Circuitos Elétricos e Energia: Indutância Mútua e Acoplamento Magnético

CIRCUITOS ELÉTRICOS E ENERGIA Circuitos Magneticamente Acoplados Vóldi C Zambenedetti Com material de Prof Alessandro Koerich Indutância Mútua Os circuitos que estudamos até o momento são considerados condutivamente acoplados Um laço afeta o laço vizinho através da condução de corrente Quando dois laços com ou sem contato se afetam através do campo magnético gerado por um deles são chamados de magneticamente acoplados Exemplo Transformador bobinas magneticamente acopladas para transferir energia de um circuito para outro Leis do Eletromagnetismo Maxwell 𝐸 𝜌𝑞 𝜀0 Gauss O campo elétrico diverge da carga positiva para a negativa Existe carga elétrica e o campo elétrico gera uma força proporcional à quantidade de carga 𝐵 Ԧ𝐽 𝜀0 𝐸 𝑡 𝜇0 Ampère Maxwell Um campo magnético circulante é produzido por uma corrente elétrica e por um campo elétrico que varia com o tempo 𝐸 𝐵 𝑡 Faraday Lenz Um campo elétrico circulante é produzido por um campo magnético que varia com o tempo 𝐵 0 Gauss magnetismo O divergente de um campo magnético em qualquer ponto é nulo não existe carga magnética Φ𝐸 ර 𝐸 𝑛 𝑑𝐴 Oliver Heaviside Josiah Willard Gibbs 𝑉𝑎𝑏 න 𝑎 𝑏 𝐸 መ𝑙 𝑑𝑙 Φ𝐵 ර 𝐵 𝑛 𝑑𝐴 Definese fluxo elétrico Definese fluxo magnético Definese tensão elétrica Indutância Quando dois indutores ou bobinas estão próximos o fluxo magnético causado pela corrente em uma bobina induz tensão na outra bobina Este fenômeno é chamado de indutância mútua Para um indutor simples de N espiras quando uma corrente i flui através dele um fluxo magnético FB é produzido ao redor dele De acordo com a lei de Faraday a tensão induzida no indutor é 𝑣 𝑁𝑑𝜙 𝑑𝑡 N num espiras Indutância Mas o fluxo Φ é produzido pela corrente i portanto qualquer mudança em Φ é causada por uma variação na corrente 𝑣 𝑁 𝑑𝜙 𝑑𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑡 ou 𝑣 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 A indutância L do indutor é dada por 𝐿 𝑁 𝑑𝜙 𝑑𝑖 Esta indutância é chamada de autoindutância pois relaciona a tensão induzida em uma bobina por uma corrente variante no tempo na mesma bobina Indutância Mútua Considerando agora duas bobinas com autoindutâncias L1 e L2 que estão próximas A bobina 1 tem N1 voltas e a bobina 2 tem N2 voltas Assumimos que a bobina 2 não transporta corrente O fluxo magnético Φ1 originário na bobina 1 tem dois componentes o componente Φ11 percorre somente a bobina 1 e o componente Φ12 percorre ambas as bobinas Portanto 𝜙1 𝜙11 𝜙12 Indutância Mútua Apesar das duas bobinas estarem fisicamente separadas elas estão magneticamente acopladas Como o fluxo total Φ1 percorre a bobina 1 a tensão induzida na bobina 1 𝑣1 𝑁1 𝑑𝜙1 𝑑𝑡 Somente o fluxo Φ12 percorre a bobina 2 logo a tensão induzida na bobina 2 𝑣2 𝑁2 𝑑𝜙12 𝑑𝑡 Indutância Mútua como os fluxos são causados pela corrente i1 fluindo na bobina 1 𝑣1 𝑁1 𝑑𝜙1 𝑑𝑖1 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝐿1 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 onde L1 N1dΦ1di1 é a autoindutância da bobina 1 Da mesma maneira 𝑣2 𝑁2 𝑑𝜙12 𝑑𝑖1 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝑀12 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 Onde M21 é a indutância mútua da bobina 2 com respeito a bobina 1 O índice 21 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 2 à corrente na bobina 1 Assim a tensão mútua em circuito aberto ou tensão induzida sobre a bobina 2 é 𝑀21 𝑁2 𝑑𝜙12 𝑑𝑖1 𝑣2 𝑀21 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 Indutância Mútua Supondo agora que a corrente i2 flui na bobina 2 enquanto a bobina 1 não transporta corrente Como o fluxo total Φ2 percorre a bobina 2 a tensão induzida na bobina 2 onde L2 N2dΦ2di2 é a autoindutância da bobina 2 𝜙2 𝜙21 𝜙22 𝑣2 𝑁2 𝑑𝜙2 𝑑𝑡 𝑁2 𝑑𝜙2 𝑑𝑖2 𝑑𝑖2 𝑑𝑡 𝐿2 𝑑𝑖2 𝑑𝑡 Indutância Mútua Da mesma forma 𝑣1 𝑁1 𝑑𝜙21 𝑑𝑖2 𝑑𝑖2 𝑑𝑡 𝑀12 𝑑𝑖2 𝑑𝑡 Onde M12 é a indutância mútua da bobina 1 com respeito a bobina 2 O índice 12 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 1 à corrente na bobina 2 Assim a tensão mútua em circuito aberto ou tensão induzida sobre a bobina 1 é 𝑀12 𝑁1 𝑑𝜙21 𝑑𝑖2 𝑣1 𝑀12 𝑑𝑖2 𝑑𝑡 Indutância Mútua Veremos que podemos considerar a concatenação dos fluxos magnéticos entre as bobinas como sendo igual 𝑀12 𝑀21 𝑀 M é a indutância mútua entre duas bobinas É medida em Henrys H Note que o acoplamento mútuo existe somente se as bobinas estiverem próximas e os circuitos forem alimentados por fontes com sinais variantes no tempo Indutância Mútua é a capacidade de um indutor induzir uma tensão sobre um indutor vizinho medida em henrys H Indutância Mútua Convenção do ponto para a análise de circuitos A polaridade da indutância mútua depende dos aspectos construtivos sentido do enrolamento A convenção de pontos eliminada a necessidade de descrever os aspectos construtivos em circuitos Um ponto é colocado no circuito em um dos terminais de cada um dos indutores acoplados magneticamente Indica a direção do fluxo magnético se a corrente entra pelo terminal marcado com o ponto Indutância Mútua Convenção dos pontos A convenção dos pontos diz o seguinte Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto de uma bobina a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina é positiva no terminal com o ponto da segunda bobina Ou Se uma corrente sai pelo terminal com o ponto de uma bobina a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina é negativa no terminal com o ponto da segunda bobina Assim a polaridade de referência de um tensão mútua depende da direção de referência da corrente induzida e os pontos nas bobinas acopladas Indutância Mútua Convenção dos pontos Coeficiente de acoplamento k Indutância Mútua indutores em série A convenção de pontos para indutores conectados em série pontos se somando a indutância total será 𝐿 𝐿1 𝐿2 2𝑀 Para indutores conectados em série com pontos opostos a indutância total será 𝐿 𝐿1 𝐿2 2𝑀 Híbrida de Telefonia O princípio de funcionamento de uma bobina híbrida é o mesmo da ponte de impedâncias A B terminais de recepção a quatro fios C D terminais de transmissão a quatro fios B C terminais da linha de dois fios A D rede de equilíbrio equilibrador Análise de Circuitos Envolvendo Indutâncias Mútuas Escrever as equações nas malhas primária e secundária no domínio do tempo observe o sentido das correntes e a regra do ponto Escrever as equações nas malhas primária e secundária no domínio da freqüência Análise de Circuitos Envolvendo Indutâncias Mútuas 𝑣1 𝑖1𝑅1 𝐿1 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝑀 𝑑𝑖2 𝑑𝑡 𝑣2 𝑖2𝑅2 𝐿2 𝑑𝑖2 𝑑𝑡 𝑀 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 V1R1jwL1I1 jwMI2 V2R2jwL2I2 jwMI1 Escrever as equações nas malhas primária e secundária no domínio do tempo Escrever as equações nas malhas primária e secundária no domínio da freqüência Método para modelar circuitos com acoplamento magnético utilizando fontes de tensão dependente controladas por corrente FTDCC 1 Considere o circuito de acoplamento magnético 2 Remova a indicação de indutância mútua e posicione as FTDCC atenção aos fatores de controle 3 Defina os sinais apropriados de acordo com a convenção dos pontos a Corrente saindo oposto ao ponto b Corrente entrando mesmo sentido ao ponto Análise de Circuitos Envolvendo Indutâncias Mútuas Calcule I1 I2 e o fator K 𝐼2 2914 Substituindo M por fontes dependentes 20335 Exercício Atenção I2 passa pelas duas bobinas Considerar a indutância mutua com I2 ao montar a LTK da segunda malha 20335