Circuitos Elétricos e Energia: Análise de Circuitos Magneticamente Acoplados

CIRCUITOS ELÉTRICOS E ENERGIA Circuitos Magneticamente Acoplados Vóldi C Zambenedetti Com material de Prof Alessandro Koerich Resumo Indutância Mútua A convenção de pontos para indutores conectados em série pontos se somando a indutância total será 𝐿 𝐿1 𝐿2 2𝑀 Para indutores conectados em série com pontos opostos a indutância total será 𝐿 𝐿1 𝐿2 2𝑀 v 60 cos4t 30 V Energia armazenada em t1s w frac12 L1i12 frac12 L2i22 Mi1i2 frac12533892 frac12428242 2533892824 2073 J Método para modelar circuitos com acoplamento magnético utilizando fontes de tensão dependente controladas por corrente FTDCC 1 Considere o circuito de acoplamento magnético 2 Remova a indicação de indutância mútua e posicione as FTDCC atenção aos fatores de controle 3 Defina os sinais apropriados de acordo com a convenção dos pontos Encontrar indutância equivalente Leq fracL1L2 M2L1L2 2M2 Energia em Circuitos Acoplados A energia armazenada em um indutor e em indutores acoplados supondo inicialmente I1 e I2 nulas aumentando I1 e mantendo e I20 Energia em Indutores A energia armazenada em um indutor A energia armazenada em dois indutores acoplados magneticamente assumindo que a corrente entra nos terminais com ponto em ambos indutores Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto em um indutor e sai pelo terminal com ponto no outro indutor Energia em Circuitos Acoplados O limite superior para a indutância mútua M 𝑀 𝐿1𝐿2 Ou seja a média geométrica das autoindutâncias dos indutores O coeficiente de acoplamento mostra o quanto a indutância mútua se aproxima de seu limite superior onde 0 𝑘 1 O coeficiente de acoplamento é a fração do fluxo total emanando de um indutor que conecta ao outro indutor e a medida do acoplamento magnético entre eles Se todo o fluxo produzido por um indutor atinge outro então k 1 e temos uma acoplamento 100 ou perfeitamente acoplados usado em transformadores ideais Para k 05 temos indutores fracamente acoplados Para k 05 temos indutores fortemente acoplados Transformador Linear É um dispositivo magnético que utiliza o fenômeno da indutância mutua Um transformador é geralmente um dispositivo de quatro terminais compreendendo dois ou mais bobinas acopladas magneticamente A bobina conectada diretamente a uma fonte de tensão é chamado de enrolamento primário A bobina conectada a carga é chamada de enrolamento secundário As resistências representam as perdas nas bobinas Transformador Linear Um transformador é considerado linear se as bobinas são enroladas em um material magnético linear permeabilidade magnética constante como baquelite ar plástico e madeira Para obtermos a impedância de entrada aplicamos a LTK nas duas malhas e temos O primeiro termo 𝑅1 𝑗𝜔𝐿1 é a impedância primária O segundo termo é devido ao acoplamento entre os enrolamentos primário e secundário e é chamada de impedância refletida ao primário Transformador Linear Equivalente T Para simplificar a análise é possível substituir o acoplamento magnético por um circuito equivalente T ou Y ou Π ou Δ que não contém a indutância mútua Escrevendo as equações dos dois circuitos Comparando as matrizes fica evidente que Lc M L1 La Lc e L2 LbLc Transformador Linear Equivalentes T e Y Circuito equivalente T Circuito Equivalente Y Transformador Linear Equivalente T ATENÇÃO Para o cálculo das impedâncias T é preciso considerar o sentido das correntes em relação ao ponto das bobinas Fazer equivalente T e encontrar I2 Vo dica use ω 1 então j8Ω ωL 8H Transformador Ideal Consiste em duas bobinas com um número grande de voltas em um núcleo comum de alta permeabilidade Devido a esta alta permeabilidade do núcleo o fluxo liga todas as voltas de ambas as bobinas resultando portanto em um acoplamento perfeito Um transformador é dito ser ideal se As bobinas tiveram reatâncias bastante elevadas L1 L2 M O coeficiente de acoplamento é unitário k1 Os enrolamentos primário e secundário não possuem perdas R1 R2 0 Transformadores com núcleo de ferro são uma aproximação de transformadores ideais Considerando o transformador ideal ao lado as equações de tensão são V1 jωL1I1 jωM I2 V2 jωM I1 jωL2I2 Isolando I1 na primeira equação e substituindo na segunda temos V2 jωL2I2 MV1L1 jωM²I2L1 Como k 1 então M L1L2 V2 jωL2I2L1 jωL1L2I2L1 L2L1V1 nV1 Em transformadores ideais a constante n é constante independente dos parâmetros de autoindutância A constante n é conhecida como relação entre espiras Transformador Ideal De acordo com a Lei de Faraday as tensões sobre os enrolamentos primário e secundário são respectivamente Dividindo as equações anteriores temos ou por fasores E pela conservação de energia teremos v1i1 v2i2 Então OU Transformador Ideal Quanto a polaridade das tensões e direção das correntes temos 1 Se V1 e V2 são ambas positivas ou ambas negativas nos terminais com ponto use n Caso contrário use n 2 Se tanto I1 quanto I2 entram ou ambas saem dos terminais com ponto use n Caso contrário use n Transformador Ideal A potência complexa no enrolamento primário é Não há perda de potência O transformador ideal não absorve potência A impedância de entrada vista pela fonte Mas como 𝐕2 𝐈2 𝐙𝐿 então Uma prática comum na análise de circuitos é eliminar o transformador refletindo as impedâncias e fontes de um lado do transformador para o outro lado calculase inicialmente o equivalente de Thevénin do secundário e estes são refletidos no primário Transformador Ideal Refletindo o primário no secundário Refletindo o secundário no primário Encontre Vo e a potência S1 fornecida pela fonte de 100V Autotransformadores O primário e o secundário estão em um mesmo enrolamento Usualmente são mais baratos de construir mas não possuem isolamento galvânico ou seja um problema elétrico em um lado se reflete diretamente no outro lado Para ambos vale Resumo Relação Resistor R Capacitor C Indutor L vi v iR v 1C i dt vt0 v Ldidt iv i vR i Cdvdt i 1L v dt it0 p or w p i²R w 12CV² w 12LI² Series Req R1 R2 Ceq C1 C2 Leq L1 L2 Parallel Req R1R2R1 R2 Ceq C1 C2 Leq L1L2L1 L2 At dc Same Open circuit Short circuit Circuit variable that cannot change abruptly Not applicable v i Série Paralelo