Elementos Armazenadores de Energia em Circuitos Elétricos

TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES Unidade 5 Elementos Armazenadores de Energia TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES Objetivos Conhecer e saber usar as equações para tensão corrente potência e energia em um capacitor entender como um capacitor se comporta na presença de tensão constante e o requisito de que a tensão deve ser contínua em um capacitor Conhecer e saber usar as equações para tensão corrente potência e energia em um indutor entender como um indutor se comporta na presença de corrente constante e o requisito de que a corrente deve ser contínua em um indutor Entender o comportamento do circuito RC série e do circuito RL série excitados ou não por fontes de tensão ou corrente constantes o conceito de constante de tempo e o processo de armazenamento de energia nos campos elétrico e magnético dos elementos armazenadores TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 51 Capacitores a Fenômeno físico associado Um corposistema carregado eletricamente configura um campo elétrico no espaço onde está inserido A diferença de potencial elétrico entre 2 pontos quaisquer nesse espaço depende da quantidade de carga elétrica que produz o campo e das características físicas do corposistema e do meio onde foi configurado o campo A grandeza que relaciona a carga com a diferença de potencial é denominada CAPACITÂNCIA cuja unidade no SI é o Farad F 𝐶 𝑄 𝑉 TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 51 Capacitores b Definição do elemento de circuito A modelagem da capacitância de um sistema elétrico na teoria de circuitos elétricos é feita pelo elemento circuito denominado CAPACITOR representado como segue A relação entre a corrente e a tensão num capacitor linear será i TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 51 Capacitores No domínio do tempo a tensão nos terminais de um capacitor será Podese deduzir com facilidade as relações entre potência e energia para o capacitor pela equação de potência do capacitor Combinando a definição de energia com a equação de potência obtemos a equação de energia do capacitor c Equações TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 51 Capacitores d Propriedades importantes Um capacitor não permite uma variação instantânea da tensão em seus terminais permite uma variação instantânea da corrente em seus terminais comportase como uma malha aberta na presença de uma tensão constante em seus terminais e Tipos de capacitores na prática Ver Boylestad Capítulo 10 TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 52 Resposta natural de um circuito RC A resposta natural de um circuito RC é analisada a partir do circuito mostrado na figura a seguir TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 52 Resposta natural de um circuito RC Como não pode haver variação instantânea de tensão nos terminais de um capacitor o problema reduzse a resolver o circuito mostrado na figura a seguir TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 52 Resposta natural de um circuito RC TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 53 Conceito de constante de tempo Tanto a expressão para vt como a de it no circuito RC contém um termo da forma etRC O coeficiente de t a saber 1RC determina a taxa segundo a qual a corrente ou tensão se aproxima de zero A recíproca dessa razão é a constante de tempo do circuito 𝜏 constante de tempo 𝑅𝐶 TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES A tabela a seguir dá o valor de 𝑒𝑡𝜏 para múltiplos inteiros de τ de 1 a 10 53 Conceito de constante de tempo TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES Para circuitos com uma única constante de tempo circuitos de primeira ordem a expressão um longo tempo indica que transcorreram cinco ou mais constantes de tempo A resposta que passa a existir depois de um longo tempo após o chaveamento é denominada resposta de regime permanente A resposta que decorrer do instante inicial até atingir o regime permanente é denominada resposta de regime transitório 𝑡 5𝜏 0 𝑡 5𝜏 53 Conceito de constante de tempo TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 54 Regime transitório e regime permanente REGIME TRANSITÓRIO REGIME PERMANENTE TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 55 Passos para obtenção da resposta natural de um circuito RC O cálculo da resposta natural de um circuito RC pode ser resumido da seguinte forma 1 Determine a tensão inicial 𝑉0 no capacitor 2 Determine a constante de tempo do circuito 𝜏 𝑅𝐶 3 Use a 𝑣 𝑡 𝑉0𝑒𝑡𝜏 para gerar 𝑣𝑡 a partir de 𝑉0 e 𝜏 Todos os outros cálculos de interesse decorrem da expressão de 𝑣𝑡 TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 56 Indutores a Fenômeno físico associado Um fio de material condutor percorrido por uma corrente elétrica configura um campo magnético no espaço onde está inserido O fluxo magnético dependerá da corrente das características geométricas do corposistema e do meio onde foi configurado o campo A grandeza que relaciona o fluxo magnético e a corrente que o configura é denominada INDUTÂNCIA cuja unidade no SI é o Henry H 𝐿 𝐼 TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 56 Indutores b Definição do elemento de circuito A modelagem da indutância de um sistema elétrico na teoria de circuitos elétricos é feita pelo elemento circuito denominado INDUTOR representado como segue A relação entre a tensão e a corrente num indutor linear será i TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 56 Indutores No domínio do tempo a tensão nos terminais de um capacitor será Podese deduzir com facilidade as relações entre potência e energia para o capacitor pela equação de potência do capacitor Combinando a definição de energia com a equação de potência obtemos a equação de energia do capacitor c Equações TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 56 Indutores d Propriedades importantes Um indutor não permite uma variação instantânea da corrente em seus terminais permite uma variação instantânea da tensão em seus terminais comportase como um curtocircuito na presença de uma tensão constante em seus terminais e Tipos de indutores na prática Ver Boylestad Capítulo 10 TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 57 Resposta natural de um circuito RL A resposta natural de um circuito RL é analisada a partir do circuito mostrado na figura a seguir TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 57 Resposta natural de um circuito RL Como não pode haver variação instantânea de corrente nos terminais de um indutor o problema reduzse a resolver o circuito mostrado na figura a seguir 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑅𝑖 0 𝑖 𝐼0 𝑒 𝑅 𝐿 𝑡 𝑣 𝑖𝑅 𝐼0 𝑅𝑒 𝑅 𝐿 𝑡 TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 57 Resposta natural de um circuito RL REGIME TRANSITÓRIO 𝑖 𝐼0 𝑒 𝑡 𝜏 Onde 𝜎 𝐿 𝑅 seg s TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ALEXANDRE GUIMARÃES 58 Passos para obtenção da resposta natural de um circuito RL O cálculo da resposta natural de um circuito RL pode ser resumido da seguinte forma 1 Determine a corrente inicial 𝐼0 no indutor 2 Determine a constante de tempo do circuito 𝜏 𝐿𝑅 3 Use i 𝑡 𝐼0𝑒𝑡𝜏 para gerar 𝑖𝑡 a partir de 𝐼0 e 𝜏 Todos os outros cálculos de interesse decorrem da expressão de 𝑖𝑡 CIRCUITOS ELÉTRICOS I ALEXANDRE GUIMARÃES 59 Resposta a um degrau A resposta de um circuito à aplicação repentina de uma fonte de tensão ou corrente constante é denominada resposta a um degrau Ao analisarmos essa resposta mostramos como o circuito responde quando a energia está sendo armazenada no indutor ou capacitor Função degrau CIRCUITOS ELÉTRICOS I ALEXANDRE GUIMARÃES 5 10 Resposta a um degrau de um circuito RL Pela LTK obtémse a seguinte equação diferencial que rege o comportamento da corrente no circuito 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑅𝑖 𝑉𝑠 De forma similar à resposta natural a resposta ao degrau será regida por uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem com coeficientes constantes cuja solução fornece 𝑖𝑡 𝑉𝑠 𝑅 𝐼0 𝑉𝑠 𝑅 𝑒 𝑅 𝐿 𝑡 Onde 𝐼0 é a corrente é a corrente inicial do indutor τ LR é a constante de tempo do circuito CIRCUITOS ELÉTRICOS I ALEXANDRE GUIMARÃES Regime transitório Regime permanente 5 10 Resposta a um degrau de um circuito RL CIRCUITOS ELÉTRICOS I ALEXANDRE GUIMARÃES Uma vez obtida a corrente as demais grandezas envolvidas no circuito podem ser obtidas utilizandose as equações que as relacionam Por exemplo para o circuito anterior podese escrever 𝑣 𝑡 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 No indutor 𝑝 𝑣𝑖 𝐿𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝜔 𝑡 𝑡𝑡 𝑝𝑑𝑡 No resistor 𝑣 𝑡 𝑅𝑖 𝑝 𝑣𝑖 𝑅𝑖2 Na fonte 𝑝 𝑣𝑖 𝑉𝑠𝑖 A energia processada em qualquer elemento do circuito será 5 10 Resposta a um degrau de um circuito RL CIRCUITOS ELÉTRICOS I ALEXANDRE GUIMARÃES Regime Permanente Regime transitório 𝑣 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 5 10 Resposta a um degrau de um circuito RL CIRCUITOS ELÉTRICOS I ALEXANDRE GUIMARÃES 511 Resposta a um degrau de um circuito RC Podemos determinar a resposta a um degrau de um circuito RC de primeira ordem analisando o circuito mostrado na figura a seguir Pela LCK obtémse a seguinte equação diferencial que rege o comportamento da tensão no circuito 𝐶 𝑑𝑣𝑐 𝑑𝑡 𝑣𝑐 𝑅 𝐼𝑠 Cuja solução fornece a tensão no circuito 𝑣𝐶 𝑅𝐼𝑠 𝑉0 𝑅𝐼𝑠 𝑒𝑡𝑅𝐶 Onde 𝑉0 é a tensão inicial no capacitor τ RC é a constante de tempo do circuito CIRCUITOS ELÉTRICOS I ALEXANDRE GUIMARÃES 1 Identifique a variável para análise no circuito Para circuitos RC é mais conveniente escolher a tensão nos terminais do capacitor para circuitos RL é melhor escolher a corrente que percorre o indutor 2 Determine o valor inicial da variável que é seu valor em 𝑡0 Observe que se você escolher a tensão no capacitor ou a corrente no indutor como sua variável de interesse não será necessário distinguir entre 𝑡 𝑡0 e 𝑡 𝑡0 Isso porque ambas são variáveis contínuas Se você escolher outra variável precisará lembrarse de que seu valor inicial é definido em 𝑡 𝑡0 Quando calculamos as respostas a um degrau e natural de circuitos de 1ª ordem as seguintes etapas poderão ajudar 512 Solução geral para respostas a um degrau e natural CIRCUITOS ELÉTRICOS I ALEXANDRE GUIMARÃES 3 Calcule o valor final da variável chamada resposta forçada que é seu valor quando 𝑡 4 Calcule a constante de tempo para o circuito e escreva a expressão da resposta natural do circuito de 1ª ordem 𝑣 𝑡 𝑉0𝑒𝑡𝜏 ou it 𝐼0𝑒𝑡𝜏 5 Escreva a resposta completa para a variável de análise Resposta completa Resposta natural Resposta forçada 6 Com o valor inicial da variável obtenha o valor da constante da resposta natural e escreva a equação da resposta completa 7 Obtenha as expressões para as outras variáveis de interesse no circuito Quando solicitado calcule os valores das variáveis nas condições desejadas 512 Solução geral para respostas a um degrau e natural