Funções Elementares de uma Variável

MATEMÁTICA APLICADA Prof Vitor L B de Jesus FUNÇÕES ELEMENTARES DE UMA VARIÁVEL Professor Vitor L B de Jesus Experiência Acadêmica e Profissional Sou graduado em Física pela UFF 1993 mestre 1996 e doutor 2000 em Física pelo CBPF Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas Eu realizei dois pósdoutorados em física atômica e molecular experimental o primeiro no Laboratório Van de Graaff da PUCRio 20002002 e o segundo no MaxPlanck Institut für Kernphysik em Heidelberg Alemanha 20022004 Atualmente sou professor titular do IFRJ campus Nilópolis Eu atuo no curso de Licenciatura em Física no ensino de física experimental de Mecânica e Física Moderna e no programa de pósgraduação de ensino de ciências PROPECIFRJ Tenho artigos publicados na área de física e ensino de física em revistas nacionais e internacionais publiquei 3 livros dois na área de ensino de física Experiment and Video Analysis in Classical Mechanics Springer 2017 sendo um internacional e um em Física do Estado Sólido Introdução à Física do Estado Sólido 3ª Edição Ed Livraria da Física FUNÇÕES ELEMENTARES DE UMA VARIÁVEL Função real de uma variável real Uma função real de variável real é uma regra que associa elementos do conjunto dos números reais chamado de domínio a elementos de mesmo conjunto dos números reais chamado de contradomínio O elemento 𝑦 que pertence ao conjunto dos números reais chamado imagem associado a um elemento de 𝑥 que também pertence ao conjunto dos números reais chamado domínio pode ser representado por 𝑦 𝑓𝑥 Todos os elementos do domínio têm uma imagem e é única Exemplo A altura de um balão 𝑦 muda com a distância 𝑥 do ponto onde foi solto A partir de observações feitas por uma pessoa a altura do balão dada em metros em função da distância dada em metros pode ser escrita como 𝑦 2𝑥 5 Qual a altura do balão quando este se afasta uma distância de 8 m do ponto onde foi solto Resposta A função pode ser escrita como 𝑦 2𝑥 5 ou 𝑓𝑥 2𝑥 5 Logo 𝑓 8 2 8 5 16 5 21 Logo a altura do balão será de 21 m FUNÇÕES ELEMENTARES DE UMA VARIÁVEL Função real de uma variável real Considerando o exemplo anterior poderíamos ter representado a altura pela letra 𝑎 ao invés da letra 𝑦 Da mesma maneira poderíamos ter usado a letra 𝑑 para representar a distância ao invés da letra 𝑥 E o problema poderia ser descrito da forma Exemplo A altura de um balão 𝑎 muda com a distância 𝑑 do ponto onde foi solto A partir de observações feitas por uma pessoa a altura do balão dada em metros em função da distância dada em metros pode ser escrita como 𝑎 2𝑑 5 Qual a altura do balão quando este se afasta uma distância de 8 m do ponto onde foi solto Resposta A função pode ser escrita como 𝑎 2𝑑 5 ou 𝑓 𝑑 2𝑑 5 Logo 𝑓 8 2 8 5 16 5 21 Logo a altura do balão será de 21 m PLANO CARTESIANO GRÁFICOS No plano desenhase um par de retas ortogonais entre si intersectandose num ponto que e chamado de origem Esse par de eixos serve como referência para os elementos do plano Usualmente chamamos a reta horizontal de eixo das abscissas eixo horizontal ou tambem de eixo x A reta vertical e chamada de eixo da ordenadas eixo vertical ou de eixo y O plano incluindo os eixos de referência é chamado de plano cartesiano e as coordenadas de um ponto nesse plano são chamadas de coordenadas retangulares No plano cartesiano é possível desenhar o gráfico de qualquer função real de variável real Colocase o domínio no eixo das abscissa eixo horizontal e o contradomínio no eixo das ordenadas eixo vertical Os pontos são escritos na forma 𝑥 𝑓𝑥 PLANO CARTESIANO GRÁFICOS É possível desenhar gráficos de funções no plano cartesiano utilizando o papel milimetrado PLANO CARTESIANO GRÁFICOS É possível desenhar gráficos de funções no plano cartesiano utilizando álém do papel milimetrado programas gráficos Um programa muito utilizado e gratuito é chamado Geogebra Existem outros programas como o QtiPlot e SciDAvis Link httpswwwgeogebraorggeometrylangptPT PLANO CARTESIANO GRÁFICOS Considere a função 𝑓 𝑥 𝑥3 2𝑥2 Calcule 𝑓 1 𝑓 0 𝑓 1 𝑓 2 e localize os pontos no gráfico PLANO CARTESIANO GRÁFICOS Considere a função 𝑓 𝑥 𝑥3 2𝑥2 Calcule 𝑓 1 𝑓 0 𝑓 1 𝑓 2 e localize os pontos no gráfico FUNÇÃO DO 1o GRAU Uma função do 1º grau também conhecida como função afim ou função polinomial do 1º grau é uma função real de variavel real definida pela fórmula 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 ou 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 sendo 𝑎 e 𝑏 números reais e ainda 𝑎 0 O gráfico da função do 1º grau corresponde sempre a uma reta O coeficiente 𝑎 é chamado de coeficiente angular Geometricamente este coeficiente corresponde à inclinação da reta utilizando como referência o eixo 𝑥 O coeficiente 𝑏 é chamado de coeficiente linear Corresponde ao valor de 𝑦 quando 𝑥 0 O zero da função corresponde ao valor de 𝑥 em que o valor de 𝑦 muda de sinal Ou seja tratase do valor de 𝑥 que corresponde ao valor de 𝑦 0 A solução desta equação para a função do 1º grau é de resolução simples e corresponde a 𝑥 𝑏 𝑎 FUNÇÃO DO 1o GRAU Quando o coeficiente angular é positivo 𝑎 0 significa que a inclinação da reta é positiva 𝑦 2𝑥 4 Quando o coeficiente angular é negativo 𝑎 0 significa que a inclinação da reta é negativa 𝑦 2𝑥 4 FUNÇÃO DO 1o GRAU Exercícios propostos 1 Desenhe no plano cartesiano o gráfico das seguintes funções 𝑓 𝑥 2𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑥 3 𝑓 𝑥 1 2𝑥 3 2 Uma grandeza 𝑦 é diretamente proporcional a outra grandeza 𝑥 quando a relação 𝑦 𝑥 permanece constante isto é quando 𝑦 𝑎𝑥 para algum número real 𝑎 Nessas condições sabendo que para 𝑥 2 temse 𝑦 6 calcule o valor de 𝑥 para 𝑦 15 FUNÇÃO DO 1o GRAU Respostas 1 Desenhe no plano cartesiano o gráfico das seguintes funções 𝑓 𝑥 2𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑥 3 𝑓 𝑥 1 2𝑥 3 FUNÇÃO DO 1o GRAU Respostas 2 Uma grandeza 𝑦 é diretamente proporcional a outra grandeza 𝑥 quando a relação 𝑦 𝑥 permanece constante isto é quando 𝑦 𝑎𝑥 para algum número real 𝑎 Nessas condições sabendo que para 𝑥 2 temse 𝑦 6 calcule o valor de 𝑥 para 𝑦 15 6 𝑎2 Logo 𝑎 3 Então 𝑦 3𝑥 Para 𝑦 15 temos 15 3𝑥 𝑥 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Uma função quadrática é uma função de variável real definida como 𝑓 𝑥 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 Sendo 𝑎 𝑏 e 𝑐 números reais com 𝑎 0 Exercício Sendo 𝑓 𝑥 𝑥2 2𝑥 3 obtenha 𝑓 2 𝑓 1 𝑓 0 𝑓 1 e 𝑓 2 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Resposta 𝑓 𝑥 𝑥2 2𝑥 3 𝑓 2 222 2 3 4 4 3 15 𝑓 1 122 1 3 1 2 3 6 𝑓 0 022 0 3 0 0 3 3 𝑓 1 122 1 3 1 2 3 2 𝑓 2 222 2 3 4 4 3 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Função quadrática abordagem geométrica 𝑓 𝑥 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 O gráfico de uma função quadrática resulta em uma figura geométrica chamada parábola Toda parábola tem um ponto chamado vértice onde a função muda o sentido de sua variação O vértice da parábola pode ser um ponto de mínimo 𝑎 0 ou ponto de máximo 𝑎 0 O vértice da função quadrática é dado pelas coordenadas 𝑥𝑉 𝑦𝑉 que podem ser obtidos por 𝑥𝑉 𝑏 2𝑎 e 𝑦𝑉 𝑏24𝑎𝑐 4𝑎 4𝑎 O valor é chamado de discriminante da função sendo calculado por 𝑏2 4𝑎𝑐 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Função quadrática abordagem geométrica O vértice pode ser um ponto de mínimo 𝑎 0 concavidade da parábola para cima ou um ponto de máximo 𝑎 0 concavidade da parabola para baixo 𝑓 𝑥 𝑥2 3𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑥2 3𝑥 1 𝑎 0 𝑎 0 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Os zeros ou raízes da função quadrática 𝑓 𝑥 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 Os zeros ou raízes da função polinomial são posições do domínio onde a função pode mudar de sinal Em outras palavras corresponde aos valores de 𝑥 que correspondem a 𝑓 𝑥 0 A equação 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 0 é resolvida pela fórmula abaixo 𝑥 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2𝑎 Quando 0 existem duas raízes reais e distintas Quando 0 existe apenas uma única raiz Quando 0 não existem raízes reais FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Os zeros ou raízes da função quadrática 𝑥 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2𝑎 Quando 0 existem duas raízes reais e distintas Exemplo 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑥 2 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Os zeros ou raízes da função quadrática 𝑥 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2𝑎 Quando 0 existe apenas uma raíz real Exemplo 𝑓 𝑥 𝑥2 2𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑥2 2𝑥 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Os zeros ou raízes da função quadrática 𝑥 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2𝑎 Quando 0 não existem raízes reais Exemplo 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑥 2 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Exercícios Resolva as seguintes equações 1 𝑥2 2𝑥 3 0 2 2𝑥2 5𝑥 4 0 3 Dada a função 𝑦 𝑥2 4𝑥 3 encontre As coordenadas do vértice 𝑥𝑉 𝑦𝑉 As raízes da função O esboço do gráfico da função 4 Uma esfera metálica é lançada verticalmente para cima Suponha que a sua altura ℎ em metros relativamente ao solo 𝑡 segundos após o lançamento seja dada por ℎ 5𝑡2 20𝑡 30 Em que instante a esfera metálica atingirá a altura máxma Qual é a altura máxima atingida pela esfera metálica FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Respostas 1 𝑥2 2𝑥 3 0 𝑎 1 𝑏 2 𝑐 3 𝑏2 4𝑎𝑐 2 2 4 1 3 4 12 16 𝑥 𝑏 2𝑎 2 16 21 2 4 2 1 2 𝑥1 1 2 1 𝑥2 1 2 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Respostas 2 2𝑥2 5𝑥 4 0 𝑎 2 𝑏 5 𝑐 4 𝑏2 4𝑎𝑐 5 2 4 2 4 25 32 7 0 0 Sendo assim não há solução no conjunto dos números reiais FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Respostas 3 Dada a função 𝑦 𝑥2 4𝑥 3 encontre As coordenadas do vértice 𝑥𝑉 𝑦𝑉 𝑎 1 𝑏 4 𝑐 3 𝑏2 4𝑎𝑐 4 2 4 1 3 16 12 4 𝑥𝑉 𝑏 2𝑎 4 2 1 4 2 2 𝑦𝑉 4𝑎 4 4 1 1 𝑥𝑉 𝑦𝑉 2 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Respostas 3 Dada a função 𝑦 𝑥2 4𝑥 3 encontre As raízes da função 𝑎 1 𝑏 4 𝑐 3 𝑏2 4𝑎𝑐 4 2 4 1 3 16 12 4 𝑥 𝑏 2𝑎 4 4 21 4 2 2 2 1 𝑥1 2 1 3 𝑥2 2 1 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Respostas 3 Dada a função 𝑦 𝑥2 4𝑥 3 encontre O esboço do gráfico da função Raízes 𝑥1 3 𝑥2 1 Coordenadas do vértice 𝑥𝑉 𝑦𝑉 2 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Respostas 4 Uma esfera metálica é lançada verticalmente para cima Suponha que a sua altura ℎ em metros relativamente ao solo 𝑡 segundos após o lançamento seja dada por ℎ 5𝑡2 20𝑡 30 Em que instante a esfera metálica atingirá a altura máxma Qual é a altura máxima atingida pela esfera metálica 𝑎 5 𝑏 20 𝑐 30 𝑏2 4𝑎𝑐 20 2 4 5 30 400 600 1000 𝑡𝑉 𝑏 2𝑎 20 2 5 20 10 2 ℎ𝑉 4𝑎 1000 4 5 50 𝑡𝑉 ℎ𝑉 2 50 FUNÇÃO POLINOMIAL Função polinomial de grau m sendo m 3 é dada pela expressão 𝑓 𝑥 𝑎𝑚𝑥𝑚 𝑎𝑚1𝑥𝑚1 𝑎2𝑥2 𝑎1𝑥 𝑎0 Sendo 𝑎𝑚 𝑎𝑚1 𝑎2 𝑎1 são números reais e 𝑎𝑚 0 As demais propriedades e qualidades dessas funções tais como raízes da função sinal gráfico etc dependem do grau e da fórmula de cada uma Exemplo 𝑓 𝑥 𝑥3 2𝑥2 FUNÇÃO POLINOMIAL Exercícios 1 Desenhe o gráfico da função y 𝑥3 2 Considere a função 𝑓 𝑥 𝑥4 4𝑥3 4𝑥2 1 Calcule os valores de 𝑓2 𝑓1 𝑓 0 𝑓1 e 𝑓2 FUNÇÃO POLINOMIAL Respostas 1 Desenhe o gráfico da função y 𝑥3 FUNÇÃO POLINOMIAL Respostas 2 Função 𝑓 𝑥 𝑥4 4𝑥3 4𝑥2 1 Calcule os valores de 𝑓2 𝑓1 𝑓 0 𝑓1 e 𝑓2 𝑓 2 24 4 2 3 4 2 2 1 16 32 16 1 63 𝑓 1 14 4 1 3 4 1 2 1 1 4 4 1 8 𝑓 0 04 4 0 3 4 0 2 1 0 0 0 1 1 𝑓 1 14 4 1 3 4 1 2 1 1 4 4 1 0 𝑓 2 24 4 2 3 4 2 2 1 16 32 16 1 1 POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS Definese potência com expoente inteiro positivo como 𝑏𝑚 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑚 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 sendo 𝑏 chamado de base um número real e 𝑚 chamado de expoente um número inteiro e positivo Definese potência com expoente inteiro negativo como 𝑏𝑚 1 𝑏𝑚 POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS Exercícios Calcule as seguintes potências de expoentes inteiros POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS Respostas POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS E REAIS Definese potência com expoente fracionário 𝑏 𝑚 𝑛 𝑛 𝑏𝑚 sendo 𝑏 chamado de base um número real e 𝑚 𝑛 números inteiros POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS E REAIS Exercícios Calcule as seguintes raízes ou potências de expoentes fracionários POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS E REAIS Respostas PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS Propriedades Para qualquer base 𝑏 sendo 𝑏 um número real o expoente 1 é neutro ou seja 𝑏1 𝑏 Para qualquer base 𝑏 sendo 𝑏 0 o expoente 0 resulta em potência 1 ou seja 𝑏0 1 Considerando expoentes 𝒎 e 𝒏 sendo 𝒎 e 𝒏 números reais temos Produto de potências de mesma base 𝑏𝑚 𝑏𝑛 𝑏𝑚𝑛 Quociente de potências de mesma base 𝑏𝑚 𝑏𝑛 𝑏𝑚 𝑏𝑛 𝑏𝑚𝑛 desde que 𝑏 0 Produto de potências de mesma base 𝑏𝑚 𝑏𝑛 𝑏𝑚𝑛 PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS Propriedades Considerando expoentes 𝒂 e 𝒃 sendo 𝒂 e 𝒃 números reais temos Potência de um produto 𝑎 𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 Potência de um quociente 𝑎 𝑏 𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 desde que 𝑏 0 Potência de potência 𝑏𝑚𝑛 𝑏𝑚𝑛 Se 𝑏𝑚 𝑏𝑛 então 𝑚 𝑛 PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS Exercícios 1 Efetue a operação 4500 00009 e escreva o resultado em notação científica 2 Resolva a equação exponencial 1 3 𝑥 81 3 Resolva a equação exponencial 2 𝑥 64 PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS Respostas 1 Efetue a operação 4500 00009 e escreva o resultado em notação científica PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS Respostas 2 Resolva a equação exponencial 1 3 𝑥 81 PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS Respostas 3 Resolva a equação exponencial 2 𝑥 64 FUNÇÃO EXPONENCIAL A função exponencial é uma função real de variável real definida como 𝑦 𝑏𝑥 ou 𝑓𝑥 𝑏𝑥 Sendo 𝑏 um número real e ainda 𝑏 0 e 𝑏 1 A imagem dessa função exponencial apresenta apenas números positivos visto que são obtidas por cálculos de potências com base positiva Logo por apresentar sempre imagem positiva não possui raízes ou zeros da função e nem apresentam mudança de sinal FUNÇÃO EXPONENCIAL GRÁFICO A função exponencial é uma função real de variável real definida como 𝑦 𝑏𝑥 Como sempre temos 𝑏 0 a função exponencial pode apresentar 0 𝑏 1 ou 𝑏 1 Para o caso em que 0 𝑏 1 O gráfico da função dado por neste exemplo 𝑏 12 FUNÇÃO EXPONENCIAL GRÁFICO A função exponencial é uma função real de variável real definida como 𝑦 𝑏𝑥 Como sempre temos 𝑏 0 a função exponencial pode apresentar 0 𝑏 1 ou 𝑏 1 Para o caso em que 𝑏 1 O gráfico da função dado por neste exemplo 𝑏 2 FUNÇÃO EXPONENCIAL GRÁFICO A função exponencial é uma função real de variável real definida como 𝑦 𝑏𝑥 0 𝑏 1 𝑏 1 Exemplo 𝑏 12 Exemplo 𝑏 2 Observe que em ambos os casos a função exponencial não apresenta raízes não corta o eixo horizontal A função exponencial tende ao infinito para 𝑥 0 e tende a zero para 𝑥 0 se 0 𝑏 1 O inverso ocorre se 𝑏 1 FUNÇÃO EXPONENCIAL GRÁFICO Exercício Desenhe a função 𝑦 2𝑥 FUNÇÃO EXPONENCIAL GRÁFICO Solução Desenhe a função 𝑦 2𝑥 A função 𝑦 2𝑥 pode ser reescrita como 𝑦 2𝑥 21 𝑥 1 2 𝑥 Logo temos 𝑏 12 ou seja 0 𝑏 1 O gráfico corresponde ao exemplo 𝑏 12 A FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE e Um exemplo de função exponencial de base 𝒆 𝑦 𝑒𝑥 O número 𝑒 é dado por 𝑒 2718281828459045 A definição do número 𝑒 é dada pelo limite fundamental 𝑒 lim 𝑛 1 1 𝑛 𝑛 𝑦 𝑒𝑥 𝑦 𝑒𝑥 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO Calcular o logaritmo de log𝑏 𝑟 𝑥 é equivalente a resolver a equação exponencial 𝑏𝑥 𝑟 Em outras palavras log𝑏 𝑟 𝑥 𝑏𝑥 𝑟 O número 𝑏 é um número real e é chamado de base do logaritmo O número 𝑟 é um número real e é chamado de argumento O número 𝑥 é chamado de logaritmo de 𝒓 na base 𝒃 Para que exista o logaritmo é necesário que as seguintes condições sejam preenchidas O argumento deve satisfazer a condição 𝑟 0 A base deve satisfazer simultaneamente as condições 𝑏 0 e 𝑏 1 O logaritmo de um número na base que é ele mesmo sempre resulta em 1 log𝑏 𝑏 1 O logaritmo de 1 em qualquer base sempre resulta em 0 log𝑏 1 0 LOGARITMO Exercícios Calcule os seguintes logaritmos LOGARITMO Respostas Calcule os seguintes logaritmos PROPRIEDADES DE LOGARITMOS Logaritmo do produto log𝑏 𝑚 𝑛 log𝑏 𝑚 log𝑏 𝑛 Logaritmo do quociente log𝑏 𝑚 𝑛 log𝑏 𝑚 log𝑏 𝑛 desde que n 0 Logaritmo da potência log𝑏 𝑚𝑛 𝑛 log𝑏 𝑚 Logaritmo como operação inversa da exponenciação na mesma base log𝑏 𝑏𝑛 𝑛 A exponenciação enquanto operação inversa do logaritmo na mesma base 𝑏log𝑏 𝑛 𝑛 PROPRIEDADES DE LOGARITMOS Lei do cancelamento Se log𝑏 𝑚 log𝑏 𝑛 logo 𝑚 𝑛 Mudança de uma base 𝑏 para uma base 𝑎 log𝑏 𝑚 log𝑎 𝑚 log𝑎 𝑏 Logaritmo decimal base 10 Se 𝑏 10 Podemos escrever log10 𝑚 simplesmente como log 𝑚 Logaritmo natural base 𝑒 Se 𝑏 𝑒 Podemos escrever log𝑒 𝑚 simplesmente como ln 𝑚 PROPRIEDADES DE LOGARITMOS PROPRIEDADES DE LOGARITMOS PROPRIEDADES DE LOGARITMOS FUNÇÃO LOGARITMO Uma função logaritmo é uma função real de variável real que pode ser escrita por 𝑦 log𝑏 𝑥 Sendo 𝑏 um número real e ainda 𝑏 0 e 𝑏 1 O domínio da função logaritmo só poderá estar compreendido entre zero e mais infinito O contradomínio corresponde a todo conjunto dos números reais FUNÇÃO LOGARITMO GRÁFICO A função logaritmo é uma função real de variável real definida como 𝑦 log𝑏 𝑥 0 𝑏 1 𝑏 1 Exemplo 𝑏 12 Exemplo 𝑏 2 OBS A função logaritmo e a função exponencial são inversas entre si FUNÇÃO LOGARITMO FUNÇÃO EXPONENCIAL APLICAÇÃO FUNÇÃO LOGARITMO FUNÇÃO EXPONENCIAL APLICAÇÃO TEOREMA DE PITÁGORAS Abaixo representamos o triângulo retângulo DEFINIÇÃO DO NÚMERO PI O número 𝝅 COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA O comprimento de uma circunferência de raio 𝑅 é dado pela seguinte expressão 𝐶 2𝜋𝑅 Considerando uma circunferência de raio unitário ou seja 𝑅 1 teremos seu comprimento dado por 2𝜋 O arco que corresponde a metade desta circunferência pode ser medido em radianos ou seja o comprimento do arco desta circunferência de raio unitário Para o caso do arco correspondente a meia circunferência teremos 𝜋 radianos O arco correspondente a ¼ de circunferência corresponde a 𝜋2 radianos O equivalente em graus seria 90 graus Por uma simples regra de três Podemos relacionar a medida angular em graus com aquela definida acima em radianos Ou seja 2𝜋 radianos equivale a 360 graus CIRCUNFERÊNCIA UNITÁRIA A figura abaixo rerpresenta o arco de um quarto de volta em uma circunferência unitária no sentido positiovo CIRCUNFERÊNCIA UNITÁRIA A circunferência unitária está representada na figura abaixo SENO E COSSENO REPRESENTADOS NA CIRCUNFERÊNCIA UNITÁRIA Representando seno e cosseno na circunferência unitária SENO E COSSENO REPRESENTADOS NA CIRCUNFERÊNCIA UNITÁRIA Representando seno e cosseno na circunferência unitária x cosx senx TAGENTE REPRESENTADA NA CIRCUNFERÊNCIA UNITÁRIA Representando tangente na circunferência unitária TAGENTE REPRESENTADA NA CIRCUNFERÊNCIA UNITÁRIA Representando tangente na circunferência unitária x cosx senx tan tanx A FUNÇÃO SENO Representando a função seno graficamente A FUNÇÃO COSSENO Representando a função cosseno graficamente A FUNÇÃO TANGENTE Representando a função tagnente graficamente