Exercícios sobre o Método de Newton em Simulação Numérica

1 In33333 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS Engenharias CEATEC Introdução à Simulação Numérica Professores Alexandre Bia Cintia Denise e Vinícius Avaliações P1 ATIVIDADE P2 PROJETO Recuperação 1904 0604 2704 3105 1105 0806 1406 Unidade 3 MÉTODO E NEWTON Exercícios para aula MÉTODO DE NEWTON Zeros de Funções Problemas frequentes na engenharia envolvem equações do tipo 𝑓𝑥 0 Por exemplo o volume 𝑣 de um líquido em um tanque esférico de raio 𝑟 está relacionado com a profundidade ℎ da seguinte forma Suponha que o tanque tenha raio 𝑟 1 com um líquido de volume igual a 05 Qual seria a profundidade ℎ do líquido Se substituirmos estes valores na equação temos que Rearranjando a equação não linear acima temos que Ou seja o problema de resolver a equação não linear 05 𝜋ℎ2 𝜋ℎ3 3 0 é equivalente a resolver o problema de se determinar o zero da função 𝑓ℎ 05 𝜋ℎ2 𝜋ℎ3 3 Poderíamos plotar o gráfico de f e estimar o valor da raiz A raiz estaria no intervalo 253 Possivelmente algo em torno de 28 ou 29 Mas como poderíamos melhorar nossa estimativa a uma precisão mais fina Boa parte das equações em engenharia não conseguem ser resolvidas analiticamente e é neste cenário que o Método de Newton será empregado para se obter uma solução aproximada para as equações ou para os zeros de funções equivalentemente O Método de Newton pertence à classe dos métodos iterativos que a partir de uma aproximação inicial para a raiz obtém novas aproximações iterativamente usando a interpretação geométrica de reta tangente Vejamos a seguinte situação para adquirirmos ideias Suponha que estamos interessados em determinar a raiz aproximada 𝑥 da função 𝑓𝑥 𝑥2 3 representada na figura abaixo 2 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Suponha que uma estimativa inicial da resposta é 𝑥0 2 Nós podemos conseguir uma estimativa 𝑥1 melhor simplesmente desenhando uma reta tangente à 𝑓𝑥 em 2 𝑓2 e encontrando o ponto 𝑥1 onde a reta tangente intercepta o eixo 𝑥 A inclinação da reta tangente no ponto em questão é dada por 𝑓𝑥0 𝑦 𝑥 𝑓𝑥0 𝑓𝑥0 0 𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑥1 𝑓𝑥0 𝑓𝑥0 Logo conseguimos o seguinte método iterativo 𝑥1 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑓𝑥0 Precisamos calcular 𝑓2 e 𝑓2De fato temos que 𝑥0 1𝑓2 1 e𝑓2 4 Substituindo estes valores na equação do método de newton temos que 𝑥1 2 1 4 𝑥1 075 É razoável pensar que o próximo passo consiste em aplicar o mesmo processo a partir da nova estimativa atual 𝑥1 075 Ou seja ajustando os novos índices no método iterativo temos que 𝑥2 𝑥1 𝑓𝑥1 𝑓𝑥1 𝑥2 175 00625 35 𝑥2 1732 Repetindo este procedimento a partir do ponto 𝑥20 encontramos na iteração 𝑘 1 a seguinte aproximação para a raiz 𝑥 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 Tal equação fornece um método iterativo chamado de Método de Newton 1 Considere a função 𝑦 𝑓𝑥 ilustrada na figura abaixo Realize um passo do método de newton simplesmente plotando 𝑥1 na figura e explicando como obteve tal ponto 2 Considere o problema de se determinar o valor aproximado de 5 a Obtenha a função 𝑓𝑥 tal que o problema de se resolver 𝑓𝑥 0 se torna equivalente ao problema de se determinar o valor aproximado de 5 b Dada uma aproximação inicial𝑥0 1 aplique o método de newton para encontrar as aproximações 𝑥1 e 𝑥2 da raiz 𝑥 de 𝑓𝑥 As Fases do Método de Newton A ideia central do método de newton é a partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de um método iterativo Neste sentido o método de newton possui duas fases 1 FASE I Isolamento de raízes Isolar a raiz que se pretende determinar da função 𝑓 em um intervalo 𝑎 𝑏 o menor possível que possui a raiz da função 𝑓 Nesta fase vamos recorrer a um método gráfico que consiste em Escrever 𝑓 como a diferença de funções 𝑔 e ℎ Escrever 𝑓𝑥 0 Ou seja Esboçar os gráficos de 𝑔 e de ℎ determinando os intervalos onde estão os pontos de intersecção de 𝑔𝑥 e ℎ𝑥 Exemplo 3 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Localize a raiz da equação 𝑥𝐿𝑛𝑥 1 0 utilizando o método gráfico da fase de isolamento Solução Plotando os gráficos das funções 𝑔 e ℎ Por inspeção observamos que o ponto de intersecção 𝑥 dos dois gráficos está no intervalo 152 Logo o intervalo que contém a raiz 𝑥 é o intervalo 152 2 FASE II Refinamento Calcular a raiz aproximada através de um processo iterativo até alcançar a precisão desejada Em outras palavras refinála Nesta fase a cada iteração utilizase o resultado da iteração anterior como parâmetro de entrada para o cálculo seguinte Vamos considerar o seguinte diagrama de fluxo para caracterizar o método iterativo de refinamento Critérios de Parada Observamos no diagrama de fluxo que o método iterativo para refinamento de uma raiz realiza um teste que se refere a quão perto a aproximação inicial está da raiz Podemos considerar duas caracterizações para a raiz aproximada Dizemos que 𝑥𝑘 é raiz aproximada se 𝑥𝑘 𝑥 𝜀 ou 𝑓𝑥𝑘 𝜀 Mas como efetuar o primeiro teste se não temos conhecimento de quem é a raiz 𝑥 Uma maneira é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração Em um certo sentido técnico nós fazemos o critério de parada sobre o erro absoluto entre duas aproximações sucessivas em outras palavras 𝑥𝑥1 𝑥𝑘 𝜀 E possivelmente também consideremos o módulo do valor de 𝑓 na aproximação 𝑥𝑘1 𝑓𝑥𝑘1 𝜀 É importante ressaltar que a tolerância em cada um dos critérios não precisa ser necessariamente a mesma Algoritmo do Método de Newton O processo iterativo do método de Newton pode ser resumido nos seguintes passos 0 Dados 𝑀 ℕ uma tolerância ℇ 0 e uma aproximação inicial 𝑥0 Faça 𝑘 1 1 Enquanto 𝑘 𝑀 faça 2 𝑥1 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑓𝑥0 3 Se 𝑓𝑥1 𝜀 ou 𝑥1𝑥0 𝜀 imprima 𝑥1 e pare o algoritmo 4 caso contrário faça 𝑥0 𝑥1 𝑘 𝑘 1 e volte para o passo 1 5 Fim Exercício Aplique a Fase II de refinamento do método de newton para resolver a equação 𝑥𝐿𝑛𝑥 1 0 Sabendo que a raiz está localizada no intervalo 152 pela Fase I De acordo com o fluxograma da fase de refinamento precisamos inserir os dados iniciais Aproximação inicial 𝑥0 18 Função 𝑓𝑥 𝑥𝐿𝑛𝑥 1 Derivada 𝑓𝑥 𝐿𝑛𝑥 1 Precisão 𝜀 103 1ª Iteração 4 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 𝑥1 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑓𝑥0 𝑥1 18 𝑓18 𝑓18 𝑥1 1763 Verificando o critério de parada 𝑥1𝑥0 18 1763 0037 103 𝑓𝑥1 000035 103 Logo dado que o segundo critério de parada foi satisfeito temos que a aproximação para a raiz 𝑥 é 𝑥1 1763 Exercícios propostos e aplicações 1 Dada a equação não linear 𝐿𝑛𝑥 𝑥 4 0 responda os itens abaixo a Utilize o método gráfico para localizar a raiz 𝑥 da equação b Definindo 𝑓𝑥 𝐿𝑛𝑥 𝑥 4 e considerando uma aproximação inicial 𝑥0 15 e uma precisão 𝜀 104 aplique o método de newton para encontrar a raiz 𝑥 da equação Preencha a tabela abaixo para cada iteração até a convergência 2 Determine a menor raiz positiva da equação 8 sin𝑥 𝑒𝑥 1 0 a Graficamente b Definindo 𝑓𝑥 8 sin𝑥 𝑒𝑥 1 e considerando 𝑥0 15 como aproximação inicial e 𝜀 104como a precisão aplique o método de newton para encontrar a raiz 𝑥 da equação Preencha a tabela abaixo para cada iteração até a convergência 3 Lee e Duffy relacionaram o fator de atrito para escoamento de partículas fibrosas em suspensão com o número de Reynolds pela seguinte equação empírica Nesta relação 𝑓 é o fator de atrito 𝑅𝐸 é o número de Reynolds e 𝑘 é uma constante determinada pela concentração de partículas em suspensão Para uma suspensão de 008 de concentração temos que 𝑘 028 Determine o valor de 𝑓 quando 𝑅𝐸 3750 4 O Problema da Deflexão de uma Viga A Figura abaixo exibe uma viga uniforme de comprimento 𝐿 sujeita a uma carga distribuída de forma linearmente crescente A equação para a curva elástica resultante é dada por Utilize o método de newton para determinar o ponto de deflexão máxima da viga Em seguida determine o valor da deflexão máxima Adote 𝐿 600𝑐𝑚 𝐸 50000 𝑁 𝑐𝑚2 𝐼 30000 𝑐𝑚4 e 𝑤0 2500 𝑁 𝑐𝑚 Sua resposta deve respeitar uma precisão de 5 casas decimais 5 A figura a seguir mostra um caso em que o método de Newton falha para a função 𝑓𝑥 𝑥4 𝑥2 Encontre os pontos iniciais que produzem este comportamento falho do método 5 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 6 A figura representa um vulcão em erupção A relação entre a distância y milhaspercorrida pela lava e o tempo t horas é dada por y 7 2 09t Existe uma aldeia no sopé da montanha a uma distância de y 10 A defesa civil advertiu os moradores da aldeia de que a lava chegaria às suas casas em menos de 6 horas Calcule usando o Método de Newton o instante de tempo em que a lava do vulcão atinge a aldeia Considere ε1 ε2 103 ou no máximo 3 iterações Utilize x0 6 pois é a estimativa inicial da defesa civil 7 A seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigénio c num rio em função da distância x medida a partir do local de descarga de poluentes cx 10 20e02x e075x Calcule a distância para a qual o nível de oxigénio desce para o valor 5 Utilize para aproximação inicial o valor x0 1 e considere ε1 ε2 102 ou no máximo 3 iterações Gabarito dos exercícios propostos 1 b O valor aproximado da raiz 𝑥é igual a 29262 2 b O valor aproximado da raiz 𝑥é igual a 19892 3 𝑓 000512 4 O ponto de deflexão máxima é 26832815 cm e a deflexão máxima é igual a 51519 cm 6 O tempo é aproximadamente de 53115 horas 7 Parou pelo critério do intervalo então a resposta pode ser um dos extremos isto é distância é um valor entre 05964 e 06023