Funções de Várias Variáveis e Derivadas Parciais

MATEMÁTICA APLICADA Prof Vitor L B de Jesus FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL Funções que possuem múltiplas variáveis Considere uma função 𝐴 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 que determina a área de um retângulo de lados 𝑥 e 𝑦 A área de um retângulo é considerada uma função de duas variáveis Considere agora uma função 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 que determina o volume de um paralelepípedo de lados 𝑥 𝑦 e 𝑧 O volume de um paralelepípedo é considerado uma função de três variáveis CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS DERIVADAS PARCIAIS Derivadas parciais Considere uma função de duas variáveis 𝑓 𝑥 𝑦 A derivada parcial desta função em relação a variável 𝑥 é definida por 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 lim 𝑥0 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 Podemos escrever a derivada parcial neste caso de outras maneiras por exemplo 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝑓𝑥 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS DERIVADAS PARCIAIS Derivadas parciais Considere uma função de duas variáveis 𝑓 𝑥 𝑦 A derivada parcial desta função em relação a variável 𝑦 é definida por 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 lim 𝑦0 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦 Podemos escrever a derivada parcial neste caso de outras maneiras por exemplo 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 𝑓 𝑦 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 𝑓𝑦 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS DERIVADAS PARCIAIS Derivadas parciais Considere uma função de 𝑛 variáveis 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑚 𝑥𝑛 A derivada parcial desta função em relação a variável 𝑥𝑚 é definida por 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑚 𝑥𝑛 𝑥𝑚 lim 𝑥𝑚0 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑚 𝑥𝑚 𝑥𝑛 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑚 𝑥𝑛 𝑥𝑚 Podemos escrever a derivada parcial neste caso de outras maneiras por exemplo 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑚 𝑥𝑛 𝑥𝑚 𝑓 𝑥𝑚 𝑓𝑥𝑚 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑚 𝑥𝑛 𝑓𝑥𝑚 Para se calcular a derivada parcial de 𝑥𝑚 aplicamse as mesmas regras de derivação conhecidas em relação à variável em questão considerando as demais variáveis como sendo constantes COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Coeficiente de sensibilidade Considere uma função de 𝑛 variáveis 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑚 𝑥𝑛 A derivada parcial desta função em relação a variável 𝑥𝑚 é definida por 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑚 𝑥𝑛 𝑥𝑚 Esta derivada parcial mede o quanto a variação da grandeza 𝑥𝑚 pode influenciar a variação da função 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑚 𝑥𝑛 Esta derivada parcial é chamada de coeficiente de sensibilidade da função 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑚 𝑥𝑛 em relação a variável 𝑥𝑚 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício Considere a função 𝑓 𝑥 𝑦 5𝑥4𝑦2 𝑥𝑦3 4 Calcule as seguintes derivadas parciais 𝑓01 𝑥 e 𝑓12 𝑦 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício Considere a função 𝑓 𝑥 𝑦 5𝑥4𝑦2 𝑥𝑦3 4 Calcule as seguintes derivadas parciais 𝑓01 𝑥 e 𝑓12 𝑦 Resposta COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício Considere a função 𝑓 𝑥 𝑦 ln1 𝑥2 𝑦2 Calcule as seguintes derivadas parciais 𝑓11 𝑥 e 𝑓10 𝑦 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício Considere a função 𝑓 𝑥 𝑦 ln1 𝑥2 𝑦2 Calcule as seguintes derivadas parciais 𝑓11 𝑥 e 𝑓10 𝑦 Resposta COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício A Lei dos Gases Ideais é dada pela equação 𝑃𝑉 𝑛𝑅𝑇 Nesta equação 𝑃 corresponde a pressão a que o gás está submetido quando ocupa o volume 𝑉 sob a temperatura 𝑇 As constantes 𝑛 e 𝑅 correspondem respectivamente ao número de moles e a constante dos gases perfeitos Calcule o coeficiente de sensibilidade da pressão em relação ao volume e o coeficiente de sensibilidade da pressão em relação à temperatura COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício A Lei dos Gases Ideais é dada pela equação 𝑃𝑉 𝑛𝑅𝑇 Nesta equação 𝑃 corresponde a pressão a que o gás está submetido quando ocupa o volume 𝑉 sob a temperatura 𝑇 As constantes 𝑛 e 𝑅 correspondem respectivamente ao número de moles e a constante dos gases perfeitos Calcule o coeficiente de sensibilidade da pressão em relação ao volume e o coeficiente de sensibilidade da pressão em relação à temperatura Resposta Primeiramente vamos escrever a pressão 𝑃 em função das duas variáveis envolvidas 𝑉 e 𝑇 𝑃𝑉 𝑇 𝑛𝑅 𝑇 𝑉 Coeficiente de sensibilidade da pressão em relação ao volume 𝑃𝑉𝑇 𝑉 𝑛𝑅 𝑇 𝑉2 coeficiente de sensibilidade da pressão em relação à temperatura 𝑃𝑉𝑇 𝑇 𝑛𝑅 1 𝑉 a COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício A Lei de Ohm é dada pela equação 𝑈𝑅 𝐼 𝑅𝐼 Nesta equação 𝑈 corresponde a voltagem a que é aplicada à resistência elétrica 𝑅 cujo resultado é uma corrente elétrica 𝐼 passando pelo circuito Calcule o coeficiente de sensibilidade da voltagem em relação à resistência elétrica e o coeficiente de sensibilidade da voltagem em relação à corrente elétrica COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício A Lei de Ohm é dada pela equação 𝑈𝑅 𝐼 𝑅𝐼 Nesta equação 𝑈 corresponde a voltagem a que é aplicada à resistência elétrica 𝑅 cujo resultado é uma corrente elétrica 𝐼 passando pelo circuito Calcule o coeficiente de sensibilidade da voltagem em relação à resistência elétrica e o coeficiente de sensibilidade da voltagem em relação à corrente elétrica Resposta Sendo 𝑈𝑅 𝐼 𝑅𝐼 temos Coeficiente de sensibilidade da voltagem em relação à resistência elétrica 𝑈𝑅𝐼 𝑅 𝐼 coeficiente de sensibilidade da voltagem em relação à corrente elétrica 𝑈𝑅𝐼 𝐼 𝑅 a COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício Se uma diferença de pontecial 𝑈 é aplicada aos terminais de um resistor dependente da tempratura que tem resistência 𝑅0 a uma temperatura definida 𝑇0 e um coeficiente de temperatura linear da resistência 𝛼 a potência 𝑃 mensurando dissipada pelo resistor à tempratura 𝑇 depende de 𝑈 𝑅0 alpha e 𝑈 de acordo com a equação 𝑃𝑈 𝑅0 𝛼 𝑇 𝑈2 𝑅0 1 𝛼 𝑇 𝑇0 Calcule os coeficientes de sensibilidade da potência para as variáveis 𝑈 𝑅0 𝛼 𝑇 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício Se uma diferença de pontecial 𝑈 é aplicada aos terminais de um resistor dependente da tempratura que tem resistência 𝑅0 a uma temperatura definida 𝑇0 e um coeficiente de temperatura linear da resistência 𝛼 a potência 𝑃 mensurando dissipada pelo resistor à tempratura 𝑇 depende de 𝑈 𝑅0 alpha e 𝑈 de acordo com a equação 𝑃𝑈 𝑅0 𝛼 𝑇 𝑈2 𝑅0 1 𝛼 𝑇 𝑇0 Calcule os coeficientes de sensibilidade da potência para as variáveis 𝑈 𝑅0 𝛼 𝑇 Resposta Os coeficientes de sensibilidade são 𝑃 𝑈 2𝑈 𝑅0 1𝛼 𝑇𝑇0 𝑃 𝑅0 𝑈2 𝑅02 1𝛼 𝑇𝑇0 𝑃 𝛼 𝑈2 𝑇𝑇0 𝑅0 1𝛼 𝑇𝑇0 2 𝑃 𝑇 𝑈2𝛼 𝑅0 1𝛼 𝑇𝑇0 2 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício A massa específica 𝜌 de uma esfera é dada pela expressão que envolve a sua massa 𝑀 e seu diâmetro 𝐷 𝜌𝑀 𝐷 6𝑀 𝜋𝐷3 Calcule os coeficientes de sensibilidade da massa específica para as variáveis 𝑀 e 𝐷 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício A massa específica 𝜌 de uma esfera é dada pela expressão que envolve a sua massa 𝑀 e seu diâmetro 𝐷 𝜌𝑀 𝐷 6𝑀 𝜋𝐷3 Calcule os coeficientes de sensibilidade da massa específica para as variáveis 𝑀 e 𝐷 Resposta Os coeficientes de sensibilidade são 𝜌 𝑀 6 𝜋𝐷3 𝜌 𝐷 18𝑀 𝜋𝐷4 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício A frequência 𝑓 de um circuito elétrico é determinada pela expressão que envolve a sua indutância 𝐿 e a sua capacitância 𝐶 𝑓𝐿 𝐶 1 2𝜋 𝐿𝐶 Calcule os coeficientes de sensibilidade da frequência para as variáveis 𝐿 e 𝐶 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício A frequência 𝑓 de um circuito elétrico é determinada pela expressão que envolve a sua indutância 𝐿 e a sua capacitância 𝐶 𝑓𝐿 𝐶 1 2𝜋 𝐿𝐶 Calcule os coeficientes de sensibilidade da frequência para as variáveis 𝐿 e 𝐶 Resposta Os coeficientes de sensibilidade são 𝑓 𝐿 1 4𝜋 𝐿 3 2 𝐶 1 2 𝑓 𝐶 1 4𝜋 𝐶 3 2 𝐿 1 2 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício A aceleração da gravidade 𝑔 pode ser determinada a partir da medida da simultânea do tempo de queda 𝑡 e da distância percorrida 𝑦 por exemplo por videoanálise por um corpo denso por xemplo uma esfera metálica A partir da equação horária da queda Podemos encontrara a realção que envolve 𝑔 𝑦 e 𝑡 𝑔𝑦 𝑡 2𝑦 𝑡2 Calcule os coeficientes de sensibilidade da aceleração da gravidade para as variáveis 𝑦 e 𝑡 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício A aceleração da gravidade 𝑔 pode ser determinada a partir da medida da simultânea do tempo de queda 𝑡 e da distância percorrida 𝑦 por exemplo por videoanálise por um corpo denso por xemplo uma esfera metálica A partir da equação horária da queda Podemos encontrara a realção que envolve 𝑔 𝑦 e 𝑡 𝑔𝑦 𝑡 2𝑦 𝑡2 Calcule os coeficientes de sensibilidade da aceleração da gravidade para as variáveis 𝑦 e 𝑡 Resposta Os coeficientes de sensibilidade são 𝑔 𝑦 2 𝑡2 𝑔 𝑡 4𝑦 𝑡3 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício O momento angular 𝐿 de um disco uniforme de massa 𝑀 e raio 𝑅 girando com velocidade angular 𝜔 é dado por 𝐿𝑀 𝑅 𝜔 1 2 𝑀𝑅2𝜔 Calcule os coeficientes de sensibilidade do momento angular para as variáveis 𝑀 𝑅 e 𝜔 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício O momento angular 𝐿 de um disco uniforme de massa 𝑀 e raio 𝑅 girando com velocidade angular 𝜔 é dado por 𝐿𝑀 𝑅 𝜔 1 2 𝑀𝑅2𝜔 Calcule os coeficientes de sensibilidade do momento angular para as variáveis 𝑀 𝑅 e 𝜔 Resposta Os coeficientes de sensibilidade são 𝐿 𝑀 1 2 𝑅2𝜔 𝐿 𝑅 𝑀𝑅𝜔 𝐿 𝜔 1 2 𝑀𝑅2 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício Uma máquina de Atwood consiste em duas massas 𝑀 e 𝑚 𝑀 𝑚 presas nas extremidades de um fio que passa por uma roldana leve e sem atrito Quando as massas são abandonadas é fácil verificar que a massa M acelera para baixo com uma aceleração dada por 𝑎𝑀 𝑚 𝑀 𝑚 𝑀 𝑚 𝑔 Calcule os coeficientes de sensibilidade da aceleração para as variáveis 𝑀 e 𝑚 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício Uma máquina de Atwood consiste em duas massas 𝑀 e 𝑚 𝑀 𝑚 presas nas extremidades de um fio que passa por uma roldana leve e sem atrito Quando as massas são abandonadas é fácil verificar que a massa M acelera para baixo com uma aceleração dada por 𝑎𝑀 𝑚 𝑀 𝑚 𝑀 𝑚 𝑔 Calcule os coeficientes de sensibilidade da aceleração para as variáveis 𝑀 e 𝑚 Resposta Os coeficientes de sensibilidade são 𝑎 𝑀 2𝑚 𝑀 𝑚 2 𝑔 𝑎 𝑚 2𝑀 𝑀 𝑚 2 𝑔 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício Se um objeto é posto a uma distância 𝑝 de uma lente e uma imagem é formda a uma distância 𝑞 desta lente a distância focal 𝑓 da lente pode ser determinada pela equação 1 𝑓𝑝 𝑞 1 𝑝 1 𝑞 Calcule os coeficientes de sensibilidade da distância focal para as variáveis 𝑝 e 𝑞 COEFICIENTE DE SENSIBILIDADE DE UMA GRANDEZA Exercício Se um objeto é posto a uma distância 𝑝 de uma lente e uma imagem é formda a uma distância 𝑞 desta lente a distância focal 𝑓 da lente pode ser determinada pela equação 1 𝑓𝑝 𝑞 1 𝑝 1 𝑞 Calcule os coeficientes de sensibilidade da distância focal para as variáveis 𝑝 e 𝑞 Resposta 𝑓 𝑝 1 𝑝2 1 1 𝑝 1 𝑞 2 1 𝑝2 1 1 𝑝 1 𝑞 2 𝑓 𝑝 2 𝑓 𝑞 1 𝑞2 1 1 𝑝 1 𝑞 2 1 𝑞2 1 1 𝑝 1 𝑞 2 𝑓 𝑞 2 DERIVADA TOTAL E REGRA DA CADEIA Considere a função 𝑓 𝑥 𝑦 Até o presente momento estamos tratando as variáveis 𝑥 e 𝑦 como sendo independentes entre si Suponha agora que as variáveis 𝑥 e 𝑦 sejam funções de um outra variável 𝑡 ou seja 𝑥 𝑥𝑡 e 𝑦 𝑦𝑡 Dessa forma a derivada de 𝑓 em relação a variável 𝑡 é chamada de derivada total e é calculada da seguinte maneira 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 DERIVADA TOTAL E REGRA DA CADEIA Considere a função 𝑓 𝑥 𝑦 Até o presente momento estamos tratando as variáveis 𝑥 e 𝑦 como sendo independentes entre si Agora suponha que as variáveis 𝑥 e 𝑦 sejam funções de duas outras variáveis 𝑟 e 𝑠 ou seja 𝑥 𝑥𝑟 𝑠 e 𝑦 𝑦𝑟 𝑠 Dessa forma as derivadas parciais de 𝑓 em relação as variáveis r e 𝑠 são calculadas da da seguinte maneira 𝑓 𝑟 𝑓 𝑥 𝑥 𝑟 𝑓 𝑦 𝑦 𝑟 𝑓 𝑠 𝑓 𝑥 𝑥 𝑠 𝑓 𝑦 𝑦 𝑠 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR As derivadas parciais de primeira ordem de uma função z 𝑓 𝑥 𝑦 em geral são funções deriváveis em 𝑥 e 𝑦 Derivando as derivadas parciais de primeira ordem obtemos as derivadas parciais de segunda ordem Derivando as derivadas parciais de segunda ordem obtemos as derivadas parciais de terceira ordem e assim sucessivamente APROXIMAÇÃO LINEAR Vamos relembrar que a aproximação linear para o caso de uma função de uma variável 𝑓 𝑥 em torno de um ponto 𝑥 𝑥0 é dada por 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑓 𝑥0 𝑑𝑓𝑥0 𝑑𝑥 𝑥 A aproximação linear para o caso de uma função de duas variáveis 𝑓 𝑥 𝑦 em torno do ponto 𝑥0 𝑦0 é dada por 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦 A aproximação linear para o caso de uma função de três variáveis 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 em torno do ponto 𝑥0 𝑦0 𝑧0 é 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 𝑧0 𝑧 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑥 𝑥 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑦 𝑦 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑧 𝑧 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício Use a aproximação linear para calcular 30423982 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício Use a aproximação linear para calcular 30423982 Resposta A aproximação linear para o caso de uma função de duas variáveis 𝑓 𝑥 𝑦 em torno do ponto 𝑥0 𝑦0 é dada por 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦 Para resolver esse problema podemos considerar 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 𝑓 300 004 400 002 300 0042400 0022 30423982 𝑥0 300 𝑦0 400 𝑥 004 𝑦 002 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 300 400 30024002 9 16 25 500 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício Use a aproximação linear para calcular 30423982 Resposta 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0𝑦0 𝑥 𝑥 𝑓𝑥0𝑦0 𝑦 𝑦 Para resolver esse problema podemos considerar 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑥0 300 𝑦0 400 𝑥 004 𝑦 002 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 300 400 30024002 500 𝑓 𝑥𝑦 𝑥 𝑥 𝑥2𝑦2 𝑓 𝑥0𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑥02 𝑦02 3 3242 3 5 𝑓 𝑥𝑦 𝑦 𝑦 𝑥2𝑦2 𝑓 𝑥0𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑥02 𝑦02 4 3242 4 5 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício Use a aproximação linear para calcular 30423982 Resposta Para resolver esse problema podemos considerar 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑥0 300 𝑦0 400 𝑥 004 𝑦 002 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 300 400 30024002 500 𝑓 𝑥0𝑦0 𝑥 3 5 𝑓 𝑥0𝑦0 𝑦 4 5 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑓 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 500 3 5 004 4 5 002 500 0024 0016 5008 Para comparar o valor obtido utilizandose uma calculadora científica é 𝟑 𝟎𝟒𝟐𝟑 𝟗𝟖𝟐 𝟓 𝟎𝟎𝟖𝟏𝟗𝟑𝟐𝟖𝟕 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício A Lei dos Gases Ideais é dada pela equação 𝑃𝑉 𝑛𝑅𝑇 Nesta equação 𝑃 corresponde a pressão a que o gás está submetido quando ocupa o volume 𝑉 sob a temperatura 𝑇 As constantes 𝑛 e 𝑅 correspondem respectivamente ao número de moles e a constante dos gases perfeitos Use a aproximação linear para obter a variação percentual na pressão quando a temperatura de um gás tiver aumentado em 3 e o volume tiver aumentado em 5 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício A Lei dos Gases Ideais é dada pela equação 𝑃𝑉 𝑛𝑅𝑇 Nesta equação 𝑃 corresponde a pressão a que o gás está submetido quando ocupa o volume 𝑉 sob a temperatura 𝑇 As constantes 𝑛 e 𝑅 correspondem respectivamente ao número de moles e a constante dos gases perfeitos Use a aproximação linear para obter a variação percentual na pressão quando a temperatura de um gás tiver aumentado em 3 e o volume tiver aumentado em 5 Resposta 𝑃 𝑇0 𝑇 𝑉0 𝑉 𝑃 𝑇0 𝑉0 𝑃 𝑇0𝑉0 𝑇 𝑇 𝑃𝑇0𝑉0 𝑉 𝑉 𝑃 𝑇0 𝑇 𝑉0 𝑉 𝑃 𝑇0 𝑉0 𝑃 𝑇0 𝑉0 𝑇 𝑇 𝑃𝑇0 𝑉0 𝑉 𝑉 𝑃 𝑃 𝑇0 𝑉0 𝑇 𝑇 𝑃𝑇0 𝑉0 𝑉 𝑉 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício A Lei dos Gases Ideais é dada pela equação 𝑃𝑉 𝑛𝑅𝑇 Nesta equação 𝑃 corresponde a pressão a que o gás está submetido quando ocupa o volume 𝑉 sob a temperatura 𝑇 As constantes 𝑛 e 𝑅 correspondem respectivamente ao número de moles e a constante dos gases perfeitos Use a aproximação linear para obter a variação percentual na pressão quando a temperatura de um gás tiver aumentado em 3 e o volume tiver aumentado em 5 Resposta 𝑃 𝑃 𝑇0𝑉0 𝑇 𝑇 𝑃𝑇0𝑉0 𝑉 𝑉 Como estamos interessados na variação relativa ou seja 𝑃 𝑃0 devemos dividir a equação acima por 𝑃0 𝑃 𝑃0 1 𝑃0 𝑃 𝑇0 𝑉0 𝑇 𝑇 1 𝑃0 𝑃𝑇0 𝑉0 𝑉 𝑉 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício A Lei dos Gases Ideais é dada pela equação 𝑃𝑉 𝑛𝑅𝑇 Nesta equação 𝑃 corresponde a pressão a que o gás está submetido quando ocupa o volume 𝑉 sob a temperatura 𝑇 As constantes 𝑛 e 𝑅 correspondem respectivamente ao número de moles e a constante dos gases perfeitos Use a aproximação linear para obter a variação percentual na pressão quando a temperatura de um gás tiver aumentado em 3 e o volume tiver aumentado em 5 Resposta 𝑃 𝑃0 1 𝑃0 𝑃 𝑇0𝑉0 𝑇 𝑇 1 𝑃0 𝑃𝑇0𝑉0 𝑉 𝑉 Sabemos que 𝑃 𝑇 𝑉 𝑛𝑅 𝑇 𝑉 e assim podemos calcular os dois termos à direita da equação acima 1 𝑃 𝑃 𝑇0𝑉0 𝑇 𝑇 1 𝑛𝑅 𝑉0 𝑇0 𝑛𝑅 𝑉0 𝑇 𝑇 𝑇0 1 𝑃 𝑃 𝑇0𝑉0 𝑉 𝑉 1 𝑛𝑅 𝑉0 𝑇0 𝑛𝑅𝑇0 𝑉02 𝑉 𝑉 𝑉0 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício A Lei dos Gases Ideais é dada pela equação 𝑃𝑉 𝑛𝑅𝑇 Nesta equação 𝑃 corresponde a pressão a que o gás está submetido quando ocupa o volume 𝑉 sob a temperatura 𝑇 As constantes 𝑛 e 𝑅 correspondem respectivamente ao número de moles e a constante dos gases perfeitos Use a aproximação linear para obter a variação percentual na pressão quando a temperatura de um gás tiver aumentado em 3 e o volume tiver aumentado em 5 Resposta Usando os resultados 1 𝑃 𝑃 𝑇0𝑉0 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇0 e 1 𝑃 𝑃 𝑇0𝑉0 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉0 𝑃 𝑃0 𝑇 𝑇0 𝑉 𝑉0 003 005 002 2 Quando a variação percentual na temperatura de um gás tiver aumentado em 3 e o volume tiver aumentado em 5 teremos uma redução na pressão de 2 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício O raio de um cilindro circular reto sofre um aumento percentual variação relativa percentual de 2 e a altura sofre um aumento percentual de 4 Estime a variação percentual no volume APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício O raio de um cilindro circular reto sofre um aumento percentual variação relativa percentual de 2 e a altura sofre um aumento percentual de 4 Estime a variação percentual no volume Resposta 𝑉 𝑅0 𝑅 𝐻0 𝐻 𝑉 𝑅0 𝐻0 𝑉 𝑅0𝐻0 𝑅 𝑅 𝑉 𝑅0𝐻0 𝐻 𝐻 Sabemos que o volume de um cilindro ciruclar reto é dado por 𝑉 𝑅 𝐻 𝜋𝑅2𝐻 𝑉 𝑅0 𝑅 𝐻0 𝐻 𝑉 𝑅0 𝐻0 𝑉 𝑅0 𝐻0 𝑅 𝑅 𝑉 𝑅0 𝐻0 𝐻 𝐻 𝑉 𝑉 𝑅0 𝐻0 𝑅 𝑅 𝑉 𝑅0 𝐻0 𝐻 𝐻 𝑉 𝑉0 1 𝑉0 𝑉 𝑅0 𝐻0 𝑅 𝑅 1 𝑉0 𝑉 𝑅0 𝐻0 𝐻 𝐻 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício O raio de um cilindro circular reto sofre um aumento percentual variação relativa percentual de 2 e a altura sofre um aumento percentual de 4 Estime a variação percentual no volume Resposta 𝑉 𝑉0 1 𝑉0 𝑉 𝑅0𝐻0 𝑅 𝑅 1 𝑉0 𝑉 𝑅0𝐻0 𝐻 𝐻 Sabemos que𝑉 𝑅 𝐻 𝜋𝑅2𝐻 e assim podemos calcular os dois termos à direita da equação acima 1 𝑉0 𝑉 𝑅0 𝐻0 𝑅 𝑅 1 𝜋𝑅0 2𝐻0 2𝜋𝑅0𝐻0 𝑅 2𝑅 𝑅0 1 𝑉0 𝑉 𝑅0 𝐻0 𝐻 𝐻 1 𝜋𝑅0 2𝐻0 𝜋𝑅0 2 𝐻 𝐻 𝐻0 APROXIMAÇÃO LINEAR Exercício O raio de um cilindro circular reto sofre um aumento percentual variação relativa percentual de 2 e a altura sofre um aumento percentual de 4 Estime a variação percentual no volume Resposta Usando os resultados 1 𝑉0 𝑉 𝑅0𝐻0 𝑅 𝑅 2𝑅 𝑅0 e 1 𝑉0 𝑉 𝑅0𝐻0 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻0 𝑉 𝑉0 2𝑅 𝑅0 𝐻 𝐻0 2 002 004 008 8 Quando o raio de um cilindro circular reto sofre um aumento percentual variação relativa percentual de 2 e a altura sofre um aumento percentual de 4 teremos uma variação percentual no volume de 8