Noções Básicas de Limites de Funções

MATEMÁTICA APLICADA Prof Vitor L B de Jesus NOÇÕES BÁSICAS DE LIMITES DE FUNÇÕES Limite de uma função real de uma variável real Em várias áreas da ciência existe a necessidade de se avaliar qual o comportamento de uma dada função representada por 𝑦 𝑓𝑥 quando o valor da varável independente 𝑥 se aproxima de um valor específico valor 𝑎 Podemos descrever matematicamente como sendo lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 que se lê da seguinte forma limite de 𝑓𝑥 qunado 𝑥 tende a 𝑎 Observe a função 𝑦 𝑥2 e tende responder a seguinte pergunta qual o limite de 𝑥2 qunado 𝑥 tende a 2 Matematicamente a pergunta deve ser escrita da seguinte forma Qual o valor de lim 𝑥2 𝑥2 NOÇÕES BÁSICAS DE LIMITES DE FUNÇÕES Limite de uma função real de uma variável real Observe a função 𝑦 𝑥2 e tende responder a seguinte pergunta qual o limite de 𝑥2 qunado 𝑥 tende a 2 Matematicamente a pergunta deve ser escrita da seguinte forma Qual o valor de lim 𝑥2 𝑥2 L lim 𝑥2 𝑥2 4 𝛿𝑥 02 𝛿𝑦 08 NOÇÕES BÁSICAS DE LIMITES DE FUNÇÕES Limite de uma função real de uma variável real Qual o valor de lim 𝑥2 𝑥2 L lim 𝑥2 𝑥2 4 Na forma geral o limite de uma função qualquer pode ser escrito como lim 𝑥𝑎 𝑓 𝑥 𝐿 No exemplo dado temos 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑎 2 𝐿 4 Este exemplo mostra que quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 ou seja 𝑥 𝑎 a função 𝑓𝑥 se aproxima de 𝐿 Então 𝑥 2 a função 𝑓 𝑥 𝑥2 se aproxima de 4 𝛿𝑥 02 𝛿𝑦 08 NOÇÕES BÁSICAS DE LIMITES LATERAIS DE FUNÇÕES Limite lateral A diferença entre limite e limite lateral está no modo como os valores de 𝑥 se aproximam de um número 𝑎 Quando a aproximação ocorre exclusivamente por valores menores do que 𝑎 dizemos que 𝑥 tende a 𝑎 pela esquerda lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 Quando a aproximação ocorre exclusivamente por valores maiores do que 𝑎 dizemos que 𝑥 tende a 𝑎 pela direita lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝛿𝑥 02 𝛿𝑦 08 NOÇÕES BÁSICAS DE LIMITES LATERAIS DE FUNÇÕES Limite lateral A diferença entre limite e limite lateral está no modo como os valores de 𝑥 se aproximam de um número 𝑎 No exemplo que damos temos 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑎 2 𝐿 4 O limite pela esquerda é lim 𝑥2 𝑥2 4 O limite pela direita é lim 𝑥2 𝑥2 4 É possível que os limites pela direita e pela esquerda sejam diferentes Não é o caso utilizado neste exemplo Funções descontínuas podem apresentar tais resultados 𝛿𝑥 02 𝛿𝑦 08 ALGUNS EXEMPLOS ALGUNS EXEMPLOS FUNÇÕES CONTÍNUAS Para que uma função seja considerada contínua explicando de maneira bem informal podemos considerar que é a função em que o seu gráfico pode ser desenhado sem que se tire a caneta do papel formando uma linha bem comportada sem interrupções por saltos ou furos ou ainda assíntotas verticais A definição de continuidade num ponto exige que a função possa ser calculada nesse ponto que o limite da função exista nesse ponto e ainda que esses valores coincidam A seguir mostraremos alguns exemplos de funções contínuas e descontínuas FUNÇÕES CONTÍNUAS Função CONTÍNUA 𝑓 𝑥 𝑥3 2𝑥 3 FUNÇÕES CONTÍNUAS Função DESCONTÍNUA em 𝑥 0 𝑓 𝑥 16 𝑥 FUNÇÕES CONTÍNUAS Função CONTÍNUA FUNÇÕES CONTÍNUAS Função DESCONTÍNUA em 𝑡 2 FUNÇÕES CONTÍNUAS Função DESCONTÍNUA Tipo Furo ou Salto em 𝑥 1 FUNÇÕES CONTÍNUAS Função DESCONTÍNUA Tipo Furo ou Salto em 𝑥 2 FUNÇÕES CONTÍNUAS Função DESCONTÍNUA Tipo Furo ou Salto em 𝑥 1 FUNÇÕES CONTÍNUAS Função DESCONTÍNUA Tipo Furo ou Salto em 𝑡 1 e 𝑡 1 QUOCIENTE INCREMENTAL COEFICIENTE ANGULAR Quociente incremental coeficiente angular pode ser definido entre quaisquer dois pontos no plano cartesiano QUOCIENTE INCREMENTAL COEFICIENTE ANGULAR QUOCIENTE INCREMENTAL COEFICIENTE ANGULAR 𝑦 𝑥 1 QUOCIENTE INCREMENTAL COEFICIENTE ANGULAR b Intervalo 𝑥0 1 e 𝑥1 2 𝑦 𝑥 7 QUOCIENTE INCREMENTAL COEFICIENTE ANGULAR CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL Cálculo diferencial de funções de uma variável Considere a função 𝑦 𝑓𝑥 e escolha um ponto fixo 𝑥0 O que acontece quando calculamos o coeficiente incremental 𝑦 𝑥 a partir de um ponto qualquer 𝑥1 considerando que este ponto agora chamado de 𝑥 possa se aproximar de 𝑥0 o quanto se queira Isso torna 𝑥 cada vez menor até o limite em que o denominador do quociente incremental tende para zero ou seja 𝑥 0 Dessa forma o coeficiente incremental pode ser escrito como CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL Um exemplo Calcule o coeficiente incremental 𝑦 𝑥 da função 𝑓 𝑥 𝑥3 e escolha um ponto fixo por exemplo 𝑥0 1 com valores para 𝑥 cada vez menores Observe que para este caso temos o coeficiente incremental tendendo para 3 lim 𝑥0 𝑦 𝑥 3 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO Derivada de uma função em um ponto definição Considere uma função 𝑓 𝑥 em um ponto 𝑥 𝑥0 A derivada de 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥 𝑥0 é representada por 𝑓 𝑥0 sendo calculada pelo seguinte limite 𝑓 𝑥0 lim 𝑥𝑥0 𝑓 𝑥 𝑓𝑥0 𝑥 𝑥0 Que também pode ser escrito como 𝑓 𝑥0 lim ℎ0 𝑓 𝑥0 ℎ 𝑓𝑥0 ℎ DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO Derivada de uma função em um ponto exemplo Considere uma função 𝑓 𝑥 𝑥2 em um ponto 𝑥0 1 Calcule a derivada caso exista de 𝑓 𝑥 em ou seja calcule 𝑓 𝑥0 Resposta utilizando a forma 𝑓 𝑥0 lim ℎ0 𝑓 𝑥0 ℎ 𝑓𝑥0 ℎ lim ℎ0 1 ℎ 2 12 ℎ lim ℎ0 12 2 1 ℎ ℎ2 12 ℎ lim ℎ0 1 2 ℎ ℎ2 1 ℎ lim ℎ0 2 ℎ ℎ2 ℎ lim ℎ0 2 ℎ ℎ ℎ2 ℎ lim ℎ0 2 ℎ 2 O resultado da derivada é 𝑓 1 2 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO Derivada de uma função em um ponto exemplo Considere uma função 𝑓 𝑥 𝑥3 em um ponto 𝑥0 2 Calcule a derivada caso exista de 𝑓 𝑥 em ou seja calcule 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0 lim ℎ0 𝑓 𝑥0 ℎ 𝑓𝑥0 ℎ lim ℎ0 2 ℎ 3 23 ℎ lim ℎ0 23 3 22 ℎ 3 2 ℎ2 ℎ3 23 ℎ lim ℎ0 3 22 ℎ 3 2 ℎ2 ℎ3 ℎ lim ℎ012 6 ℎ ℎ2 12 O resultado da derivada é 𝑓 2 12 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO Derivada de uma função em um ponto exemplo Considere uma função 𝑓 𝑥 em um ponto 𝑥0 O valor de 𝑓 𝑥0 é pode ser interpretado como sendo o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥0 𝑓 𝑥0 INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DA DERIVADA DA POSIÇÃO COMO FUNÇÃO DO TEMPO Derivada da função posição interpretação cinemática Considere uma função posição de uma partícula 𝑠 𝑡 em um ponto 𝑡 𝑡0 A derivada de 𝑠 𝑡 no ponto 𝑡 𝑡0 é representada por 𝑠 𝑡0 sendo calculada pelo seguinte limite 𝑠 𝑡0 lim 𝑡𝑡0 𝑠 𝑡 𝑠𝑡0 𝑡 𝑡0 Que também pode ser escrito como 𝑠 𝑡0 lim 𝑡0 𝑠 𝑡0 𝑡 𝑠𝑡0 𝑡 lim 𝑡0 𝑠 𝑡 𝑣𝑡0 A velocidade instantânea pode ser interpretada como sendo a derivada da equação horária que corresponde a posição de uma partícula em função do tempo INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DA DERIVADA DA POSIÇÃO COMO FUNÇÃO DO TEMPO Derivada de uma função em um ponto exemplo Considere uma função 𝑠 𝑡 𝑡2 em um instante de tempo 𝑡0 1 Calcule a velocidade instante de tempo 𝑡0 1 Unidades do SI Resposta utilizando a forma 𝑠 𝑡0 lim 𝑡0 𝑠 𝑡0 𝑡 𝑠𝑡0 𝑡 lim 𝑡0 1 𝑡 2 12 𝑡 lim 𝑡0 12 2 1 𝑡 𝑡2 12 𝑡 lim 𝑡0 1 2 𝑡 𝑡2 1 𝑡 lim 𝑡0 2 𝑡 𝑡2 𝑡 lim 𝑡0 2 𝑡 𝑡 𝑡2 𝑡 lim 𝑡0 2 𝑡 2 Logo a velocidade em 𝑡0 1 é dada por 𝑣 1 𝑠 1 2 A inclinação da reta indica o valor da velocidade no instante de tempo 𝑡0 1 INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DA DERIVADA DA POSIÇÃO COMO FUNÇÃO DO TEMPO Derivada de uma função em um ponto exemplo Considere uma função 𝑠 𝑡 𝑡2 em um instante de tempo 𝑡0 1 Calcule a velocidade instante de tempo 𝑡0 1 Unidades do SI Resposta utilizando a forma 𝑠 𝑡0 lim 𝑡0 𝑠 𝑡0 𝑡 𝑠𝑡0 𝑡 lim 𝑡0 1 𝑡 2 12 𝑡 lim 𝑡0 12 2 1 𝑡 𝑡2 12 𝑡 lim 𝑡0 1 2 𝑡 𝑡2 1 𝑡 lim 𝑡0 2 𝑡 𝑡2 𝑡 lim 𝑡0 2 𝑡 𝑡 𝑡2 𝑡 lim 𝑡0 2 𝑡 2 Logo a velocidade em 𝑡0 1 é dada por 𝑣 1 𝑠 1 2 A inclinação da reta indica o valor da velocidade no instante de tempo 𝑡0 1 INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DA DERIVADA DA POSIÇÃO COMO FUNÇÃO DO TEMPO Derivada de uma função em um ponto exemplo Considere uma função 𝑠 𝑡 𝑡2 em um instante de tempo 𝑡0 1 Calcule a velocidade instante de tempo 𝑡0 1 Unidades do SI Resposta utilizando a forma 𝑠 𝑡0 lim 𝑡0 𝑠 𝑡0 𝑡 𝑠𝑡0 𝑡 lim 𝑡0 1 𝑡 2 12 𝑡 2 Logo a velocidade em 𝑡0 1 é dada por 𝑣 1 𝑠 1 2 IMPORTANTE Observe que nas proximidades de 𝑡0 1 a inclinação da reta tangente se aproxima muito da própria função A inclinação da reta indica o valor da velocidade no instante de tempo 𝑡0 1 APROIXMAÇÃO LINEAR Aproximação linear de uma dada função Considere uma função 𝑓 𝑥 A definição de derivada de 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥 𝑥0 é dada por 𝑓 𝑥0 lim 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑓𝑥0 𝑥 Considerando um valor de 𝑥 suficientemente pequeno Podemos escrever a seguinte aproximação linear para a função 𝑓 𝑥 em torno do ponto 𝑥 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑓𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑥 APROIXMAÇÃO LINEAR Aproximação linear de uma dada função Considere uma função 𝑠 𝑡 𝑡2 em um instante de tempo 𝑡0 1 Unidades do SI A velocidade no instante de tempo 𝑡0 1 é dada por 𝑣 𝑡0 1 𝑠 𝑡0 1 lim 𝑡0 𝑠 𝑡0 𝑡 𝑠𝑡0 𝑡 lim 𝑡0 1 𝑡 2 12 𝑡 2 IMPORTANTE Observe que nas proximidades de 𝑡0 1 a inclinação da reta tangente se aproxima muito da própria função Utilizando a aproximação linear 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑓𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑥 Podemos escrever 𝑠 𝑡0 𝑡 𝑠𝑡0 𝑠 𝑡0 𝑡 Podemos escrever 𝑠 𝑡0 𝑡 𝑠𝑡0 𝑣 𝑡0 𝑡 Podemos escrever 𝑠 1 𝑡 𝑠1 𝑣 1 𝑡 1 2 𝑡 A inclinação da reta indica o valor da velocidade no instante de tempo 𝑡 𝑡0 SINAL DA FUNÇÃO DERIVADA IMPORTÂNCIA O sinal da derivada da função fornece uma valiosa informação sobre sua variação em um ponto 𝑥0 Se 𝑓 𝑥0 0 então 𝑓 𝑥0 é crescente em 𝑥0 Se 𝑓 𝑥0 0 então 𝑓 𝑥0 é decrescente em 𝑥0 Se 𝑓 𝑥0 0 então 𝑥0 é considerado um ponto crítico Esse ponto crítico pode ser um ponto de máximo um ponto de mínimo ou um ponto de inflexão Isso pode ser definido através do conhecimento do valor da derivada segunda em outras palavras a derivada da derivada de 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0 em 𝑥0 Se 𝑓 𝑥0 0 então 𝑥0 é um ponto de mínimo local Se 𝑓 𝑥0 0 então 𝑥0 é um ponto de máximo local Se 𝑓 𝑥0 0 então 𝑥0 é um ponto de inflexão local SINAL DA FUNÇÃO DERIVADA IMPORTÂNCIA Identifique os pontos no gráfico abaixo COMO CALCULAR A DERIVADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES Função do primeiro grau Considere uma função 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 e calcule a derivada caso exista de 𝑓 𝑥 em ou seja calcule 𝑓 𝑥 Resposta utilizando a forma 𝑓 𝑥 lim ℎ0 𝑓 𝑥 ℎ 𝑓𝑥 ℎ lim ℎ0 𝑎 𝑥 ℎ 𝑏 𝑎𝑥 𝑏 ℎ lim ℎ0 𝑎𝑥 𝑎ℎ 𝑏 𝑎𝑥 𝑏 ℎ 𝑓 𝑥 lim ℎ0 𝑎ℎ ℎ lim ℎ0 𝑎 𝑎 O resultado da derivada é 𝑓 𝑥 𝑎 IMPORTANTE Se a função for uma constante por exemplo se 𝑎 0 teremos como derivada de uma constante o valor ZERO Ou seja se 𝑓 𝑥 𝑏 temos 𝑓 𝑥 0 COMO CALCULAR A DERIVADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES Função do segundo grau Considere uma função 𝑓 𝑥 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 e calcule a derivada caso exista de 𝑓 𝑥 em ou seja calcule 𝑓 𝑥 Resposta utilizando a forma 𝑓 𝑥 lim ℎ0 𝑓 𝑥 ℎ 𝑓𝑥 ℎ lim ℎ0 𝑎 𝑥 ℎ 2 𝑏 𝑥 ℎ 𝑐 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 ℎ 𝑓 𝑥 lim ℎ0 2𝑎𝑥ℎ 𝑎ℎ2 𝑏ℎ ℎ lim ℎ0 2𝑎𝑥 𝑎ℎ 𝑏 2𝑎𝑥 𝑏 O resultado da derivada é 𝑓 𝑥 2𝑎𝑥 𝑏 COMO CALCULAR A DERIVADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES Uma função do terceiro grau Considere uma função 𝑓 𝑥 𝑥3 e calcule a derivada caso exista de 𝑓 𝑥 em ou seja calcule 𝑓 𝑥 Resposta utilizando a forma 𝑓 𝑥 lim ℎ0 𝑓 𝑥 ℎ 𝑓𝑥 ℎ lim ℎ0 𝑥 ℎ 3 𝑥3 ℎ lim ℎ0 𝑥 ℎ 𝑥 ℎ 2𝑥3 ℎ lim ℎ0 𝑥 ℎ𝑥2 2𝑥ℎ ℎ2 𝑥3 ℎ 𝑓 𝑥 lim ℎ0 𝑥3 3𝑥ℎ2 3𝑥2ℎ ℎ3 𝑥3 ℎ lim ℎ0 3𝑥ℎ 3𝑥2 ℎ2 3𝑥2 O resultado da derivada é 𝑓 𝑥 3𝑥2 COMO CALCULAR A DERIVADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES Uma função polinomial de grau n Considere uma função 𝑓 𝑥 𝑥𝑛 e calcule a derivada caso exista de 𝑓 𝑥 em ou seja calcule 𝑓 𝑥 Resposta utilizando a forma 𝑓 𝑥 lim ℎ0 𝑓 𝑥 ℎ 𝑓𝑥 ℎ lim ℎ0 𝑥 ℎ 𝑛 𝑥𝑛 ℎ 𝑛𝑥𝑛1 O resultado da derivada é 𝑓 𝑥 𝑛𝑥𝑛1 REGRA DA CADEIA DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA Derivada de função composta Considere uma função 𝑦 como sendo uma função composta por duas funções Existe um função 𝑢 𝑥 dentro de uma função 𝑓 𝑢 que pode ser escrita como 𝑓 𝑢𝑥 Como se calcula essa derivada Resposta utilizando a forma 𝑓 𝑢𝑥 lim ℎ0 𝑓𝑢 𝑥 ℎ 𝑓𝑢 𝑥 ℎ lim ℎ0 𝑓𝑢 𝑥 ℎ 𝑓𝑢 𝑥 𝑢 𝑥 ℎ 𝑢𝑥 𝑢 𝑥 ℎ 𝑢 𝑥 ℎ 𝑓 𝑢𝑥 lim ℎ0 𝑓𝑢 𝑥 ℎ 𝑓𝑢 𝑥 𝑢 𝑥 ℎ 𝑢𝑥 lim ℎ0 𝑢 𝑥 ℎ 𝑢 𝑥 ℎ Considere que o primeiro limite poderia estar escrito como 𝑢 0 já que quando ℎ 0 temos 𝑢 0 REGRA DA CADEIA DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA Derivada de função composta Considere uma função 𝑦 como sendo uma função composta por duas funções Existe um função 𝑢 𝑥 dentro de uma função 𝑓 𝑢 que pode ser escrita como 𝑓 𝑢𝑥 Como se calcula essa derivada 𝑓 𝑢𝑥 lim 𝑢0 𝑓𝑢 𝑢 𝑓𝑢 𝑢 lim ℎ0 𝑢 𝑥 ℎ 𝑢 𝑥 ℎ 𝑓 𝑢 𝑢 𝑥 O resultado da derivada composta é conhecido como regra da cadeia 𝑓 𝑢𝑥 𝑓 𝑢 𝑢 𝑥 DERIVADAS SUCESSIVAS Derivadas sucessivas A derivada de uma função 𝑓 𝑥 é escrita como 𝑓 𝑥 Podemos derivar 𝑓 𝑥 e obtemos o que se chama de derivada segunda que é represetada por 𝑓 𝑥 Podemos derivar 𝑓 𝑥 e obtemos o que se chama de derivada terceira que é represetada por 𝑓 𝑥 Podemos prosseguir sucessivamente com este processo obtendo 𝑓4 𝑥 𝑓5 𝑥 𝑓𝑛 𝑥 TABELA COM AS PRINCIPAIS DERIVADAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES Principais derivadas de funções elementares TABELA COM AS PRINCIPAIS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Principais propriedades operatórias REGRA DA CADEIA INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA DA DERIVADA SEGUNDA DA POSIÇÃO COMO FUNÇÃO DO TEMPO Derivada segunda da função posição interpretaçãocinemática A aceleração média no intervalo de tempo 𝑡 𝑡0 a 𝑡 𝑡1 é dada por 𝑎𝑚 𝑣 𝑡 𝑣 𝑡1 𝑣𝑡0 𝑡1 𝑡0 A aceleração instantânea no intervalo de tempo 𝑡 𝑡0 definese por 𝑎𝑚 lim 𝑡0 𝑣 𝑡 lim 𝑡0 𝑣 𝑡 𝑣𝑡0 𝑡 𝑡0 De acordo com a definição acima a aceleração instantânea é obtida a partir da derivada da velocidade Ou seja 𝑎 𝑡 𝑣𝑡 Sendo a velocidade instantânea correspondente a derivada da função posição temos que 𝑎 𝑡 𝑣 𝑡 𝑠𝑡 Isso mostra que a acelração instantânea corresponde a derivada segunda em relação ao tempo da função posição DIFERENTES NOTAÇÕES PARA EXPRESSAR A DERIVADA Derivada e suas notações mais comuns A derivda da função 𝑦 𝑓𝑥 pode ser descrita como 𝑦 𝑓 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑓𝑥 𝑑𝑥 A derivda segunda da função 𝑦 𝑓𝑥 pode ser descrita como 𝑦 𝑓 𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑2𝑓𝑥 𝑑𝑥2 A regra da cadeia aplicada a função 𝑦 𝑓𝑢𝑥 pode ser escrita de outra forma 𝑦 𝑓 𝑢 𝑢 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑓𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢𝑥 𝑑𝑥 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável Imagine duas grandezas físicas 𝑥 e 𝑦 sendo a grandeza física 𝑦 dependente da grandeza física 𝑥 Imagine ainda que seja possível escrever matematicamente esta dependência como uma função 𝑦 𝑓 𝑥 Suponha ainda que a grandeza física 𝑥 possua uma incerteza 𝛿𝑥 Como podemos estimar a incerteza 𝛿𝑦 associada a grandeza física 𝑦 Uma pequena variação da grandeza 𝑥 implica em uma variação da grandeza 𝑦 quepode ser estimada a partir da derivada de 𝑦 A derivda da função 𝑦 𝑓𝑥 pode ser descrita como 𝑑𝑦 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑥 A variação da grandeza 𝑦 pode ser descrita como 𝛿𝑦 𝑓 𝑥 𝛿𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝛿𝑥 O termo 𝑑𝑓 𝑑𝑥 é conhecido como coeficiente de sensibilidade PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável Considere a função posição de um objeto em queda livre 𝑦 𝑓 𝑡 5𝑡2 A derivda da função 𝑦 𝑓𝑡 pode ser descrita como 𝑑𝑦 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 10𝑡 𝑑𝑡 A variação da grandeza 𝑦 pode ser descrita como 𝛿𝑦 𝑑𝑦 𝑓 𝑡 𝛿𝑡 10𝑡 𝛿𝑡 𝛿𝑦 10𝑡 𝛿𝑡 O coeficiente de sensibilidade associado a grandeza 𝑡 é dado por 𝑑𝑓 𝑑𝑥 10𝑡 Observe que se a incerteza associada a medida de qualquer instante de tempo for constante no caso da queda livre teremos uma variação linear crescente da incerteza da altura com aumento do instante de tempo em questão PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável Considere a função posição de um objeto em queda livre 𝑦 𝑓 𝑡 5𝑡2 A variação da grandeza 𝑦 pode ser descrita como 𝛿𝑦 10𝑡 𝛿𝑡 Imagine que a medida de tempo possua uma incerteza de 𝛿𝑡 001 s e gostaríamos de saber qual seria a incerteza associada a altura de queda desse objeto 𝛿𝑦 no instante de tempo 𝑡 1 s A incerteza associada a grandeza 𝑦 no instante de tempo 𝑡 1 s é 𝛿𝑦 10𝑡 𝛿𝑡 10 1 001 01 m Nessa medida da queda livre de um objeto o valor da posição 𝑦 𝑓 1 5 12 50 m terá uma incerteza associdada de 𝛿𝑦 01 m PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável Considere a função posição de um objeto em queda livre 𝑦 𝑓 𝑡 5𝑡2 A variação da grandeza 𝑦 pode ser descrita como 𝛿𝑦 10𝑡 𝛿𝑡 Imagine que a medida de tempo possua uma incerteza de 𝛿𝑡 001 s e gostaríamos de saber qual seria a incerteza associada a altura de queda desse objeto 𝛿𝑦 no instante de tempo 𝑡 2 s A incerteza associada a grandeza 𝑦 no instante de tempo 𝑡 2 s é 𝛿𝑦 10𝑡 𝛿𝑡 10 2 001 02 m Nessa medida da queda livre de um objeto o valor da posição 𝑦 𝑓 2 5 22 200 m terá uma incerteza associdada de 𝛿𝑦 02 m PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável Considere a função posição de um objeto em queda livre 𝑦 𝑓 𝑡 5𝑡2 A variação da grandeza 𝑦 pode ser descrita como 𝛿𝑦 10𝑡 𝛿𝑡 Incerteza de 𝛿𝑡 001 s A incerteza associada a grandeza 𝑦 no instante de tempo 𝑡 1 s é 𝛿𝑦 10𝑡 𝛿𝑡 10 1 001 01 m O valor da posição 𝑦 𝑓 1 5 12 50 m terá uma incerteza associdada de 𝛿𝑦 01 m PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável Considere a função posição de um objeto em queda livre 𝑦 𝑓 𝑡 5𝑡2 A variação da grandeza 𝑦 pode ser descrita como 𝛿𝑦 10𝑡 𝛿𝑡 Incerteza de 𝛿𝑡 001 s A incerteza associada a grandeza 𝑦 no instante de tempo 𝑡 2 s é 𝛿𝑦 10𝑡 𝛿𝑡 10 2 001 02 m O valor da posição 𝑦 𝑓 2 5 22 200 m terá uma incerteza associdada de 𝛿𝑦 02 m PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável O valor da posição 𝑦 𝑓 1 5 12 50 m O valor da posição 𝑦 𝑓 2 5 22 200 m terá uma incerteza associdada de 𝛿𝑦 01 m terá uma incerteza associdada de 𝛿𝑦 02 m PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável Considere um transdutor que mede a tempratura como função da resistência elétrica tenha a seguinte função de dependência da temperatura 𝑇 com a resistência 𝑅 𝑇𝑅 3𝑅12 A variação da função 𝑇𝑅 pode ser descrita como 𝑑𝑇 𝑇 𝑅 𝑑𝑅 3 2𝑅12 𝑑𝑅 A variação da grandeza 𝑇 pode ser descrita como 𝛿𝑇 𝑑𝑇 𝑇 𝑅 𝛿𝑅 3 2𝑅12 𝛿𝑅 𝛿𝑇 3 2𝑅12 𝛿𝑅 O coeficiente de sensibilidade associado a grandeza 𝑅 é dado por 𝑑𝑇 𝑑𝑅 3 2𝑅12 Observe que a incerteza associada a medida da temperatura é reduzida com o aumento da resistência elétrica PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável A dependência da tempratura com a resistência é dada por 𝑇𝑅 3𝑅12 O coeficiente de sensibilidade é dado por 𝑑𝑇 𝑑𝑅 3 2𝑅12 oC O valor da temperatura 𝑇 para 𝑅 1 é dado por 𝑇 1 3 1 1 2 3 oC O coeficiente de sensibilidade para 𝑅 1 é dado por 𝑑𝑇 𝑑𝑅 3 2𝑅12 3 2 oC Se a incerteza associada para a resistência for 𝛿𝑅 002 Terá uma incerteza associada 𝛿𝑇 3 2𝑅12 𝛿𝑅 3 2 002 0030 oC PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável A dependência da tempratura com a resistência é dada por 𝑇𝑅 3𝑅12 O coeficiente de sensibilidade é dado por 𝑑𝑇 𝑑𝑅 3 2𝑅12 oC O valor da temperatura 𝑇 para 𝑅 4 é dado por 𝑇 4 3 4 1 2 6 oC O coeficiente de sensibilidade para 𝑅 4 é dado por 𝑑𝑇 𝑑𝑅 3 2𝑅12 3 4 oC Se a incerteza associada para a resistência for 𝛿𝑅 002 Terá uma incerteza associada 𝛿𝑇 3 2𝑅12 𝛿𝑅 3 4 002 0015 oC PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL Propagação de incertezas em funções com uma única variável 𝑇𝑅 3𝑅12 O coeficiente de sensibilidade é dado por 𝑑𝑇 𝑑𝑅 3 2𝑅12 oC O coeficiente de sensibilidade para 𝑅 1 é dado por 𝑑𝑇 𝑑𝑅 3 2𝑅12 3 2 15 oC O coeficiente de sensibilidade para 𝑅 4 é dado por 𝑑𝑇 𝑑𝑅 3 2𝑅12 3 4 075 oC PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL EXERCÍCIO Considere um transdutor que mede a tempratura como função da resistência elétrica tenha a seguinte função de dependência da temperatura 𝑇 com a resistência 𝑅 𝑇 𝑅 2𝑅12 6𝑅13 Encontre o coeficiente de sensibilidade associado a grandeza 𝑅 Encontre o coeficiente de sensibilidade para 𝑅 8 Encontre o valor da temperatura 𝑇 para 𝑅 8 Encontre a incerteza de 𝑇 se 𝑅 tiver incerteza 𝛿𝑅 04 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL EXERCÍCIO Resposta Considere um transdutor que mede a tempratura como função da resistência elétrica tenha a seguinte função de dependência da temperatura 𝑇 com a resistência 𝑅 𝑇 𝑅 2𝑅12 6𝑅13 Encontre o coeficiente de sensibilidade associado a grandeza 𝑅 𝑑𝑇 𝑑𝑅 1 𝑅12 2 𝑅23 oC Encontre o coeficiente de sensibilidade para 𝑅 8 𝑑𝑇 𝑑𝑅 1 812 2 823 1 2 2 1 2 085 oC Encontre o valor da temperatura 𝑇 para 𝑅 8 𝑇 8 2812 6813 4 2 12 177 oC Encontre a incerteza de 𝑇 se 𝑅 tiver incerteza 𝛿𝑅 04 𝛿𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑅 𝛿𝑅 085 04 034 oC PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL EXERCÍCIO Resposta Transdutor 𝑇 com a resistência 𝑅 𝑇 𝑅 2𝑅12 6𝑅13 Coef de sensibilidade da grandeza 𝑅 𝑑𝑇 𝑑𝑅 1 𝑅12 2 𝑅23 oC Coef de sensibilidade para 𝑅 8 𝑑𝑇 𝑑𝑅 1 812 2 823 1 2 2 1 2 085 oC Temperatura 𝑇 para 𝑅 8 𝑇 8 2812 6813 4 2 12 177 oC Incerteza de 𝑇 se a 𝑅 tiver incerteza 𝛿𝑅 04 𝛿𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑅 𝛿𝑅 085 002 034 oC PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL EXERCÍCIO Uma tabela de Pt100 termômetro de resistência de platina e que possui exatidão de 01 C é muito utilizada na indústria Quando desejamos encontrar o coeficiente de sensibilidade do Pt100 fazemos a diferença da resistência entre dois pontos próximos à temperatura desejada isso supõe um comportamento linear entre esses pontos uma aproximação razoável Por exemplo seria interessante saber o coeficiente de sensibilidade do Pt100 em 38 C Olhando a tabela no ponto 38 C sua resistência vale 11477 e no ponto 39 C vale 11515 Encontre o coeficiente de sensibilidade em 𝑇 38 C Encontre o valor da resistência 𝑅 para a temperatura 𝑇 384 C utlizando o coeficiente de sensibiliade e a aproximação linear PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL EXERCÍCIO resposta Uma tabela de Pt100 termômetro de resistência de platina e que possui exatidão de 01 C é muito utilizada na indústria Quando desejamos encontrar o coeficiente de sensibilidade do Pt100 fazemos a diferença da resistência entre dois pontos próximos à temperatura desejada isso supõe um comportamento linear entre esses pontos uma aproximação razoável Por exemplo seria interessante saber o coeficiente de sensibilidade do Pt100 em 38 C Olhando a tabela no ponto 38 C sua resistência vale 11477 e no ponto 39 C vale 11515 Encontre o coeficiente de sensibilidade em 𝑇 38 C 11515114773938 038 C Encontre o valor da resistência 𝑅 para a temperatura 𝑇 384 C utlizando o coeficiente de sensibiliade e a aproximação linear 𝑅 𝑇0 𝑇 𝑅𝑇0 𝑅 𝑇0 𝑇 𝑅 38 04 𝑅 38 𝑅 38 04 11477 038 04 11492 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL PT100 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL PT100 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL PT100 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL EXERCÍCIO Ainda usando uma tabela de Pt100 determine o coeficiente de sensibilidade do Pt100 em 600 C Olhando a tabela no ponto 600 C sua resistência vale 31371 e no ponto 601 C vale 31403 Encontre o coeficiente de sensibilidade em 𝑇 600 C Encontre o valor da resistência 𝑅 para a temperatura 𝑇 6005 C utlizando o coeficiente de sensibiliade e a aproximação linear PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL EXERCÍCIO resposta Ainda usando uma tabela de Pt100 determine o coeficiente de sensibilidade do Pt100 em 600 C Olhando a tabela no ponto 600 C sua resistência vale 31371 e no ponto 601 C vale 31403 Encontre o coeficiente de sensibilidade em 𝑇 600 C 31403 31371601 600 032 C Encontre o valor da resistência 𝑅 para a temperatura 𝑇 6005 C utlizando o coeficiente de sensibiliade e a aproximação linear 𝑅 𝑇0 𝑇 𝑅𝑇0 𝑅 𝑇0 𝑇 𝑅 600 05 𝑅 600 𝑅 600 05 31371 032 05 31387 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS EM FUNÇÕES COM UMA VARIÁVEL PT100 000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 220 120 20 80 180 280 380 480 580 680 Resistencia ohm Temperatura oC PT100 03 032 034 036 038 04 042 044 220 120 20 80 180 280 380 480 580 680 Coeficiente de sensibilidade Temperatura oC Coeficiente de sensibilidade