Projeto 1 - Simulação Numérica: Determinação de Vértice e Área de Terreno para Centro de Distribuição

In33333 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS Engenharia de Controle e Automação Escola Politécnica Introdução à Simulação Numérica 1º sem2023 GRUPO 2 Projeto 1 Sprint 3 1 Após um aumento nos custos de aluguel do centro de distribuição que a empresa utiliza a gerência indicou a necessidade de implantação de um centro de distribuição próprio Para isso fez um levantamento de áreas na região escolhida com aproximadamente 1000 m2 O mapa abaixo mostra a opção encontrada com melhor custobenefício Os pontos indicados mostram as coordenadas obtidas pelo levantamento topográfico Dados dos pontos lateral e frontal Lateral Frontal x y x y 514 3631 4075 710 515 3560 4054 824 712 3589 4034 958 1148 3607 4034 1074 1417 3649 4051 1265 1500 3593 4034 1502 1867 3589 2187 3586 2786 3701 Sabese que as coordenadas dos pontos contêm erros de medição mas o muro construído deve respeitar as informações referentes à área e ao perímetro que estão na matrícula do imóvel Num primeiro momento para que a empresa possa construir os muros lateral e frontal é necessário determinar o vértice C que é o ponto de junção desses muros A posição dos muros lateral e frontal será definida a partir das retas que melhor ajustam os pontos obtidos pelo levantamento topográfico indicados no mapa Após a obtenção das retas o vértice deve ser calculado Notem que os pontos B e D também devem ser incluídos como pontos para os cálculos das retas a Encontre as equações das retas que definem cada um dos muros lateral e frontal b Determine as coordenadas do vértice C c Represente o terreno obtido usando o Geogebra c1 Represente os quatro vértices que delimitam o terreno c2 Represente o polígono definido pelos vértices do terreno Comando Polígonopontos c3 Encontre a área e o perímetro do terreno usando os comandos Áreapolígono e Perímetropolígono OBS O argumento polígono deve ser o nome dado para o Polígono construído c4 Compare os valores obtidos no item c3 com as informações da matrícula do imóvel 2 A empresa pretende avaliar se e como alguns tipos de investimentos tem relação com o faturamento obtido com a venda dos produtos Para isso levantou dados de investimento em equipamentos novas tecnologias implantadas visando baratear custo e investimento em treinamento de seus colaboradores da área de vendas feitos no ano de 2022 bem como o faturamento das suas filiais no respectivo ano O gráfico abaixo mostra o valor do faturamento em cada filial de acordo com os dados fornecidos no Problema 1a da Sprint 2 Os dados a seguir mostram os diferentes investimentos feitos pela empresa Filial Investimento em equipamento em mil Investimento em treinamento em mil Filial I 25 14 Filial II 27 20 Filial III 26 25 Filial IV 28 22 Filial V 28 24 a Monte o gráfico de dispersão para cada um dos indicadores versus Faturamento Note que cada um dos indicadores é 𝑥 e o faturamento é o 𝑦 b Observe os diagramas de dispersão O grupo acha que o ajuste linear dos dados pelo MQM é uma boa alternativa Qualais os critérios que utilizaram para essa conclusão c Dentre os gráficos de dispersão obtidos escolha aquele cujos pontos mais se aproximam de uma reta e determine a expressão da mesma 3 O produto B é acondicionado em uma lata de alumínio O acabamento dessa embalagem requer uma etapa de usinagem para realizar o arredondamento das bordas Essa operação de torneamento envolve a definição da velocidade de corte 𝑣𝑐 que depende da rotação do torno e da posição da ferramenta O controle dessa velocidade é primordial para garantir a qualidade do processo e do produto Além disso o desgaste da ferramenta pode ser reduzido quando a velocidade de corte é mantida constante A função que determina a velocidade de corte é dada por 𝑣𝑐 𝜋Φ𝑛 1000 onde 𝑣𝑐 é a velocidade de corte é dada em mmin Φ é o diâmetro dado em milímetros 𝑛 é a rotação em rpm Veja o processo de acabamento disponível em httpswwwyoutubecomwatchvPHJGQAqGRUI Com o objetivo de determinar a velocidade de corte foram feitas algumas medidas que relacionam a rotação do torno e o diâmetro da peça A tabela abaixo apresenta o conjunto de dados obtidos 10 204992 12 174011 15 132821 20 101781 25 83731 30 69881 40 49098 50 34923 75 26808 100 18952 a Represente os pontos acima num diagrama de dispersão b Ajuste os dados usando um modelo do tipo hiperbólico considerando o diâmetro como 𝑥 e a rotação como 𝑦 Construa o gráfico do modelo hiperbólico ajustado e o diagrama de dispersão na mesma janela c A partir do ajuste e da expressão que define a velocidade 𝑣𝑐 o coeficiente 𝑎 obtido no ajuste é dado por 𝑎 𝜋 1000𝑣𝑐 Determine a velocidade de corte 𝑣𝑐 Observação o valor de 𝑏 pode ser desprezado porque referese a um resíduo erro de medida e é aproximadamente zero 𝝓 𝒎𝒎 𝒏 𝒓𝒑𝒎 1 a A regressão linear é dada por O código Scilab abaixo define uma função no qual o sistema acima matriz A e vetor b são encontrados através de uma função nomeada MMQ1 e define também uma função que realiza a eliminação gaussiana elimgauss retornando o vetor dos coeficientes as constantes do polinômio function coefelimgaussA b n lengthb tamanho da matriz que é igual a quantidade de coeficientes a serem encontrados coef zerosn1 inicialmente o vetor dos coeficietes será nulo for k 1n1 realizando a eliminação gaussiana for i k11n m AikAkk é o termo usado na operação entre linhas Aik 0 zerando abaixo da diagonal for j k11n Aij Aij mAkj realizando a operação entre linhas end bi bi mbk realizando a operaçãoentre linhas no vetor b end end coefn bnAnn a última linha dá o último coeficiente sem muitas operações portanto será encontrado fora do laço for i n111 percorrendo a matriz resultante regressivamente de baixo p cima somaaux 0 variável auxiliar que soma os termos da equação resultante for j i11n somaaux somaaux Aijcoefj realizando as somas end coefi bi somaauxAii operação de passar a soma obtida pro outro lado da igualdade e dividir pelo valor da diagonal daquela linha end endfunction x 514 515 712 1148 1417 15 1867 2187 2786 y 3631 356 3589 3607 3649 3593 3589 3586 3701 function A bMMQ1x y m lengthx n 2 grau do polinômio interpolador somax 0 variáveis auxiliares dos mpínimos quadrados somax2 0 somay 0 somaxy 0 A zerosnn definindo matriz de zeros A b zerosn definindo vetor independente de zeros b A11 m for i 1m somax somax xi somax2 somax2 xi2 somay somay yi somaxy somaxy xiyi end A12 somax A21 somax A22 somax2 b1 somay b2 somaxy endfunction x elimgaussAb Executando o código acima para os dados laterais a saída é E para os dados frontais O polinômio encontrado é Plateralx35721200281x Pfrontal x4652158112345 x b O ponto C é a interseção entre as duas funções encontradas anteriormente PlateralxPfrontalx35721200281x4652158112345 x x381346m yPlateral381346367928mC381346367928 c1 Inserindo ambas as funções encontradas no geogebra encontrase os 4 pontos Os vértices do terreno são a origem o ponto C um ponto localizado no eixo horizontal ponto a e outro no eixo vertical ponto b Encontrando os pontos a e b pelo geogebra a4140960 b0357212 Conferindo o ponto c c381346367928 d00 c2 c3 c4 Os dados obtidos são maiores que os da matrícula possivelmente porque na matrícula as fronteiras do local não são aproximadas por uma reta então a área e o perímetro são determinados por outras ferramentas 2 a O gráfico de dispersão é obtido inserindo os seguintes comandos y 45000 5600059000 56000 60000 xequip 25000 2700026000 2800028000 xtre 14000 20000 25000 22000 24000 a getcurrentaxes adatabounds 1000040000 30000 65000 scatterxequip y scatterxtre y o legendequipamentostreinamentos c gda cxlabeltextinvestimento cylabeltextfaturamento b Uma regressão linear pode ser interpretada como o faturamento médio de acordo com cada indicador já que é possível observar que os pontos do gráfico de dispersão não tem linearidade bem definida Mas ambos podem ser modelados como um polinômio de grau 1 mas cada indicador com seu próprio polinômio para os investimentos em equipamentos a reta é mais acentuada e para os investimentos em treinamentos a reta é menos acentuada portanto não se pode definir um único polinômio de faturamento por investimentos em geral c O indicador de investimentos em treinamentos é mais apropriado para ser modelado por uma reta sendo assim aplicando a regressão linear O polinômio para x dado em reais é Ptreinamentox272921051329 x 3 a O código para fazer o diagrama de dispersão é igual ao utilizado na questão 2 modificando apenas alguns parâmetros como as fronteiras e nomes dos eixos y 45000 5600059000 56000 60000 xequip 25000 2700026000 2800028000 xtre 14000 20000 25000 22000 24000 d 10 12 15 20 25 30 40 5075 100 rot 204992 174011 132821 101781 83731 69881 49098 34923 26808 18952 a getcurrentaxes adatabounds 5 100 110 2100 xmin ymin xmax ymax scatterd rot scatterxtre y o usado para a questão legendequipamentostreinamentos c gda cxlabeltextdiâmetro mm cylabeltextrotação rpm O ajuste hiperbólico é dado por h x 1 axb chamando F x 1 hxaxb 1 yi ba xi b O sistema a ser solucionado é Adicionando uma função chamada hiperbólico mostrada abaixo no código da eliminação gaussiana function A bhiperbolicox y m lengthx somax 0 variáveis auxiliares dos mpínimos quadrados somax2 0 somainvy 0 somaxy 0 n 2 A zerosnn definindo matriz de zeros A b zerosn definindo vetor independente de zeros b A11 m for i 1m somax somax xi somax2 somax2 xi2 somainvy somainvy 1yi somaxy somaxy xiyi end A12 somax A21 somax A22 somax2 b1 somainvy b2 somaxy endfunction Executando o código têmse A função interpoladora obtida é a 0000053 b 00000641 h x 1 000006410000053 x 100000 53 x641 O gráfico do ajuste é obtido adicionando os comandos abaixo no código de dispersão x linspace10 100 1000 k lengthx for i 1k yi 10000053xi641 end plotxy c a π 1000V v V c π 1000aπ10 35310 559275mmin 1 a A regressão linear é dada por O código Scilab abaixo define uma função no qual o sistema acima matriz A e vetor b são encontrados através de uma função nomeada MMQ1 e define também uma função que realiza a eliminação gaussiana elimgauss retornando o vetor dos coeficientes as constantes do polinômio function coefelimgaussA b n lengthb tamanho da matriz que é igual a quantidade de coeficientes a serem encontrados coef zerosn1 inicialmente o vetor dos coeficietes será nulo for k 1n1 realizando a eliminação gaussiana for i k11n m AikAkk é o termo usado na operação entre linhas Aik 0 zerando abaixo da diagonal for j k11n Aij Aij mAkj realizando a operação entre linhas end bi bi mbk realizando a operaçãoentre linhas no vetor b end end coefn bnAnn a última linha dá o último coeficiente sem muitas operações portanto será encontrado fora do laço for i n111 percorrendo a matriz resultante regressivamente de baixo p cima somaaux 0 variável auxiliar que soma os termos da equação resultante for j i11n somaaux somaaux Aijcoefj realizando as somas end coefi bi somaauxAii operação de passar a soma obtida pro outro lado da igualdade e dividir pelo valor da diagonal daquela linha end endfunction x 514 515 712 1148 1417 15 1867 2187 2786 y 3631 356 3589 3607 3649 3593 3589 3586 3701 function A bMMQ1x y m lengthx n 2 grau do polinômio interpolador somax 0 variáveis auxiliares dos mpínimos quadrados somax2 0 somay 0 somaxy 0 A zerosnn definindo matriz de zeros A b zerosn definindo vetor independente de zeros b A11 m for i 1m somax somax xi somax2 somax2 xi2 somay somay yi somaxy somaxy xiyi end A12 somax A21 somax A22 somax2 b1 somay b2 somaxy endfunction x elimgaussAb Executando o código acima para os dados laterais a saída é E para os dados frontais O polinômio encontrado é 𝑃𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑥 35 7212 0 0281𝑥 𝑃𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑥 465 2158 11 2345𝑥 b O ponto C é a interseção entre as duas funções encontradas anteriormente 𝑃𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑥 𝑃𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑥 35 7212 0 0281𝑥 465 2158 11 2345𝑥 𝑥 38 1346 𝑚 𝑦 𝑃𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙38 1346 36 7928 𝑚 𝐶 38 1346 36 7928 c1 Inserindo ambas as funções encontradas no geogebra encontrase os 4 pontos Os vértices do terreno são a origem o ponto C um ponto localizado no eixo horizontal ponto a e outro no eixo vertical ponto b Encontrando os pontos a e b pelo geogebra 𝑎 41 4096 0 𝑏 0 35 7212 Conferindo o ponto c 𝑐 38 1346 36 7928 𝑑 0 0 c2 c3 c4 Os dados obtidos são maiores que os da matrícula possivelmente porque na matrícula as fronteiras do local não são aproximadas por uma reta então a área e o perímetro são determinados por outras ferramentas 2 a O gráfico de dispersão é obtido inserindo os seguintes comandos y 45000 5600059000 56000 60000 xequip 25000 2700026000 2800028000 xtre 14000 20000 25000 22000 24000 a getcurrentaxes adatabounds 1000040000 30000 65000 scatterxequip y scatterxtre y o legendequipamentostreinamentos c gda cxlabeltextinvestimento cylabeltextfaturamento b Uma regressão linear pode ser interpretada como o faturamento médio de acordo com cada indicador já que é possível observar que os pontos do gráfico de dispersão não tem linearidade bem definida Mas ambos podem ser modelados como um polinômio de grau 1 mas cada indicador com seu próprio polinômio para os investimentos em equipamentos a reta é mais acentuada e para os investimentos em treinamentos a reta é menos acentuada portanto não se pode definir um único polinômio de faturamento por investimentos em geral c O indicador de investimentos em treinamentos é mais apropriado para ser modelado por uma reta sendo assim aplicando a regressão linear O polinômio para x dado em reais é 𝑃𝑡𝑟𝑒𝑖𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑥 27292 105 1 329𝑥 3 a O código para fazer o diagrama de dispersão é igual ao utilizado na questão 2 modificando apenas alguns parâmetros como as fronteiras e nomes dos eixos y 45000 5600059000 56000 60000 xequip 25000 2700026000 2800028000 xtre 14000 20000 25000 22000 24000 d 10 12 15 20 25 30 40 5075 100 rot 204992 174011 132821 101781 83731 69881 49098 34923 26808 18952 a getcurrentaxes adatabounds 5 100 110 2100 xmin ymin xmax ymax scatterd rot scatterxtre y o usado para a questão legendequipamentostreinamentos c gda cxlabeltextdiâmetro mm cylabeltextrotação rpm O ajuste hiperbólico é dado por ℎ𝑥 1 𝑎𝑥𝑏 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐹𝑥 1 ℎ𝑥 𝑎𝑥 𝑏 1 𝑦𝑖 𝑏 𝑎𝑥𝑖 b O sistema a ser solucionado é Adicionando uma função chamada hiperbólico mostrada abaixo no código da eliminação gaussiana function A bhiperbolicox y m lengthx somax 0 variáveis auxiliares dos mpínimos quadrados somax2 0 somainvy 0 somaxy 0 n 2 A zerosnn definindo matriz de zeros A b zerosn definindo vetor independente de zeros b A11 m for i 1m somax somax xi somax2 somax2 xi2 somainvy somainvy 1yi somaxy somaxy xiyi end A12 somax A21 somax A22 somax2 b1 somainvy b2 somaxy endfunction Executando o código têmse A função interpoladora obtida é a 0000053 b 00000641 ℎ𝑥 1 000006410000053𝑥 100 000 53𝑥641 O gráfico do ajuste é obtido adicionando os comandos abaixo no código de dispersão x linspace10 100 1000 k lengthx for i 1k yi 10000053xi641 end plotxy c 𝑎 π 1000𝑉𝑣 𝑉𝑐 π 1000𝑎 π10 3 5 3 10 5 59 275 𝑚𝑚𝑖𝑛