Exercícios sobre Sistemas Lineares

1 In33333 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS Engenharias CEATEC Introdução à Simulação Numérica Professores Alexandre Bia Cintia Denise e Vinícius Avaliações P1 ATIVIDADE P2 PROJETO Recuperação 1904 0604 2704 3105 1105 0806 1406 Unidade 2 SISTEMAS LINEARES Exercícios para aula SISTEMAS LINEARES Equação Linear Uma equação linear nas 𝑛 incógnitas 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 é uma expressão da forma 𝑎1𝑥1 𝑎2𝑥2 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑏 onde 𝑎1 𝑎2 𝑥𝑛 𝑏 são constantes reais Uma solução da equação 𝑎1𝑥1 𝑎2𝑥2 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑏 é uma sequência de 𝑛 números 𝑠1 𝑠2 𝑠𝑛 tal que a equação é satisfeita quando se substitui 𝑥1 por 𝑠1 𝑥2 por 𝑠2 e assim por diante Chamase conjunto solução o conjunto de todas as soluções da equação linear Determine o conjunto solução das equações abaixo 1 2𝑥 8 2 0𝑥 4 3 0𝑥 0 4 𝑥 𝑦 1 5 𝑎 3𝑥 𝑎2 9 6 𝑎2 1𝑥 𝑎 1 Sistema de equações lineares Sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares com 𝑛 incógnitas 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑎11𝑥1 𝑎12𝑥2 𝑎1𝑛𝑥𝑛 𝑏1 𝑎21𝑥1 𝑎22𝑥2 𝑎2𝑛𝑥𝑛 𝑏2 𝑎𝑚1𝑥1 𝑎𝑚2𝑥2 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑏𝑚 Na notação matricial 𝐴𝑥 𝑏 onde 𝐴 𝑎11 𝑎1𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚𝑛 𝑥 𝑥1 𝑥𝑛 e 𝑏 𝑏1 𝑏𝑚 Uma sequência 𝑠1 𝑠2 𝑠𝑛 é uma solução do sistema linear se for solução de todas as equações do sistema O conjunto solução é o conjunto de todas as soluções do sistema linear Exemplo 3𝑥 𝑦 2𝑧 8 2𝑥 3𝑦 2𝑧 3 112 é solução do sistema 7313 é outra solução 023 não é solução do sistema Tipos de sistemas lineares Um sistema linear pode ser a Sistema Incompatível ou impossível não tem solução b Sistema Compatível Determinado ou possível determinado possui apenas uma solução c Sistema Compatível Indeterminado ou possível indeterminado possui infinitas soluções 7 Considere o sistema linear 𝑥 𝑦 10 2𝑥 𝑦 8 a Represente graficamente as equações que compõem o sistema b Resolva algebricamente o sistema escreva o conjunto solução e classifiqueo de acordo com o número de soluções c Compare a solução algébrica obtida em b com a representação gráfica obtida em a 2 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 8 Refaça os itens do exercício 7 para os sistemas a 𝑥 𝑦 10 2𝑥 2 𝑦 20 b 𝑥 𝑦 10 𝑥 𝑦 8 Sistema Homogêneo 𝐴𝑥 𝑏 onde 𝑏 é o vetor nulo Note que esse tipo de sistema sempre é compatível pois sempre admite pelo menos a solução nula Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução Resolução de sistemas lineares Existem vários métodos para resolução de sistemas lineares Entre eles temos aqueles que utilizam o escalonamento da matriz ampliada coeficientes da matriz A e o vetor b 𝑎11 𝑎1𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚𝑛 𝑏1 𝑏𝑚 No método de Eliminação de Gauss a cada iteração criase zeros na coluna do líder e abaixo dele de modo que a matriz escalonada obtida fornece um sistema equivalente ao original que pode ser resolvido por substituição Exemplo Implemente na linguagem Scilab um algoritmo que resolva o seguinte sistema linear usando o método de Eliminação de Gauss Fase de Escalonamento Fase de substituição No método de GaussJordan obtemos a forma escalonada reduzida por linhas da matriz ampliada que facilita a resolução do sistema Esse procedimento será realizado pelo scilab através do comando rref Resolução de sistemas com parâmetros Um sistema pode envolver um ou mais parâmetros e a classificação do sistema depende da análise da matriz aumentada na forma escalonada 9 Resolva e classifique o sistema 𝑥 𝑦 2𝑧 4 𝑥 2𝑦 𝑧 2 3𝑥 𝑦 2𝑧 4 10 Classifique o sistema abaixo em função do parâmetro k 𝑥 𝑦 3 2𝑥 2𝑦 𝑘 11 Determine k para que o sistema abaixo admita solução única 4𝑥 3𝑦 2 5𝑥 4𝑦 0 2𝑥 𝑦 𝑘 12 Um teste é composto por 50 questões sendo que por cada questão certa você ganha 3 pontos e por cada questão errada você perde 2 pontos Se ao terminar essa prova você fez 75 pontos quantas questões certas e erradas você fez 13 Em cada jogo de um campeonato de futebol uma equipe pode ganhar dois um ou nenhum ponto conforme vença empate ou perca respectivamente Se num total de 5 jogos a equipe ganhou 7 pontos determine os possíveis números de vitórias empates e derrotas dessa equipe nesses jogos 3 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Exercícios propostos e aplicações 1 Resolva os sistemas a 𝑥 2𝑦 3𝑧 6 𝑥 3𝑦 4𝑧 2 2𝑥 𝑦 5𝑧 6 b 𝑥 2𝑦 3𝑧 𝑤 2 𝑥 𝑦 2𝑧 2𝑤 1 2𝑥 𝑧 3𝑤 0 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 0 c 𝑥 2𝑦 𝑧 7 2𝑥 𝑦 4𝑧 17 3𝑥 2𝑦 2𝑧 14 d 𝑥 2𝑦 3𝑧 4𝑡 2 2𝑥 5𝑦 2𝑧 𝑡 1 5𝑥 12𝑦 7𝑧 6𝑡 7 2 Para repor seus estoques um empresário compra peças do tipo A e do tipo B Em julho ele comprou 20 peças do tipo A e 60 peças do tipo B gastando um total de R132000 Em agosto ele comprou 40 peças do tipo A e 50 peças do tipo B gastando um total de R138000 Sabendo que o preço das peças não variou de julho para agosto qual é o preço da peça do tipo A e qual é o preço da peça tipo B 3 Uma empresa produz dois produtos diferentes A e B utilizando 3 matérias primas distintas I II III As quantidades necessárias de matérias primas para fabricar cada unidade dos produtos A e B estão relacionados abaixo Sabendose que ela dispõe de 41 unidades de I 53 unidades de II e 46 unidades de III quanto ela pode produzir de modo a utilizar toda a matéria prima A B I 2 1 II 3 1 III 1 2 4 Um comerciante sabe que a receita de um produto é uma função quadrática do preço isto é é uma função da forma 2 R ap bp c onde R é a Receita e p é o preço unitário de venda ambos em reais Para determinar a função receita ele observou a receita obtida para três preços diferentes conforme tabela Preço p 100 200 400 Receita R 1800 3200 4800 a Determine a expressão da função receita b Qual é o preço que maximiza a receita c Qual é a receita máxima 5 Considere que três pessoas Pedro Carlos e João tem a seguinte relação entre seus salários i Duas vezes o salário de Carlos menos o salário de João menos o salário de Pedro é igual a R 300000 ii A soma do salário das três pessoas é igual a R 600000 iii O salário de Pedro mais duas vezes o salário de João mais duas vezes o salário de Carlos é igual a R 1100000 Determine o salário de cada um deles 6 Em um laboratório as substâncias A B e C são a matériaprima utilizada na fabricação de dois medicamentos O medicamento I é fabricado com 5g de A 8g de B e 10g de C e o medicamento II é fabricado com 9g de A 6g de B e 4g de C Os preços dessas substâncias estão em constante alteração e por isso um funcionário criou um programa de computador para enfrentar essa dificuldade Fornecendose ao programa os preços X Y e Z de um grama das substâncias A B e C encontre as expressões que fornecem os preços de custos com matéria prima para os medicamentos I e II 7 O Ministério dos Transportes investiu 50 milhões de dólares na construção de 3 estradas A B e C O custo da estrada B foi o dobro do custo de C e A custou 2 milhões de dólares a mais que o custo das outras duas estradas juntas Encontre o valor gasto com cada estrada 8 Verifique se os sistemas homogêneos possuem solução não trivial a 𝑥 3𝑦 2𝑧 0 𝑥 8𝑦 8𝑧 0 3𝑥 2𝑦 4𝑧 0 b 𝑥 3𝑦 2𝑧 0 2𝑥 3𝑦 𝑧 0 3𝑥 2𝑦 2𝑧 0 4 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Gabarito dos exercícios propostos 1 a SCD 𝑆 111 b SI 𝑆 c SCD 𝑆 2 13 d SI 𝑆 2 𝑆 1218 3 𝑆 1217 4 a 𝑅 2𝑝2 20𝑝 b 𝑝 5 c 𝑅5 50 5 Pedro R 100000 Carlos R 300000 João R 200000 6 Medicamento I PI5x8y10z Medicamento II PII9x6y4z 7 A custou 26 milhões B custou 16 milhões e C custou 8 milhões 8 a sim b não 5 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Exercícios para as aulas práticas Explorando o scilab 1 Considere o sistema linear dado por 4𝑥 𝑦 8 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐 a Utilizando o geogebra represente graficamente as retas que compõem o sistema Considere 𝑎 𝑏 𝑒 𝑐 como controles deslizantes b Analise o sistema e determine para quais valores dos parâmetros a b e c o sistema é i SI ii SCD iii SCI c Usando o scilab ou o geogebra calcule o determinante da matriz dos coeficientes para diferentes valores dos parâmetros d Para os valores que tornam o sistema compatível determinado solução única encontre a solução usando a matriz inversa 2 Seja a matriz 𝐴 1 2 1 0 1 2 1 1 1 Determine o que se pede em cada item abaixo a Mostre que A é inversível b Calcule a matriz inversa de A utilizando o comando inv do Scilab c Se 𝑏 1 2 2 então resolva o sistema Axb usando inversão de matrizes d detA 0 Porque 3 Resolva os sistemas de equações lineares abaixo usando o comando rref do Scilab que reduz a matriz ampliada do sistema linear 𝐴𝑥 𝑏 pelo Método de Gauss Jordan e 𝑥 2𝑦 3𝑧 9 2𝑥 𝑦 𝑧 0 4𝑥 𝑦 𝑧 4 f 𝑥 3𝑦 2𝑧 0 𝑥 2𝑦 𝑧 0 2𝑥 4𝑦 6𝑧 0 4 Os poluentes A B e C foram detectados uma amostra de ar de uma grande cidade Observou se que o total dos três poluentes na amostra correspondia a 15 𝑚𝑚3 por litro Na amostra a quantidade de A era o dobro de B e a de C era 75 da de B Determine a quantidade de cada poluente na amostra Obtenha o sistema de equações que representa o problema e resolva o 5 A figura abaixo mostra uma rede de canos de água com fluxo medido em litros por minuto a Monte e resolva um sistema linear para encontrar os fluxos possíveis e indique os valores máximos e mínimos de cada um deles b Se o fluxo através de AB está restrito a 5 litros por minuto qual será o fluxo através dos outros ramos EXERCÍCIOS 1 Resolva os sistemas abaixo usando o comando rref do Scilab a 𝑥 𝑦 𝑧 5 𝑥 2𝑦 4𝑧 4 3𝑥 𝑦 2𝑧 3 b 𝑥 3𝑦 2𝑧 3𝑤 7𝑡 14 2𝑥 6𝑦 𝑧 2𝑤 5𝑡 2 𝑥 3𝑦 𝑧 2𝑡 1 2 Discuta a existência de solução dos seguintes sistemas de equações lineares abaixo e resolva o sistema quando for possível usando o comando rref do Scilab a 𝑥 𝑦 2𝑧 1 2𝑥 𝑦 3𝑡 2 𝑥 2𝑦 𝑧 2𝑡 0 b 𝑥 3𝑦 2𝑧 2 3𝑥 5𝑦 4𝑧 4 5𝑥 3𝑦 4𝑧 10 6 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 c 𝑥 2𝑦 𝑧 𝑤 1 𝑥 3𝑦 𝑧 2𝑤 3 3 O coração do centro de uma cidade consiste de ruas de mão única o fluxo do tráfego é medido em cada cruzamento Para os quarteirões mostrados na figura abaixo os números representam o número médio de veículos por minuto entrando e saído dos cruzamentos A B C e D durante o horário comercial a Monte e resolva um sistema de equações lineares para encontrar os possíveis fluxos b Se o tráfego CD for regulado de modo que f410 veículos por minuto qual será o fluxo médio das outras ruas c Quais são os fluxos mínimo e máximo possíveis em cada rua d De que forma o resultado mudaria se todos os sentidos do fluxo fossem trocados 4 Uma rede de canais de irrigação é mostrada na figura abaixo com fluxo medido em milhares de litros por dia a Monte e resolva um sistema de equações lineares para encontrar os possíveis fluxos f1 f5 b Suponha que o canal DC seja fechado Qual intensidade de fluxo será necessário manter através de DB 5 Uma fileira de cinco lâmpadas é controlada por cinco interruptores Cada interruptor muda o estado ligado ou desligado da lâmpada diretamente sobre ele e os estados das lâmpadas imediatamente adjacentes a esquerda e à direita Suponha que as lâmpadas estejam inicialmente desligadas conforme exibe a figura abaixo E possível pressionar os interruptores em alguma ordem de modo que apenas a segunda e A quarta lâmpadas fiquem acesas Respostas a a 𝑥 2 𝑦 3 𝑒 𝑧 0 b b a infinitas soluções b sistema impossível c infinitas soluções 3 a 𝑆 𝑓4 5 25 𝑓4 30 𝑓4 𝑓4 5 𝑓4 25 b 𝑓1 5 𝑓2 15 𝑓3 20 c 0 𝑓1 20 0 𝑓2 20 5 𝑓3 25 10 5 15 15 10 15 f2 f1 f3 f4 A B C D 10 20 7 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 4 a 𝑓1 200 𝑠 𝑡 𝑓2 300 𝑠 𝑡 𝑓3 𝑠 𝑓4 150 𝑡 𝑓5 𝑡 b 200 𝑓3 300 5 Sim Pressione os interruptores 1 2 e 3 ou os interruptores 3 4 e 5