Análise de Circuitos Elétricos: Função de Transferência e Diagrama de Bode

CIRCUITOS ELÉTRICOS E ENERGIA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E DIAGRAMA DE BODE Vóldi C Zambenedetti Com material de Prof Alessandro Koerich Propriedades de um Sistema LTI Convolução resposta ao impulso Auto função resposta em frequência Função de Transferência Escala Decibel Diagramas de Bode PROPRIEDADES DE UM SISTEMA LTI RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA Na análise de circuitos CA estudamos como encontrar as tensões e correntes em um circuito com fontes de frequência constante Se mantivermos a amplitude da senóide constante mas variarmos a frequência obtemos a resposta em frequência do circuito A resposta em frequência de um circuito é a variação de seu comportamento com a mudança na frequência do sinal A resposta em frequência de um circuito é um gráfico da função de transferência Hw versus w com w variando de 0 a FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A função de transferência Hw de um circuito é a razão dependente da frequência entre um fasor de saída Yw e um fasor de entrada Xw resposta no domínio da frequência equivalente à convolução no domínio do tempo Ganho de Tensão Ganho de Corrente Impedância de Transferência Admitância de Transferência FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Hw é uma quantidade complexa possui magnitude e fase isto é Hw Hw Para obter a função de transferência devemos Obter o circuito equivalente no domínio da frequência substituindo resistores capacitores e indutores pelas suas impedâncias R 1jwC e jwL Usar técnicas de análise de circuitos para obter a grandeza apropriada É geralmente expressa pela divisão de polinômios 𝐻 𝜔 𝑁𝜔 𝐷𝜔 As raízes de Nw 0 são chamadas de zeros de Hw e são geralmente representadas por jw z1 z2 Do mesmo modo as raízes de Dw 0 são os pólos de Hw e são representadas por jw p1 p2 Para evitar algebra complexa é comum trocar temporariamente jw por s quando operamos Hw e substituímos s por jw no final Exemplo Encontrar VowIiw com w1 e usando sjw DECIBEL Uma maneira sistemática de obter a resposta em frequencia é usar o Diagrama de Bode que se baseia em logaritmos e decibeis para expressar ganho Em sistemas de comunicação ganho é medido em bels Historicamente o bel é usado para medir a razão entre dois níveis de potência ou ganho de potência G O decibel dB nos oferece uma unidade de menor magnitude É 110 de um bel e é dado por GdB10log10 P1 P2 A relação em dB para sinais de tensão ou corrente será dada por GdB20log10 V1 V2 Diagrama de Bode A prática tradicional para mostrar a resposta em frequência é traçar a função de transferência em um par de diagramas semilogaritmicos A magnitude em decibéis é traçada versus o logaritmo da frequência A fase em graus é traçada versus o logaritmo da frequência Estes diagramas semilogaritmicos da função de transferência são conhecidos como Diagramas de Bode A função de transferência pode ser escrita como HH Hej Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados lnH lnH lnej lnH j A parte real de lnH é uma função da magnitude enquanto a parte imaginária é a fase Em um diagrama de Bode da magnitude o ganho é traçado em decibéis dB versus a frequência a fase é traçada em graus versus a frequência Diagrama de Bode Uma função de transferência pode ser escrita em termos de fatores que tem partes real e imaginária H 𝜔 𝐾𝑗𝜔1 1 𝑗𝜔 𝑍1 1 𝑗2𝜁1𝜔 𝜔𝑘 𝑗𝜔 𝜔𝑘 2 1 𝑗𝜔 𝑝1 1 𝑗2𝜁2𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 Esta é a chamada forma padrão ou canônica e podem aparecer diferentes fatores 1 Um ganho 𝐾 2 Um pólo 𝑗𝜔1 ou zero 𝑗𝜔 na origem 3 Um pólo 11 𝑗𝜔𝑝1 ou zero 1 𝑗𝜔𝑧1 simples 4 Um pólo 11 𝑗2𝜁2𝜔𝜔𝑛 𝑗𝜔𝜔𝑛2 ou zero 1 𝑗2𝜁1𝜔𝜔𝑘 𝑗𝜔𝜔𝑘2 quadrático Diagrama de Bode Na construção do diagrama de Bode traçamos cada fator separadamente e então adicionamos graficamente Termo constante para o ganho 𝐾 a magnitude é 20𝑙𝑜𝑔10𝐾 e a fase é 0o Se 𝐾 é negativo a magnitude permanece 20𝑙𝑜𝑔10 𝐾 mas a fase é 180o Diagrama de Bode Zero na origem para o zero 𝑗𝜔 na origem a magnitude é 20𝑙𝑜𝑔10𝜔 e a fase é 90o A inclinação é de 20 dBdécada enquanto a fase é constante Pólo na origem para o pólo 𝑗𝜔1 na origem a magnitude é 20𝑙𝑜𝑔10𝜔 e a fase é 90o A inclinação é de 20 dBdécada enquanto a fase é constante Em geral para 𝑗𝜔𝑁 onde N é um inteiro o diagrama da magnitude terá uma inclinação de 20N dBdécada enquanto a fase é 90o𝑁 Diagrama de Bode Zero simples para um zero simples 1 𝑗𝜔𝑧1 a magnitude é 20𝑙𝑜𝑔101 𝑗𝜔 𝑧1 e a fase é 𝑡𝑎𝑛1 𝜔𝑧1 A frequência 𝜔 𝑧1 onde duas linhas assintóticas se encontram é chamada de frequência de quebra Diagrama de Bode Na aproximação por linhas retas temos ϕ 0 para 𝜔 𝑧110 ϕ 45o para 𝜔 𝑧1 e ϕ 90º para 𝜔 10𝑧1 O diagrama tem uma inclinação de 45o por década Pólo simples o diagrama de Bode para um polo simples 11 𝑗𝜔𝑝1 é similar ao do zero simples exceto que a frequência de quebra é em 𝜔 p1 a magnitude tem uma inclinação de 20dBdécada e a fase tem uma inclinação de 45o por década Diagrama de Bode Polo quadrático para um polo quadrático 11 𝑗2𝜁2𝜔𝜔𝑛 𝑗𝜔𝜔𝑛2 a magnitude é 20𝑙𝑜𝑔101 𝑗2𝜁2𝜔𝜔𝑛 𝑗𝜔𝜔𝑛2 e a fase é 𝑡𝑎𝑛1 2𝜁2𝜔𝜔𝑛1 𝜔2𝜔𝑛 2 Ou seja podemos aproximar o diagrama da amplitude por duas linhas retas assintóticas Uma com inclinação 0 para 𝜔 𝜔𝑛 Uma com inclinação 40 dBdécada para 𝜔 𝜔𝑛 sendo 𝜔𝑛 a frequência de quebra Diagrama de Bode Note que o diagrama real depende do fator de amortecimento 𝜁2 bem como da frequência de quebra 𝜔𝑛 Diagrama de Bode Zero quadrático o diagrama de Bode para um zero quadrático 1 𝑗2𝜁2𝜔𝜔𝑛 𝑗𝜔𝜔𝑛2 é invertido pois o diagrama de magnitude tem inclinação de 40 dBdécada enquanto que o diagrama de fase tem uma inclinação de 90o por década Ou seja podemos aproximar o diagrama da amplitude por duas linhas retas assintóticas Uma com inclinação 0 para 𝜔 𝜔𝑛 Uma com inclinação 40 dBdécada para 𝜔 𝜔𝑛 sendo 𝜔𝑛 a frequência de quebra Factor Magnitude Phase K 20 log10 K 0 jωN 20N dBdecade 90 1jωN 20N dBdecade 90 1 jωzN 20N dBdecade 0 11 jωpN 20N dBdecade 90 1 2jωωn jωωn2N 40N dBdecade 180 11 2jωωk jωωk2N 40N dBdecade 0 Exemplo construir o diagrama de bode para Resumo Relation Resistor R Capacitor C Inductor L vi v iR v C i dt v L didt iv i vR i C dvdt i 1L v dt Series Req R1 R2 Ceq C1 C2 Parallel Req R1 R2R1 R2 Ceq C1 C2 At dc p R v2R Cω2 v Not applicable vt it i0 v0 L Magnitude H 20 log10 H dB 0001 60 001 40 01 20 05 6 1 0 2 3 6 10 20 26 100 40 1000 60