2 Exercício de Algorítmos Numéricos 2023 1

2o Exerc´ıcio de Algoritmos Num´ericos I - 23/1 Ajuste de Curvas e Interpola¸c˜ao Polinomial usando o Octave - DI/UFES Objetivo: O objetivo desse exerc´ıcio ´e usar regress˜ao polinomial e interpola¸c˜ao polinomial para ajustar fun¸c˜oes no Octave. Conceitos/comandos importantes - n´ıvel inicial: • p = polyfit(x,y,m) (ajustar um polinˆomio de grau m a tabela de dados (x, y) contendo n pontos, tais que n ≥ m + 1) Para n > m + 1 o polinˆomio obtido ´e aquele cuja soma dos erros Pn j=1(yj − pn(xj ))22 ´e m´ınima - Ajuste Polinomial Para n = m + 1 o polinˆomio obtido ´e o polinˆomio interpolador de grau n. p ´e um vetor contendo os coeficientes de pm(x) = amxm + · · · + a2x2 + a1x + a0, ou seja, p = [am . . . a2 a1 a0] • polyout(p, "x") – mostra o polinˆomio no formato p = amxm + am−1xm−1 + . . . a1x + a0. • x = linspace (xa,xb,tam), gera um vetor x com x1 = xa, xtam = xb e tam componentes igualmente espa¸cadas. • y = polyval(p,x) – calcula o valor do polinˆomio p em todas as componentes de x, gerando o vetor y. • mean(Y) – calcula a m´edia das componentes do vetor Y . • norm(Y, 2) calcula a norma euclidiana do vetor Y (norm(Y, 2) = p(y2 1 + y2 2 + . . . + y2 n). Comandos importantes - n´ıvel intermedi´ario: • yf = interp1 (xp, yp, xf, opts) – interpola a tabela de pontos (xp,yp) pelo m´etodo ”opts”, gerando os valores do polinˆomio yf nos pontos xf (geralmente o tamanho de xf ´e maior que o tamanho de xp). O m´etodo default ´e a interpola¸c˜ao linear por partes. Exemplos de m´etodos de interpola¸c˜ao: opts = ”linear”– interpola¸c˜ao linear por partes. opts = ”cubic” – interpola¸c˜ao c´ubica por partes. opts = ”spline” – interpola¸c˜ao c´ubica por partes com uma suavidade especial Exerc´ıcios Considerando as fun¸c˜oes descritas acima resolva os seguintes exerc´ıcios: 1. Os dados a seguir representam o tempo (T), em segundos, de congelamento para um certo volume (V ) de uma substˆancia. Use a regress˜ao para determinar um modelo para prever T como uma fun¸c˜ao de V . Tente v´arias possibilidades - linear, parab´olica, etc. Estime o tempo de congelamento usando 2.8 volumes. Mostre o estudo feito para a regress˜ao polinomial, imprimindo a tabela contendo r2e σ. Mostre, em um mesmo gr´afico, os pontos da tabela e a curva do melhor ajuste. V 2.65 2.65 2.7 2.7 2.75 2.75 2.85 2.85 2.90 2.90 2.95 2.95 3.00 3.00 T 6.85 6.80 6.70 6.30 6.33 6.20 5.90 5.82 5.80 5.80 6.15 6.00 6.30 6.15 2. A tabela abaixo relaciona o peso (yi) de embri˜oes de frangos desidratados em (gramas) com a sua idade xi em (dias). xi 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 yi 0.029 0.052 0.079 0.125 0.181 0.261 0.425 0.738 1.130 1.882 2.812 (a) Ajuste os dados da tabela a polinˆomios de ordem n = 4, 6, 8. (b) Em um mesmo sistema de eixos (x, y) plotar os gr´aficos dos polinˆomios e os pontos tabelados. (IMPORTANTE: para plotar os polinˆomios considere um quantidade maior de pontos do que aqueles tabelados) (c) Para cada polinˆomio estime o peso do embri˜ao em 8.5 dias. (d) Estime o dia em que o embri˜ao estar´a com 0.3 gramas, considerando uma aproxima¸c˜ao de ordem n = 6. 3. Obtenha uma sequˆencia de polinˆomios de interpola¸c˜ao de grau n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 para a fun¸c˜ao f(x) = 1./(x + 10) + x.3 + x.2 − 3 tabelada no intervalo [-1,1]. (Dica: ´e necess´ario definir tabela de pontos para cada n). O que vocˆe pode dizer do erro cometido para cada ordem do polinˆomio interpolador? 4. A tabela abaixo relaciona o peso (yi) de embri˜oes de frangos desidratados em (gramas) com a sua idade xi em (dias). xi 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 yi 0.029 0.052 0.079 0.125 0.181 0.261 0.425 0.738 1.130 1.882 2.812 (a) Fazendo uma escolha adequada dos pontos de interpola¸c˜ao, obtenha o polinˆomio interpolador de grau n = 4, 6, 8. (b) Em um mesmo sistema de eixos (x, y) plotar os gr´aficos dos polinˆomios e os pontos tabelados. (IMPORTANTE: para plotar os polinˆomios considere um quantidade maior de pontos do que aqueles tabelados) (c) Para cada polinˆomio estime o peso do embri˜ao em 8.5 dias. (d) Estime o dia em que o embri˜ao estar´a com 0.3 gramas, considerando uma aproxima¸c˜ao de ordem n = 6. (e) Compare os resultados desse item aos resultados do item (2). O que podemos dizer sobre esses dois resultados? 5. Interpolar a fun¸c˜ao y = sin(2 ∗ pi ∗ x/5) no intervalo [0, 10] usando diferentes m´etodos dispon´ıveis no Octave: linear, spline, cubic. 6. Considere a fun¸c˜ao no intervalo [−5, 5]. f(x) = 1. 1 + 25x.2 (a) Construa o polinˆomio interpolador para n = 3, 5, 10. (b) Plote o gr´afico da fun¸c˜ao e dos polinˆomios encontrados. (IMPORTANTE: para plotar os polinˆomios considere um quantidade maior de pontos do que aqueles tabelados) (c) Fa¸ca uma busca na internet para o termo ”Fenˆomeno de Runge”e disuta os resultados. (d) Considere a fun¸c˜ao interp1 para aproximar a fun¸c˜ao por polinˆomios. Podemos obter resultados melhoresconsiderando diferentes tipos de interpola¸c˜ao? Relat´orio: Deposite os arquivos .m desenvolvidos e um relat´orio suscinto com suas conclus˜oes sobre os objetivos listados acima em pdf no Classroom at´e 12/06/2023.