Lista de Exercícos de Estruturas de Madeira

PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA PUC Minas COREU Curso ENGENHARIA CIVIL Disciplina ESTRUTURAS DE MADEIRA Profa Rita David LISTA 2 PROPRIEDADES MECÂNICAS DA MADEIRA COMBINAÇÃO DE CARREGAMENTO VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA TRAÇÃO SIMPLES e FLEXÃO 1 Dados os valores de resistência médios para a espécie de Eucalipto Citriodora obter os seus valores de cálculo considerando carregamento de longa duração e classe de umidade 2 Dados fc0m 620 MPa e fv0m 107 MPa 2 Determinar os valores de cálculo para a resistência à compressão paralela às fibras e ao cisalhamento bem como o valor efetivo do módulo de elasticidade paralelo às fibras para a classe D60 madeira dura considerando o uso de peças de madeira serrada classe 2 de umidade e carregamento de longa duração 3 Uma estrutura será construída com uma madeira da espécie Folhosa cujas propriedades mecânicas foram obtidas a partir do ensaio de resistência a compressão paralela Em um determinado lote desta madeira que estava com grau de umidade de 15 foi retirada uma amostra de acordo com a prescrição normativa da NBR 7190 composta por 07 sete corpos de prova para caracterização mecânica do lote As resistências à compressão paralela às fibras de cada corpo de prova obtidas no ensaio de compressão estão apresentadas na Tabela abaixo Na construção será utilizada madeira desta espécie serrada e de primeira categoria e o local da construção tem umidade relativa do ar média igual a 70 Pedese determinar As tensões resistentes de cálculo a compressão paralela as fibras a tração paralela às fibras e ao cisalhamento desta madeira a ser utilizada no projeto da estrutura considerando como situação de projeto Carga variável com duração acumulada durante toda a vida útil da estrutura 4 Uma viga de madeira sob ação de uma combinação de cargas abaixo Fd 14 08 kNm 075 14 13 kNm 14 04 15 kNm Sobre essa combinação assinale os itens de l a q Justique as respostas assinaladas l A combinação considerada é do tipo última excepcional m A combinação considerada é do tipo utilização de longa duração n A carga 13 KNm representa o vento em sucção o A carga 13 KNm representa o vento em sobrepressão p A carga 15 KNm é a carga variável secundária q O fator de combinação de cargas varáveis secundárias vale 075 5 Uma peça de um montante principal de pinho do paraná da classe C40 utilizado em ambiente de classe 3 de umidade está ligado por quatro parafusos de diâmetro igual a 25 mm a duas peças laterais O montante está solicitado a esforço de tração devido a ações de construção cargas de média duração que combinadas na situação mais desfavorável totalizam 315 kN Pedese que seja verificada a segurança segundo a NBR 7190 para o montante solicitado a tração paralela as fibras Apresentar a análise e conclusão da verificação realizada 20 cm 38 cm parafusos Nd 38 cm 20 cm linha de parafusos peças laterais montante VISTA SUPERIOR 6 Calcular a altura necessária para uma viga cuja largura é de 6 cm e está submetida a um carregamento permanente uniformemente distribuída de 082 kNm e a uma carga concentrada permanente de 160 kN no ponto médio do vão de 580m conforme a figura Dados Madeira Folhosa D40 Umidade classe 3 7 Pedese fazer todas as verificações segundo a norma NBR 71902022 para a viga sujeita à flexão simples reta esquematizada conforme Figura para que sejam respeitadas as condições de segurança nos Estados Limites Último e de Utilização Pedese também concluir se a viga projetada dimensões da estrutura está adequada para suportar o carregamento ao qual está submetida e apresentar solução caso necessário Considerar A Dimensões indicadas em cm B ELU Combinação normal C Madeira Folhosa CLASSE D40 classe de umidade 1 D Carregamentos atuantes gk 04 kNm permanente qk 24 kNm sobrecarga duração acumulada de mais de seis meses Na Memória de Cálculo indicar e justificar qualquer consideração assumida bem como indicar a conclusão do dimensionamento realizado 082 kNm 16 kN TAREFA entrega FLEXÃO SIMPLES Verificar as condições de segurança da viga de madeira indicadas na figura Analisar a verificação concluir e caso necessário indicar uma solução DADOS Situação de Projeto ELU Combinação normal de ações Madeira FOLHOSA D40 classe de umidade 2 Carregamento atuante gk 15 kNm permanente Pk 1 kN carga variável com duração acumulada permanente Desconsiderar o peso próprio da peça de madeira 1 Para o cálculo de correção para a umidade usamos o fator de correção de 09 para umidade de 15 A resistência à compressão foi corrigida da seguinte forma fc0ajustado fc0m Fator de umidade fc0ajustado 620 MPa 09 558 MPa A resistência à tração foi corrigida da seguinte forma fv0ajustado fv0m Fator de umidade fv0ajustado 107 MPa 09 963 MPa Para o carregamento de longa duração aplicamos o fator de correção de 07 para a compressão e 06 para a tração A resistência à compressão foi corrigida da seguinte forma fc0duração fc0ajustado Fator de duração fc0duração 558 MPa 07 3906 MPa A resistência à tração foi corrigida da seguinte forma fv0duração fv0ajustado Fator de duração fv0duração 963 MPa 06 578 MPa 2 A resistência à compressão paralela às fibras é dada pela fórmula fc fc0 fatorumidade fatorcarregamento fc 45 MPa 085 06 fc 2295 MPa A resistência ao cisalhamento é dada pela fórmula fv fv0 fatorumidade fatorcarregamento fv 8 MPa 085 06 fv 408 MPa O módulo de elasticidade paralelo às fibras é dado pela fórmula E0 E00 fatorumidade fatorcarregamento E0 12000 MPa 085 06 E0 6120 MPa 3 A média das resistências à compressão paralela às fibras é calculada pela fórmula Rmédia R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 7 Rmédia 888 925 887 866 891 852 844 7 Rmédia 6153 7 879 MPa O desvio padrão é calculado pela fórmula σ ΣRi Rmédia² n Para R1 888 888 879² 09² 081 Para R2 925 925 879² 46² 2116 Para R3 887 887 879² 08² 064 Para R4 866 866 879² 13² 169 Para R5 891 891 879² 12² 144 Para R6 852 852 879² 27² 729 Para R7 844 844 879² 35² 1225 Somando os quadrados das diferenças 081 2116 064 169 144 729 1225 4528 Agora calculamos o desvio padrão σ 4528 7 647 254 MPa 4 1 A combinação considerada é do tipo última excepcional A combinação de cargas é do tipo última excepcional quando consideramos cargas máximas de longo prazo com um fator de segurança superior Como estamos lidando com combinações com fatores multiplicadores como o 14 isso indica que estamos tratando de uma análise de última carga excepcional 2 A combinação considerada é do tipo utilização de longa duração Para cargas que têm uma duração contínua ou prolongada o fator multiplicador será tipicamente menor A combinação mencionada inclui fatores como 075 e 14 os quais indicam uma mistura de longas durações e picos última Essa combinação reflete tanto uma análise de longo prazo quanto picos para casos excepcionais 3 A carga 13 kNm representa o vento em sucção O vento pode atuar de maneira tanto de pressão quanto de sucção Uma carga positiva representaria pressão e uma carga negativa representaria sucção Neste caso o fator de multiplicação de 075 está associado a um vento que é provavelmente uma sucção considerando que esse fator normalmente reduz a carga 4 A carga 13 kNm representa o vento em sobrepressão Este item é contrário ao anterior Como mencionado o vento em sobrepressão normalmente gera uma carga positiva que poderia ser associada ao 13 kNm sem multiplicação do fator 075 apenas no caso de cargas diretas e não secundárias 5 A carga 15 kNm é a carga variável secundária Cargas secundárias variáveis são aquelas que podem mudar ao longo do tempo e são tratadas com um fator de segurança reduzido como 04 Isso confirma que a carga de 15 kNm é de natureza secundária já que a combinação utiliza o fator 04 6 O fator de combinação de cargas variáveis secundárias vale 075 O fator de combinação de cargas variáveis secundárias de 075 é mencionado explicitamente como parte da combinação de cargas Isso é uma confirmação de que o fator de segurança aplicado a essas cargas é 075 que é o esperado para cargas variáveis 5 Determinação da Tensão de Tração Admissível A tensão de tração admissível para a madeira da classe C40 é 17 MPa Considerando o fator de correção da umidade que para a classe 3 de umidade é 12 temos a tensão admissível corrigida Tensão admissível corrigida 17 MPa 12 204 MPa 204 Nmm² Cálculo da Área da Seção Transversal do Montante As dimensões da peça de madeira são 38 cm de largura e 20 cm de altura Convertendo para milímetros b 38 mm e h 200 mm A área da seção transversal é dada por A b h 38 mm 200 mm 7600 mm² Cálculo da Tensão Solicitada no Montante A carga solicitada é de 315 kN Convertendo para N F 31500 N A tensão solicitada é dada por Tensão solicitada F A 31500 N 7600 mm² 414 Nmm² Comparação entre Tensão Solicitada e Tensão Admissível A tensão solicitada no montante é 414 Nmm² enquanto a tensão admissível corrigida é 204 Nmm² Portanto a tensão solicitada está bem abaixo da tensão admissível indicando que o montante é seguro para suportar a carga de 315 kN 6 Determinação dos esforços atuantes e cálculo do momento máximo A fórmula para o momento máximo Mmax é dada por Mmax w L2 8 P L 4 Mmax 082 5802 8 16 580 4 Mmax 3447 232 5767 kNm Cálculo da altura necessária para a viga σ Mmax S Onde S b h2 6 é o momento de inércia da viga A tensão admissível para a madeira Folhosa D40 umidade classe 3 é σ 14 MPa 14 Nmm2 Reorganizando a fórmula para calcular h 14 5767 103 006 h2 6 Multiplicando ambos os lados por 006 h2 6 14 006 h2 5767 103 6 084 h2 34602 h2 34602 084 41214 h 642 cm 7 Cálculo da Carga Total A carga total sobre a viga é a soma da carga permanente e da carga de sobrecarga calculada da seguinte forma Carga permanente Pg Pg gk L 04 kNm 45 m 18 kN Carga de sobrecarga Pq Pq qk L 24 kNm 45 m 108 kN Carga total Ptotal Ptotal Pg Pq 18 kN 108 kN 126 kN Cálculo das Reações nos Apoios Considerando que a viga está submetida a uma carga distribuída simétrica as reações nos apoios A e B são iguais Reação de apoio em A RA RA Ptotal 2 126 kN 2 63 kN Cálculo do Momento Fletor Máximo O momento fletor máximo ocorre no centro da viga onde as forças são distribuídas simetricamente Momento fletor máximo Mmax Mmax Ptotal L 4 126 kN 45 m 4 14175 kNm Cálculo do Módulo de Resistência à Flexão W O módulo de resistência à flexão W é dado pela fórmula W b h2 6 Substituindo os valores de b e h W 0075 m 015 m2 6 000028125 m3 Cálculo da Tensão de Flexão σf A tensão de flexão σf é dada pela fórmula σf Mmax W σf 14175 kNm 000028125 m3 504 MPa A resistência característica à flexão da madeira classe D40 é de 40 MPa A tensão de flexão calculada 504 MPa é maior que a resistência à flexão da madeira 40 MPa o que indica que a viga não é adequada para suportar as cargas aplicadas Será necessário realizar ajustes nas dimensões da viga ou no material Com base nos cálculos realizados concluímos que a viga projetada não é capaz de suportar as cargas aplicadas sem que haja risco de falha estrutural pois a tensão de flexão ultrapassa a resistência à flexão da madeira Recomendamos a revisão do projeto considerando a alteração das dimensões da viga ou o uso de um material com maior resistência à flexão 8 8 Ra Rb Pk gk L Pk 1 kN carga concentrada gk 15 kNm carga distribuída L 45 m comprimento da viga Ra Rb 1 15 45 Ra Rb 1 675 775 kN Equilíbrio dos momentos em A Rb L Pk l1 gk L2 L 0 Onde l1 15 m distância da carga concentrada Pk até o apoio A Rb 45 1 15 15 452 0 Rb 45 15 3375 0 Rb 45 4875 Rb 4875 45 1083 kN Ra 1083 775 Ra 775 1083 6667 kN Mmax Pk l1 L l1 L gk L2 2 Mmax 1 15 45 15 45 15 452 2 Mmax 1 15 345 15 2025 2 Mmax 15 06667 30375 2 Mmax 1 151875 Mmax 161875 kNm sigmaflexao Mmax h 2 I h 0075 m altura da seção transversal I b h3 12 momento de inércia da seção transversal Cálculo do momento de inércia da seção transversal I b h3 12 020 00753 12 I 020 0000421875 12 I 703125 106 m4 Cálculo da tensão de flexão sigmaflexao 161875 0075 2 703125 106 sigmaflexao 161875 00375 703125 106 sigmaflexao 060703125 703125 106 sigmaflexao 8633 MPa Verificação de Segurança A resistência da madeira classe D40 para flexão é aproximadamente fcd 10 MPa Agora verificamos se a tensão de flexão calculada 8633 MPa é inferior à resistência à flexão da madeira 10 MPa sigmaflexao 8633 MPa fcd 10 MPa Portanto não atende às condições de segurança A viga de madeira não está segura pois a tensão de flexão calculada excede a resistência admissível da madeira Para resolver isso seria necessário Aumentar as dimensões da seção transversal aumentando a altura ou a largura Reduzir as cargas aplicadas