Estatística Descritiva - Medidas de Tendência Central - Média Mediana e Moda

Unidade 1 Estatística Descritiva Descrição numérica 3º parte Descrição numérica A descrição numérica possui três características Tendência central Dispersão e Forma Tendência central Medidas que buscam descrever o valor do meio ou os valores típicos de uma distribuição As medidas mais utilizadas são Média aritmética e geométrica Mediana e Moda Média aritmética A média aritmética de um conjunto de observações é definida como a soma de todas as observações dividida pelo número de observações 𝜇 1 𝑁 σ𝑖1 𝑛 𝑋𝑖 populacional ത𝑋 1 𝑛 σ𝑖1 𝑛 𝑋𝑖 amostral Exemplo 2 O número de viagens diárias de avião feitas pode ser visto na tabela seguinte Calcule a média para os dados em frequência simples e em classe Adaptado de BRUNI 2011 197 197 199 200 201 204 205 206 208 208 209 209 210 211 211 211 211 212 212 213 213 213 215 216 218 221 221 223 224 224 225 227 228 229 230 233 O cálculo da média aritmética para dados agrupados em classe é feito por meio do ponto médio da classe Média geométrica Medida útil para taxas de crescimento e atenua valores extremos altos 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑛 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 Mediana É uma medida de posição que ocupa a posição central dos dados previamente ordenados de acordo a sua magnitude crescente ou decrescente ou seja 50 das observações são menores que a mediana e os outros 50 são maiores 𝑀𝑑 𝑌𝑛1 2 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑀𝑑 𝑌𝑛 2 𝑌𝑛 2 12 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 Exemplo 3 Os dados a seguir mostram o faturamento mensal em R mil de uma amostra de pontos de vendas da rede de lojas Calcule a mediana BRUNI 2011 140 148 152 163 163 165 175 178 180 185 191 196 196 196 203 205 206 220 Modelagem do cálculo da mediana para dados agrupados em classe 𝑀𝑑 𝐼 ℎ 𝐸 𝑚𝑑 𝐹 𝑎𝑛𝑡 𝑓 𝑚𝑑 Sendo I limite inferior da classe mediana h amplitude da classe E md frequência total 2 F ant frequência acumulada da classe anterior a classe da mediana f md frequência da mediana Exemplo 4 Com os dados abaixo calcule a mediana BRUNI 2011 Classe Frequência 10 124 12 1412 14 1621 16 1813 18 206 Moda A moda de um conjunto de observações é definida como o valor classe ou categoria que ocorre com maior frequência A moda populacional é denotada por Mo e a moda amostral denotada por mo Fonte Bruni 2011 Estatística Vantagens Desvantagens Moda Fácil de calcular Não é afetada por valores extremos Pode estar afastada do centro das observações Difícil de incluir equações matemáticas Não usa todos os dados Pode ter mais de uma moda Mediana Fácil de determinar Não afetada por valores extremos Necessário conhecer todos os valores da distribuição Difícil de incluir equações matemáticas Média Fácil de compreender Uso todos os dados Fácil de incluir eq matemáticas Afetada por valores extremos Necessário conhecer todos os valores da distribuição Série A Série B 1 0 4 5 6 10 2 1 4 0 5 6 6 6 MÉDIA 4 4 Medidas de dispersão Medidas que revelam o afastamento absoluto ou relativo dos dados Amplitude Variância Desvio padrão e Coeficiente de variabilidade Amplitude Representa a diferença entre a observação de maior e menor valor numérico de um conjunto de dados analisados BRUNI 2011 Amplitude xmax xmin Variância É dada pela soma das diferenças quadráticas das observações em relação a sua média dividida pelo número total de observações BRUNI 2011 𝜎2 σ𝑖1 𝑛 𝑋𝑖 𝜇 𝑁 2 populacional 𝑆2 σ𝑖1 𝑛 𝑋𝑖 ത𝑋 𝑛 1 2 amostral Desvio padrão É a raiz quadrada da variância 𝜎 𝜎2 populacional 𝑆 𝑆2 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Coeficiente de variabilidade É uma medida de variabilidade adimensional expressa o número de vezes que o desvio padrão contém a média 𝐶𝑉 𝜎 𝜇 população 𝑐𝑣 𝑆 𝑋 amostral Exemplo 5 O número de viagens diárias de avião feitas pode ser visto na tabela seguinte Calcule a variância desviopadrão coeficiente de variabilidade para dados em frequência simples e em classe Adaptado de BRUNI 2011 197 197 199 200 201 204 205 206 208 208 209 209 210 211 211 211 211 212 212 213 213 213 215 216 218 221 221 223 224 224 225 227 228 229 230 233 Forma medidas de assimetria e curtose Medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com as relações entre suas medidas de moda média e mediana quando observadas por meio de gráficos Assimétrica à esquerda Assimetria 0 Normal Assimétrica à direita Assimetria 0 Fonte Doane e Seward 2014 Assimetria à esquerda ou negativa Média Mediana Moda Assimetria à direita ou positiva Média Mediana Moda Uma distribuição é dita simétrica quando apresenta o mesmo valor para a moda a média e a mediana Modelagem do coeficiente de assimetria Excel 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 ҧ𝑥 𝑠 3 Interpretação Assimétrica à esquerda Simétrica Assimétrica à direita Limite inferior Limite superior n 5 inferior 5 superior n 5 inferior 5 superior 20 084 084 90 041 041 30 069 069 100 040 040 40 061 061 150 033 033 50 055 055 200 028 028 60 051 051 300 023 023 70 047 047 400 020 020 80 044 044 500 018 018 Fonte Doane e Seward 2014 Curtose Curtose mede o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão denominada curva normal curva correspondente a uma distribuição teórica de probabilidade Uma distribuição em forma de sino é denominada mesocúrtica Platicúrtica Caudas mais pesadas Curtose 0 Mesocúrtica Pico normal Curtose 0 Leptocúrtica Pico mais pronunciado Curtose 0 Fonte Doane e Seward 2014 Modelagem da curtose Excel Curtose nn1n1n2n3 Σ x x s ⁴ 3n1²n2n3 PUC Minas Virtual Interpretação Platicúrtica Limite inferior Mesocúrtica Limite superior Leptocúrtica Fonte Doane e Seward 2014 Exercício Com os dados abaixo calcule a assimetria e curtose adaptado DOANE e SEWARD 2014 Série A 1931 1963 1919 1935 1947 1951 2010 1981 1979 1983 2010 1990 1982 2016 1989 1970 1922 1916 1930 1910 1939 2000 2036 2038 2049 2043 2002 2024 2014 1947 1930 1954 1943 1926 1917 1963 1975 2003 2099 2126 2141 2127 Série B 2013 2062 2020 2046 2062 2084 2073 2081 2061 2021 2017 2003 1993 1985 1949 1854 1760 1769 1816 1810 1837 1858 1809 1780 1810 1757 1729 1744 1700 1674 1649 1626 1645 1633 1581 1638 1665 1687 1700 1758 1743 1740 Medida de ordenamento As medidas de ordenamento fornecem uma ideia sobre a distribuição dos dados ordenados Apresentando a vantagem de não serem afetadas pela forma de distribuição dos dados analisados ou por valores extremos BRUNI 2011 Medida de ordenamento Quartis Dividem a distribuição ordenada em quatro partes iguais 𝑄𝑛𝑞 𝑥 𝑛𝑞 𝑛 4 1 2 Sendo Q quartil que se deseja obter nq número de quartil que se deseja obter 1 2 ou 3 x elemento da série ordenada n tamanho da amostra Intervalo interquartil Q3 Q1 mede o grau de espalhamento dos dados Exemplo 6 Os dados a seguir mostram o faturamento mensal em R mil de uma amostra de pontos de vendas da rede de lojas Calcule os quartis BRUNI 2011 140 148 152 163 163 165 175 178 180 185 191 196 196 196 203 205 206 220 Gráfico de box plot Ferramenta útil para análise exploratória dos dados É formado pelas medidas Xmim Q1 Q2 Q3 e Xmax O box plot exibe o centro dos dados a variabilidade e a forma Construção do box plot Após o cálculo dos quartis e do intervalo interquartil definese a cerca inferior e exterior Cercas internas Cerca inferior Q1 15Q3 Q1 Cerca Superior Q1 15Q3 Q1 Cercas externas Cerca inferior Q1 3Q3 Q1 Cerca Superior Q1 3Q3 Q1 Valor discrepante extremo Valor discrepante Valor discrepante extremo Valor discrepante Cerca externa inferior Cerca interna inferior Q1 Q2 Q3 Cerca interna superior Cerca externa superior PUC Minas Virtual Fonte Doane e Seward 2014 Exemplo 7 Uma amostra de quantos salários mínimos os indivíduos de determinada região recebem é apresentado abaixo Construa o gráfico de box plot e analise os dados Adaptado de MONTGOMERY e RUNGER 2008 42 47 47 53 38 36 30 51 31 38 48 40 52 43 28 20 28 33 48 e 50 Leitura recomendada Capítulo 4 itens 41 42 exceto estatística descritiva usando o MegaStat e Minitab p 120 e semiamplitude p 124 43 exceto desvio médio absoluto p 131 e 45 quartis e boxplots do livro DOANE David P SEWARD Lori E Estatística aplicada à administração e economia 4 ed Porto Alegre AMGH 2014 Livro Eletrônico Referências bibliográficas BRUNI Adriano Leal Estatística Aplicada à Gestão Empresarial 3 ed São Paulo Atlas 2011 DOANE David P SEWARD LORI E Estatística aplicada à administração e economia 4 ed Porto Alegre AMGH 2014 Livro eletrônico MONTGOMERY D C RUNGER G C Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros 2 ed Rio de Janeiro LTC 2008 SICSÚ Abraham L DANA S Estatística aplicada análise exploratória de dados São Paulo Saraiva 2012 Livro Eletrônico