝐸 𝑑𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 1 4𝜋𝜀0 𝜆𝑧 𝑅2𝑧23 2 𝑑𝑠 2𝜋𝑅 0 1 4𝜋𝜀0 𝜆𝑧2𝜋𝑅 𝑅2𝑧23 2 eq 48 Figura 2 Anel Carregado Figura 3Os campos elétricos criados no ponto P por um elemento de carga e o elemento de carga diametralmente oposto Essa poderia ser a resposta mas podemos expressála em termos da carga total do anel usando a relação λ q2πR 𝐸 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑧 𝑅2𝑧23 2 eq 49 Se a carga do anel fosse negativa em vez de positiva o módulo do campo no ponto P seria dado pela eq 49 mas o campo elétrico apontaria no sentido negativo do eixo z ou seja na direção do anel Sua vez Veja o que acontece com a eq 49 se o ponto estiver tão longe do anel que z R e também se estiver em z 0 centro do anel Atividade 1 I Um segmento de reta com densidade linear de carga está sobre o eixo dos 𝒙 e se estende de 𝑥 𝑎 até 𝑥 𝑎 Calcular o campo elétrico sobre o ponto 𝑃 que pertence ao eixo 𝑦 II Sendo 45 𝑛𝐶𝑚 e a igual a 50 𝑐𝑚 Calcular o campo elétrico sobre o eixo dos 𝒚 em a 𝑦 10 𝑐𝑚 b 𝑦 40 𝑐𝑚 c 𝑦 40 𝑐𝑚 d 𝑦 10 𝑐𝑚 admitir neste caso que o segmento carregado é infinito e 𝑦 40 𝑐m admitindo agora que a carga seja puntiforme 22 O Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado Quando cargas estão disposta sobre uma superfície criam campo elétrico no espaço Neste contexto examinaremos o campo elétrico produzido por um disco de plástico circular de raio R e densidade superficial de carga σ carga por unidade de área na superfície superior O campo elétrico envolve todo o disco mas vamos restringir nossa discussão a um ponto P do eixo z uma reta que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano do disco situado a uma distância z do centro do anel como indicado na figura 4 Poderíamos adotar um método semelhante ao do anel de cargas com a diferença de que usaríamos uma integral dupla para levar em conta todas as cargas da superfície bidimensional do disco Entretanto podemos poupar muito trabalho aproveitando os resultados obtidos para um anel de carga Imagine uma seção do disco em forma de anel como mostra a figura 4 de raio r e largura radial dr O anel é tão fino que podemos tratar a carga do anel como um elemento de carga dq Para determinar o módulo do campo elétrico elementar dE criado pelo anel no ponto P escrevemos a eq 49 em termos da carga dq e do raio r do anel 𝑑𝐸 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞𝑧 𝑅2𝑧23 2 eq 410 O campo elétrico produzido pelo anel aponta no sentido positivo do eixo z Para calcular o campo total produzido pelo disco no ponto P vamos integrar a eq 410 do centro r 0 até a borda do disco r R o que corresponde a somar as contribuições de todos os campos elementares dE fazendo com que o anel elementar percorra toda a superfície do disco Para isso precisamos expressar a carga dq em termos da largura radial dr do anel elementar Usando a densidade superficial de carga podemos escrever 𝑑𝑞 𝜎𝑑𝐴 𝜎2𝜋𝑟𝑑𝑟 eq 411 Substituindo a eq 411 na eq 410 e simplificando obtemos a seguinte expressão 𝐸 𝑑𝐸 𝜎𝑧 4𝜀0 𝑧2 𝑟23 2 2𝑟𝑑𝑟 𝑅 0 eq 412 em que colocamos todas as constantes incluindo z do lado de fora do sinal de integral Para resolver a integral basta utilizar o método de substituição de variáveis fazendo 𝑧2 𝑟2 𝑋 2𝑟𝑑𝑟 𝑑𝑋 fazendo tal substituição 𝐸 𝜎𝑧 4𝜀0 𝑋3 2 𝑑𝑋 𝑧2𝑅2 𝑧2 𝜎𝑧 4𝜀0 𝑋1 2 1 2 𝑧2 𝑧2𝑅2 eq 413 aplicando os limites de integração obtemos 𝐸 𝜎𝑧 2𝜀0 1 𝑧 1 𝑧2𝑅2 eq 414 A equação 414 expressa o campo elétrico num ponto sobre o eixo z que passa pelo centro de um disco uniformemente carregado Observando esta expressão é fácil de ver que quando R z válido tanto para pontos muito próximos do disco ou discos de raios grandes 𝐸 𝜎 2𝜀0 ou seja o campo elétrico tornase uniforme e dependente apenas da densidade de cargas Em certas representações da configuração das linhas de campo elétrico considerase este como formado por um plano infinito de cargas veja figura que lustra as linhas de campo de um plano de cargas Vimos anteriormente que cargas na presença de campos elétricos sofrem ação de força elétrica cujo módulo é F qE e a direção é a mesma da força Se a carga for positiva esta sofrerá ação de força no mesmo sentido do campo já se tiver sinal negativo sofrerá força no sentido oposto ao campo elétrico Campos elétricos uniformes são utilizados em diversos casos em impressoras espectrômetros de massa em dispositivos como capacitores etc LEITURA COMPLEMENTAR Seção 226 páginas 3739 HALLIDAY David Fundamentos de Física vol 3 Eletromagnetismo 10ª ed São Paulo LTC 2016 Figura 4 Um disco de raio R com uma distribuição uniforme de carga positiva O anel mostrado na figura tem raio r largura radial dr e cria um campo elétrico dE no ponto P situado no eixo central do disco Figura 5 Plano de cargas configuração das linhas de campo Figura a direita ilustra a vista lateral das linhas de campo 3 Um Dipolo em um Campo Elétrico Definimos o momento dipolar elétrico 𝑝 de um dipolo elétrico como um vetor que aponta da carga negativa para a carga positiva do dipolo Como vamos ver o comportamento de um dipolo na presença de um campo elétrico externo 𝐸 pode ser totalmente descrito em termos dos vetores 𝐸 e 𝑝 sem necessidade de levar em conta a estrutura detalhada do dipolo Uma molécula de água H2O se comporta como um dipolo elétrico e a figura 6 mostra a razão Na figura os pontos representam o núcleo de oxigênio com oito prótons e os dois núcleos de hidrogênio com um próton cada um As áreas coloridas representam as regiões em que os elétrons da molécula podem ser encontrados Na molécula de água os dois átomos de hidrogênio e o átomo de oxigênio não estão alinhados mas formam um ângulo de aproximadamente 105o Em consequência a molécula possui um lado do oxigênio e um lado do hidrogênio Além disso os 10 elétrons da molécula tendem a permanecer mais tempo nas proximidades do núcleo de oxigênio que nas proximidades dos núcleos de hidrogênio Isso torna o lado do oxigênio ligeiramente mais negativo que o lado do hidrogênio e dá origem a um momento dipolar elétrico 𝑝 alinhado com o eixo de simetria da molécula como mostra a figura Quando a molécula de água é submetida a um campo elétrico externo ela se comporta como o dipolo elétrico podendo sofrer ação de um torque 𝜏 Para investigar esse comportamento suponha que o dipolo é submetido a um campo elétrico externo uniforme como na figura 7a Suponha também que o dipolo é uma estrutura rígida formada por duas cargas de sinais opostos de valor absoluto q separadas por uma distância d O momento dipolar faz um ângulo θ com o campo As duas extremidades do dipolo estão sujeitas a forças eletrostáticas Como o campo elétrico é uniforme as forças têm sentidos opostos como mostrado na Figura 7a e o mesmo módulo F qE Assim como o campo é uniforme a força total a que está submetido o dipolo é nula e o centro da massa do dipolo não se move Entretanto as forças que agem sobre as extremidades do dipolo produzem um torque em relação ao centro de massa O centro de massa está na reta que liga as cargas a uma distância x de uma das cargas e portanto a uma distância d x da outra De acordo com a expressão de torque estudada na disciplina Física do Movimento τ rF sen ϕ onde ϕ o ângulo formado entre o vetor posição r e a linha de ação da força aplicada F relativos a um eixo de rotação especificado a correspondência com a figura 7 corresponde ao ângulo θ e observando as demais grandezas podemos escrever o módulo do torque total como 𝜏 𝐹𝑥 sen 𝜃 𝐹𝑑 𝑥sen 𝜃 𝐹𝑑 sen 𝜃 eq 415 Podemos também escrever o módulo de 𝜏 em termos dos módulos do campo elétrico E e do momento dipolar p qd Para isso substituímos F por qE e d por pq na eq 415 o que nos dá 𝜏 𝑝𝐸 sen 𝜃 eq 416 E finalmente na forma vetorial o torque pode ser escrito como 𝜏 𝑝 𝐸 eq 417 Os vetores 𝑝 e 𝐸 estão representados na Figura 7b O torque aplicado ao dipolo tende a fazer girar o vetor e portanto o dipolo na direção do campo diminuindo o valor de θ Na situação mostrada na Figura 7 a rotação é no sentido horário Para indicar que um torque produz uma rotação no sentido horário acrescentamos um sinal negativo ao módulo do torque Usando essa convenção o torque da 7 é portanto 𝜏 𝑝𝐸 sen 𝜃 eq 418 31 Energia Potencial de um Dipolo Elétrico Uma energia potencial pode ser associada à orientação de um dipolo elétrico em relação a um campo elétrico uniforme A energia potencial do dipolo é mínima quando o momento está alinhado com o campo nesse caso 𝜏 𝑝 𝐸 0 A energia potencial é maior para todas as outras orientações Sob esse aspecto o dipolo é como um pêndulo para o qual a energia potencial é mínima em uma orientação específica aquela em que o peso se encontra no ponto mais baixo da trajetória Para fazer com que o dipolo ou o pêndulo assuma qualquer outra orientação é preciso usar um agente externo Em qualquer problema que envolva energia potencial temos liberdade para definir a situação em que a energia potencial é nula já que são apenas as diferenças de energia potencial que possuem realidade física No caso da energia potencial de um dipolo na presença de um campo elétrico as equações se tornam mais simples quando definimos que a energia potencial é nula quando o ângulo θ da é 90o Nesse caso podemos calcular a energia potencial U do dipolo para qualquer outro valor de θ usando a conhecida relação ΔU W e calculando o trabalho W executado pelo campo sobre o dipolo quando o dipolo gira da posição de 90o para a posição θ Usando a equação W τ dθ e a eq 418 é fácil mostrar que a energia potencial U para um ângulo θ qualquer é dada por 𝑈 𝑊 𝜏 𝑑𝜃 𝑝𝐸 cos 𝜃 𝑝 𝐸 eq 419 Figura 6 Configuração representativa do momento dipolar da água Figura 7 a Dipolo formado por q e q distantes d na presença de Campo Elétrico externo E b Representação do torque entrando no plano da folha sobre o momento de dipolo 32 Forno de MicroOndas O fato de que as moléculas de água são dipolos elétricos é essencial para o funcionamento de um forno de microondas Quando o forno é ligado uma fonte de microondas produz um campo elétrico alternado no interior do forno ao qual são submetidas as moléculas de água do alimento que colocamos no forno De acordo com a eq 418 o campo elétrico aplica um torque ao momento dipolar elétrico que tende a alinhar com o Campo Como o campo é alternado as moléculas de água mudam constantemente de orientação tentando alinharse com o mesmo A energia do campo elétrico é transferida para a energia térmica da água e portanto do alimento nos locais em que três moléculas de água se uniram para formar um grupo A agitação produzida pelo campo elétrico separa essas moléculas Quando as moléculas tornam a se unir a energia da ligação é transferida para um movimento aleatório do grupo e em seguida para as moléculas vizinhas Em pouco tempo a energia térmica da água é suficiente para cozinhar o alimento Exemplo Uma molécula de água H2O neutra no estado de vapor tem um momento dipolar elétrico cujo módulo é 621030 C m a Qual é a distância entre o centro das cargas positivas e o centro das cargas negativas da molécula Como uma molécula neutra de água possui 10 elétrons e 10 prótons o módulo do momento dipolar é dado por p qd 10ed em que d é a distância que queremos determinar e e é a carga elementar Assim temos 𝑑 𝑝 10𝑒 39 1012 𝑚 b Se a molécula é submetida a um campo elétrico de 15104 NC qual é o máximo torque que o campo elétrico pode exercer sobre a molécula O torque exercido por um campo elétrico sobre um dipolo é máximo quando o ângulo θ é 90o Assim 𝜏 𝑝𝐸 sen 𝜃 93 1026 𝑁 𝑚 c Que trabalho deve ser realizado por um agente externo para fazer a molécula girar de 180o na presença deste campo partindo da posição em que a energia potencial é mínima θ 0o Como 𝑊 𝑈 𝑈180 𝑈0 2𝑝𝐸 19 1025 𝐽 OBS As figuras 1 a 7 foram extraídas do HALLIDAY David Fundamentos de Física vol 3 Eletromagnetismo 10ª ed São Paulo LTC 2016 QUESTÕES RA2 1Um pedaço de plástico está uniformemente carregado com densida de de carga a O plástico é então dividido em um grande pedaço com densidade superficial de carga b e em um pequeno pedaço com densidade superficial de carga c Coloque em ordem decrescente as densidades superficiais de carga de a até c 2 Na figura dois anéis circulares iguais isolantes têm os centros na mesma reta perpendicular aos planos dos anéis Em três sistemas as cargas uniformes dos anéis A e B são respectivamente 1 q0 e q0 2 q0 e q0 3 q0 e q0 Ordene os sistemas de acordo com o módulo do campo elétrico total a no ponto P1 a meio caminho entre os anéis b no ponto P2 no centro do anel B c no ponto P3 à direita do anel B em ordem decrescente 3 A figura mostra dois discos e um anel plano todos com a mesma carga uniforme Q Ordene os objetos de acordo com o módulo elétrico criado no ponto P situado à mesma distância vertical nos três casos em ordem decrescente 4 Na figura uma barra de plástico circular com uma carga elétrica uniforme Q produz um campo elétrico de módulo E no centro de curvatura da barra situado na origem Nas uras b c e d outras barras circulares todas com a mesma forma e a mesma carga que a primeira são acrescentadas até que a circunferência fique completa Um quinto arranjo que pode ser chamado de e é semelhante ao arranjo d exceto pelo fato de que a barra do quarto quadrante tem carga Q Coloque em ordem decrescente os cinco arranjos de acordo com o módulo do campo elétrico no centro de curvatura 5 A figura mostra três barras todos com a mesma carga Q distribuída uniformemente As barras a de comprimento L e b de comprimento L2 são retas e os pontos P estão em uma reta perpendicular que passa pelo centro das barras A barra c de comprimento L2 tem forma de circunferência e o ponto P está no centro Coloque em ordem decrescente as barras de acordo com o módulo do campo elétrico nos pontos P 6 Qual é o campo elétrico responsável pela trajetoria do proton na figura PROBLEMAS INTRODUTÓRIOS RA1 1 Densidade densidade densidade a Uma carga de 300e está distribuída uniformemente em um arco de circunferência de 400 cm de raio que subtende um ângulo de 40 Qual é a densidade linear de carga do arco b Uma carga de 300e está distribuída uniformemente em uma das superfícies de um disco circular de 200 cm de raio Qual é a densidade superficial de carga da superfície c Uma carga de 300e está distribuída uniformemente na superfície de uma esfera de 200 cm de raio Qual é a densidade superficial de carga da superfície d Uma carga de 300e está distribuída uniformemente no volume de uma esfera de 200 cm de raio Qual é a densidade volumétrica de carga da esfera 2 A figura mostra dois anéis concêntricos de raios R e R 300R que estão no mesmo plano O ponto P está no eixo central z a uma distância D 200R do centro dos anéis O anel menor possui uma carga uniformemente distribuída Q Em termos de Q qual deve ser a carga uniformemente distribuída no anel maior para que o campo elétrico no ponto P seja nulo 3 Um disco de 25 cm de raio possui uma densidade superficial de carga de 53 μCm2 na superfície superior Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto do eixo central situado a uma distância z 12 cm do centro do disco 4 A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado com 0600 m de raio o módulo do campo elétrico é igual a metade do módulo do campo no centro do disco 5 Um dipolo elétrico formado por cargas de 150 nC e 150 nC separadas por uma distância de 620 μm é submetido a um campo elétrico de 1100 NC Determine a o módulo do momento dipolar elétrico e b a diferença entre as energias potenciais quando o dipolo está orientado paralelamente e antiparalelamente a 𝐸 PROBLEMAS ESPECÍFICOS RA1 6 A figura mostra três arcos de circunferência cujo centro está na origem de um sistema de coordenadas Em cada arco a carga uniformemente distribuída é dada em termos de Q 200 μC Os raios são dados em termos de R 100 cm Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico na origem 7 Na figura uma barra fina de vidro forma uma semicircunferência de raio r 500 cm Uma carga q 450 pC está distribuída uniformemente na parte superior da barra e uma carga q 450 pC está distribuída uniformemente na parte inferior da barra Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no ponto P situado no centro do semicírculo 8 Um anel de raio R 240 cm contém uma distribuição uniforme de carga e o módulo do campo elétrico E resultante é medido ao longo do eixo central do anel perpendicular ao plano do anel A que distância do centro do anel o campo E é máximo 9 Na figura uma barra isolante de comprimento L 815 cm tem uma carga q 423 fC uniformemente distribuída a Qual é a densidade linear de carga da barra Determine b o módulo e c a direção em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico produzido no ponto P situado no eixo x a uma distância a 120 cm da extremidade da barra Determine o módulo do campo elétrico produzido em um ponto situado no eixo x a uma distância a 50 m do centro da barra d pela barra e e por uma partícula de carga q 423 fC colocada no lugar anteriormente ocupado pelo centro da barra 10 Um engenheiro foi encarregado de projetar um dispositivo no qual um disco uniformemente carregado de raio R produz um campo elétrico O módulo do campo é mais importante em um ponto P do eixo do disco a uma distância 200R do plano do disco figura a Para economizar material decidiuse substituir o disco por um anel com o mesmo raio externo R e um raio interno R200 figura b O anel tem a mesma densidade superficial de carga que o disco original Qual é a redução percentual do módulo do campo elétrico no ponto P 11 A figura mostra um disco circular uniformemente carregado O eixo central z é perpendicular ao plano do disco e a origem está no centro do disco A Figura b mostra o módulo do campo elétrico no eixo z em função do valor de z em termos do valor máximo Em do módulo do campo elétrico A escala do eixo z é definida por 𝑧𝑠 80 𝑐𝑚 Qual é o raio do disco 12 Um bloco de 100 g com uma carga de 800 105 𝐶 é submetido a um campo elétrico 𝐸 3000𝑖 600𝑗 𝑁𝐶 Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo da força eletrostática que age sobre o bloco Se o bloco for liberado na origem a partir do repouso no instante t 0 determine c a coordenada x e d a coordenada y do bloco no instante t 300 s 13 Em determinado instante as componentes da velocidade de um elétron que se move entre duas placas paralelas carregadas são 𝑣𝑥 15 105 𝑚𝑠 e 𝑣𝑦 30 103 𝑚𝑠 O campo elétrico entre as placas é 𝐸 120 NC ĵ Determine na notação dos vetores unitários a a aceleração do elétron e b a velocidade do elétron no instante em que sua coordenada x variou de 20 cm 14 Um dipolo elétrico é submetido a um campo elétrico uniforme cujo módulo é 20 NC A Fig 22 62 mostra a energia potencial U do dipolo em função do ângulo θ entre 𝐸 e o momento do dipolo 𝑝 A escala do eixo vertical é definida por 𝑈𝑠 100 1028 𝐽 Qual é o módulo de 𝑝 15 Um dipolo elétrico é submetido a um campo elétrico uniforme 𝐸 de módulo 40 NC A Figura mostra o módulo τ do torque exercido sobre o dipolo em função do ângulo θ entre o campo 𝐸 e o momento dipolar 𝑝 A escala do eixo vertical é definida por 𝜏𝑠 100 1028 𝑁 𝑚 Qual é o módulo de 𝑝 APLICAÇÕES RA1 e RA2 16 No tempo bom o campo elétrico no ar em uma determinada posição imediatamente acima da superficie da Terra é de 120 NC orientado para baixo a Qual a densidade de carga por unidade de superficie sobre sobre a superficie da Terra É positiva ou negativa b Se o clima fosse bom em toda parte e se a densidade da carga por unidade de superficie fosse uniforme Quantos elétrons ou prótons adicionais estariam sobre toda a superficie da Terra para produzir um campo atmosferico de 120 NC orientado para baixo 17 Você conseguiu a posição de monitor durante o verão em um laboratório que utiliza um feixe de prótons de alta velocidade Os prótons saem da máquina a uma velocidade de 20106 ms e lhe é pedido que você projete um dispositivo para frear os prótons de uma forma segura Você sabe que os prótons ficariam incrustados em um alvo de metal todavia deslocandose a velocidades acima de 20105 ms emitiriam radiações perigosas como raios X quando colidissem com o alvo Você decide então primeiro diminuir a velocidade dos prótons para um valor aceitável e depois deixálos colidir com o alvo Você consegue duas placas de metal posiciona as paralelamente separadas por 20 cm e então faz um pequeno furo no centro de uma das placas a fim de permitir que o feixe de prótons penetre na região entre as placas A placa oposta é o alvo com o qual os prótons se chocarão a Quais são os valores mínimos de densidade de carga que você precisa obter em cada placa Que placa a positiva ou a negativa receberá o feixe de prótons incidente b O que acontecerá se você carregar as placas com 10105 Cm2 Seu dispositivo ainda funcionará 18 Suponha que uma de suas atribuições como engenheiro seja desenvolver uma maneira de usar a eletricidade para lançar um pequeno bastão de plástico com 60 cm de comprimento Você então decide eletrizar o pequeno bastão friccionandoo com um pano e depois mantêlo próximo a um fio longo que fora previamente carregado Quando você solta o bastão a forca elétrica exercida pelo fio o arremessará para longe Suponha que você consiga carregar uniforme mente o bastão com 10 nC e que a densidade linear de carga do fio longo seja de 10107 Cm Qual é a intensidade da forca elétrica sobre bastão de plástico se sua extremidade mais próxima ao fio está a 20 cm de distância 19 Um tipo de impressora a jato de tinta chamada de impressora a jato de tinta eletrostática forma as letras através da utilização de eletrodos defletores que direcionam gotas de tinta eletrizadas para cima ou para baixo na direção vertical a medida que o jato de tinta desliza horizontalmente pela página O jato é formado por gotas de tinta com 30µm de diâmetro eletrizandoas pela aspersão de 800000 elétrons sobre sua superfície e arremessandoas contra a página a uma velocidade de 20 ms Ao longo do caminho as gotas passam por entre dois eletrodos paralelos de 60 mm de comprimento por 40 mm de largura espaçados por 10 mm A distância do centro das placas ao papel é de 20 cm Para formar as letras que possuem uma altura máxima de 60 mm as gotas precisam ser desviadas para cima ou para baixo em no máximo 30 mm A tinta que consiste de partículas de corante suspensas em álcool tem uma densidade de 800 kgm3 a Estime a intensidade máxima do campo elétrico necessária na região entre os eletrodos b Que quantidade de carga é necessária em cada eletrodo para produzir este campo elétrico 20 O Campo elétrico nas vizinhanças do tambor carregado de uma fotocopiadora tem módulo E 23 x 10 5 NC a Qual a densidade superficial de cargas supondo que o tambor seja feito de material condutor b Considere tal tambor com 42 cm de comprimento e 12 cm de diâmetro Qual a carga total do tambor considere o tambor aberto nas laterais c O fabricante deseja produzir uma versão mais compacta da máquina Para isto é necessário reduzir o comprimento do tambor para 28 cm e o diâmetro para 80cm O Campo elétrico na superfície do tambor deve permanecer o mesmo Qual deve ser a carga do novo tambor Respostas dos Problemas 1 a 1721015 Cm b 3821014 Cm2c 9561015 Cm2 d 1431012 Cm3 2 419 𝑄 3 63103NC 4 0346 𝑚 5 𝑎 930 1015 Cm 𝑏 205 1011J 6 𝑎 162 106 NC b 45o com o semieixo x positivo 7 𝑎 206 NC b 90o com o semieixo x positivo 8 170 𝑐𝑚 9 𝑎 519 1014 N C 𝑏 157 103 N C c 180𝑜 com o semieixo 𝑥 positivo d 152103 N C e 152 103 N C 10 28 11 69 𝑐𝑚 12 𝑎 0245 𝑁 113𝑜 com o semieixo 𝑥 positivoc 108 m 216 m 13 a 21 1013 𝑗 𝑚 𝑠2 b 15 105𝑖 28 106𝑗ms 14 50 1028 C m 15 25 1028 C m 16 𝑎 106 109 𝐶 𝑚2 𝑏 540105 𝐶 𝑎 3381024 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 17 𝑎 91 106 𝐶 𝑚2 não 18 𝑎 42 104 𝑁 19 𝑎 𝑎 884 105 𝑁 𝐶 0188𝑛𝐶 20 𝑎 20 107 𝐶 𝑚2 𝑏 32 107 𝐶 𝑐 14 107 𝐶 Referências HALLIDAY David RESNICK Robert WALKER Jearl Fundamentos de Física vol 3 9ª ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 2015 TIPLER Paul A Física vol 2 6ª ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 2014 BAUER W WESTFALL GD DIAS H Física para Universitários vol 3 1ª ed São Paulo McGrawHill 2012 MACHADO Kleber D Eletromagnetismo vol 1 Ponta Grossa 1ª ed Toda a Palavra 2012