Lista de Exercícios: Vetores e Matrizes

1 In33333 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS Engenharias CEATEC Introdução à Simulação Numérica Professores Alexandre Bia Cintia Denise e Vinícius Avaliações P1 ATIVIDADE P2 PROJETO Recuperação 1904 0604 2704 3105 1105 0806 1406 Unidade 1 VETORES E MATRIZES Exercícios para aula Vetores Dados nas ciências exatas e na computação em particular são frequentemente organizados em arrays isto é conjuntos cujos elementos são indexados por um ou mais índices Normalmente um array unidimensional é chamado um vetor e um array bidimensional é chamado de matriz A dimensão neste caso diz respeito ao número de índices Para motivar estas estruturas considere a seguinte situação Exemplo Os pesos em libras de oito estudantes são listados a seguir 134156127145203186145138 Podese denotar todos os valores na lista inserindo apenas um símbolo w indexado com índice distintos w1w2w3w4w5w6w7w8 Cada índice denota uma posição do valor na lista Por exemplo 𝑤1 134 o primeiro número 𝑤2 156 o segundo número Essa lista é dita um vetor ou um array linear Vamos nos referenciar a uma lista de números 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 como um vetor 𝑢 e dado o enfoque computacional da disciplina iremos convencionar a representação padrão do vetor sob a forma de vetor coluna Tal vetor é denotado por 𝑢 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 Os números 𝑎𝑖 são ditos componentes entradas ou elementos de u Soma de Vetores Sejam os vetores 𝑢 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 e 𝑣 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑛 A soma de 𝑢 e 𝑣 𝑢 𝑣 é o vetor obtido pela adição das componentes de u e v isto é 𝑢 𝑣 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑛 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 𝑎𝑛𝑏𝑛 Multiplicação de um vetor por escalar Seja o vetor 𝑢 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 e o escalar 𝛼 ℝ Então 𝛼𝑢 𝛼 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 𝛼𝑎1 𝛼𝑎2 𝛼𝑎𝑛 Vetor Transposto Dado um vetor coluna 𝑢 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 o vetor 𝑢 transposto é o vetor linha 𝑢𝑇 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 Produto Interno Sejam os vetores 2 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 𝑢 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 e 𝑣 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑛 O produto interno dos vetores 𝑢 𝑒 𝑣 é definido e dado por 𝑢𝑇 𝑣 𝑎𝑖𝑏𝑖 𝑛 𝑖1 Matrizes Considere a situação abaixo O proprietário de uma loja fez uma promoção de 2 produtos A e B e anotou as quantidades vendidas de cada um deles durante 1 semana Produto A segundafeira da 1ª semana 5 terçafeira da 1ª semana 6 quartafeira da 1ª semana 7 quintafeira da 1ª semana 7 sextafeira da 1ª semana 10 sábado da 1ª semana 15 Produto B segundafeira da 1ª semana 4 terçafeira da 1ª semana 7 quartafeira da 1ª semana 6 quintafeira da 1ª semana 8 sextafeira da 1ª semana 12 sábado da 1ª semana 13 Na semana seguinte a promoção foi suspensa e o proprietário anotou novamente as quantidades vendidas de cada produto Produto A segundafeira da 2ª semana 4 terçafeira da 2ª semana 3 quartafeira da 2ª semana 5 quintafeira da 2ª semana 6 sextafeira da 2ª semana 8 sábado da 2ª semana 10 Produto B segundafeira da 2ª semana 2 terçafeira da 2ª semana 0 quartafeira da 2ª semana 1 quintafeira da 2ª semana 7 sextafeira da 2ª semana 9 sábado da 2ª semana 8 a Organize os dados acima b Como você poderia apresentar a quantidade total vendida de cada produto nas duas semanas em cada dia da semana c Na terceira semana o proprietário fez uma super liquidação e conseguiu vender em cada dia da semana o dobro das quantidades vendidas na 1ª semana Como essas informações podem ser apresentadas Uma matriz é um conjunto retangular de números símbolos ou expressões organizados em linhas e colunas Cada um dos itens de uma matriz é chamado de elemento 𝐴 𝑎11 𝑎1𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚𝑛 Simbologia 𝐴𝑚𝑛 𝑎𝑖𝑗 Os índices 𝑖 e 𝑗 indicam a posição do elemento 𝑎𝑖𝑗 Igualdade de matrizes Duas matrizes são iguais quando os elementos que ocupam as mesmas posições são iguais Matriz transposta Dada uma matriz 𝐴𝑚𝑛 a sua matriz transposta 𝐴𝑇 𝑛𝑚 é a matriz cujas linhas são as colunas da matriz 𝐴 Exemplos 1 Calcule o produto dos elementos da 2ª linha da matriz 𝐴43 dada por 𝑎𝑖𝑗 𝑖 𝑠𝑒 𝑖 𝑗 𝑗 𝑠𝑒 𝑖 𝑗 2 Dada a matriz 𝐴22 tal que 𝑎𝑖𝑗 𝑖 𝑗2 1 calcule o valor da expressão 𝑎11𝑎22 𝑎12𝑎21 3 Determine os valores de a b c d e e para que a igualdade seja válida 3𝑎 𝑏 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑑 0 𝑒 6 5 0 1 0 4 Alguns tipos de Matrizes Matriz Quadrada número de linhas igual ao número de colunas 𝑛 𝑚 Matriz Simétrica é uma matriz quadrada tal que 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑖 Ou ainda 𝐴 𝐴𝑇 Matriz Diagonal matriz quadrada tal que 𝑎𝑖𝑗 0 se 𝑖 𝑗 Matriz Identidade matriz diagonal com 𝑎𝑖𝑖 1 Matriz Triangular Superior matriz quadrada com 𝑎𝑖𝑗 0 se 𝑖 𝑗 Matriz Triangular Inferior matriz quadrada com 𝑎𝑖𝑗 0 se 𝑖 𝑗 OPERAÇÕES COM MATRIZES 1 Adição 3 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Dadas duas matrizes 𝐴𝑚𝑛 e 𝐵𝑚𝑛 definimos a adição entre elas por 𝐶𝑚𝑛 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑚𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 Ou seja a matriz resultante é obtida somandose os elementos que ocupam a mesma posição Observe que esta operação só é possível entre matrizes de mesma dimensão e a matriz resultante preserva essa dimensão 2 Produto por escalar Dados uma matriz 𝐴𝑚𝑛 e um número real 𝑘 definimos a operação de produto por escalar por 𝐶𝑚𝑛 𝑘𝐴𝑚𝑛 𝑘𝑎𝑖𝑗 Ou seja a matriz resultante é obtida multiplicandose cada elemento da matriz A pelo escalar k Observe que a matriz resultante terá a mesma dimensão da matriz A 3 Multiplicação de matrizes Consideremos inicialmente os exemplos abaixo 1 Uma dieta é composta por 3 tipos de alimentos I II e III A tabela abaixo apresenta a composição nutricional desses alimentos em relação a 2 ingredientes distintos A e B Alimento Ingredientes I II III A 1 2 0 B 2 1 3 Num determinado dia uma pessoa ingeriu 3 unidades do alimento I 2 do alimento II e um do alimento III Qual foi a quantidade ingerida de cada um dos ingredientes A e B 2 Na confecção de três modelos de camisas A B e C são usados botões grandes G e pequenos p O número de botões por modelos é dado pela tabela Camisa A Camisa B Camisa C Botões p 3 1 3 Botões G 6 5 5 O número de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho é dado pela tabela Maio Junho Camisa A 100 50 Camisa B 50 100 Camisa C 50 50 Nestas condições obter o total de cada tipo de botões usados em maio e junho Definição Dadas duas matrizes 𝐴𝑚𝑝 e 𝐵𝑝𝑛 definimos cada elemento 𝑐𝑖𝑗 resultante da multiplicação entre elas por 𝐶𝑚𝑛 𝐴𝑚𝑝 𝐵𝑝𝑛 𝑐𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗 𝑝 𝑘1 Observe que esta operação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz A matriz resultante terá a mesma quantidade de linhas da primeira e colunas da segunda Exemplos 1 Considere as matrizes 𝐴 3 1 0 1 1 2 𝐵 4 1 1 2 𝐶 1 1 2 3 1 4 𝐷 1 4 1 1 0 1 2 2 1 Calcule se possível a 𝐴𝐵 b 𝐵𝐴 c 3𝐷 𝐶 d 𝐵𝐶 e 𝐷 𝐴𝐶 2 Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa moderno mediterrâneo e colonial A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada abaixo ferro madeira vidro tinta tijolo Moderno 5 20 16 7 17 Mediterrâneo 7 28 12 9 21 colonial 6 25 8 5 13 Se ele vai construir 5 7 e 12 casas do tipo moderno mediterrâneo e colonial respectivamente quantas unidades de cada material serão empregadas 3 A temperatura corporal de um paciente foi medida em graus Celsius três vezes ao dia durante quatro dias Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j 𝑇 356 364 386 361 37 372 355 357 37 36 404 392 4 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Determine a o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura b a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação 4 A matriz C fornece em reais o custo das porções de arroz carne e salada usados num restaurante A matriz P fornece o número de porções de arroz carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1 P2 P3 desse restaurante Calcule o custo de produção os pratos Operações Elementares sobre linhas Dada uma matriz qualquer as seguintes operações são chamadas de operações elementares sobre linhas 1 Troca de ordem de duas linhas 2 Multiplicação de uma linha por uma constante não nula 3 Substituição de uma linha pelo resultado da soma de duas linhas A matriz obtida a partir da realização de qualquer uma dessas operações produz uma outra matriz As Quando uma matriz é obtida de outra a partir de operações elementares dizemos que elas são equivalentes Escalonamento de uma matriz Dizemos que uma matriz está escalonada quando o número de zeros antes do primeiro elemento não nulo de cada linha aumenta a cada linha podendo restar linhas nulas Escalonar uma matriz é obter uma matriz equivalente a matriz dada na forma escalonada Exemplos 1 Escalone as matrizes abaixo a 𝐴 2 1 0 1 1 1 1 2 2 b 𝐴 3 1 0 2 1 2 1 0 1 1 0 0 Matriz Inversa Uma matriz 𝐵 é dita inversa de 𝐴 se 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐼 onde 𝐼 é a matriz identidade Neste caso 𝐴 é dita inversível e 𝐵 é chamada inversa de 𝐴 Notação 𝐵 𝐴1 Exemplo 𝐴 3 5 1 2 e 𝐵 2 5 1 3 OBSERVAÇÕES Nem todas as matrizes são inversíveis Há vários métodos para se obter a inversa Esse assunto será tratado nas aulas práticas 5 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Exercícios propostos e aplicações 1 Calcule o produto dos elementos da 2ª coluna da matriz 𝐴3x5 dada por 𝑎𝑖𝑗 𝑖 𝑗 𝑠𝑒 𝑖 𝑗 2𝑗 𝑠𝑒 𝑖 𝑗 2 Dada a matriz 𝐴2𝑥2 tal que 𝑎𝑖𝑗 𝑖 𝑗2 2 calcule o valor da expressão 𝑎11 𝑎22 2𝑎12𝑎21 3 Determine os valores de x y para que a igualdade seja válida 𝑥2 𝑦2 2𝑥 𝑦 2 1 1 2 3 4 Se 𝑎 2 𝑥 𝑦 𝑥 𝑏 1 𝑦 𝑎 2 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 1 𝑏 qual o valor da soma 𝑥 𝑦 5 Se 2 1 3 0 1 1 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑦 𝑥 𝑧 com 𝑥 0 𝑦 0 𝑒 𝑧 0 encontre o valor de 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 𝑥 6 Dadas as matrizes 𝐴 1 2 1 0 3 2 𝐵 0 2 4 5 2 3 𝐶 1 1 1 4 𝐷 2 1 0 5 6 1 Calcule se existir a AB b B2A c AB d BC e DB3C f CD g AD 7 As meninas 1 Adriana B Bruna e 3 Carla falam muito ao telefone entre si A matriz M mostra cada elemento aij representando o número de telefonemas que i deu para j no mês de setembro 0 12 9 6 0 18 13 10 0 M Quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações 8 As quantidades vendidas no mês de abril de dois produtos I e II de uma certa empresa vendidos em duas filiais X e Y são apresentadas no quadro I Quadro I Produto I Produto II Filial X 100 150 Filial Y 200 120 Já as vendas no mês de maio são dadas pelo quadro II Quadro II Produto I Produto II Filial X 120 130 Filial Y 180 150 Representando os quadros acima pelas matrizes A e B utilize a notação matricial para responder os itens abaixo a Calcule e interprete o resultado de AB b Sabendose que no mês de junho as vendas caíram 10 em relação a maio calcule o total vendido neste semestre 9 Uma empresa fabrica três produtos Suas despesas de produção estão divididas em três categorias tabela I Em cada uma dessas categorias fazse uma estimativa do custo de produção de um único exemplar de cada produto Fazse também uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por estação tabela II Tabela I Custo de produção por item em dólares Categorias Produto A B C Matéria prima 010 030 015 Pessoal 030 040 025 Despesas gerais 010 020 015 6 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Tabela II Quantidade produzida por estação Categorias estação verão outono inverno primavera A 4000 4500 4500 4000 B 2000 2600 2400 2200 C 5800 6200 6000 6000 Representando as tabelas I e II pelas matrizes M e N calcule e interprete o significado da matriz MN 10 Encontre os elementos a b c d para que 2 𝑎 2 6 9 𝑏 3 3 2 𝑐 7 2 𝑑 7 6 18 11 8 2 11 Um fabricante faz dois tipos de produtos P e Q em cada uma de duas fábricas X e Y Ao fazer esses produtos são produzidos dióxido de enxofre óxido nítrico e partículas de outros materiais poluentes As quantidades de poluentes produzidas são dadas em kg pela matriz A a primeira linha referese ao produto P e a segunda ao produto Q Dióxido óxido de enxofre nítrico partículas 400 250 200 150 100 300 A Leis estaduais e federais exigem a remoção desses poluentes O custo diário para remover cada quilo de poluente é dado em dólares pela matriz Fábrica Fábrica X Y 𝐵 8 12 7 9 15 10 𝑑𝑖ó𝑥𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑥𝑜𝑓𝑟𝑒 ó𝑥𝑖𝑑𝑜 𝑛í𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 Qual o significado dos elementos do produto matricial AB 12 Verifique JUSTIFICANDO se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas apresente um exemplo que mostre que é falsa a Se AB está definida então BA está definida b Se AB está definida e é uma matriz quadrada então BA está definida c Se ABBA então A e B são ambas quadradas e de mesmo tamanho d Se AB e BA ambas existem então ABBA 13 Considere as matrizes 𝐴 𝑎𝑖𝑗47 tal que 𝑎𝑖𝑗 𝑖 𝑗 e 𝐵 𝑏𝑖𝑗79 tal que 𝑏𝑖𝑗 𝑖 e 𝐶 𝐴𝐵 Calcule os elementos 𝑐63 e 𝑐38 OBS não calcule as matrizes apenas os elementos indicados 14 Um técnico de basquetebol descreveu o desempenho dos titulares de sua equipe em sete jogos através da matriz Cada elemento 𝑎𝑖𝑗 dessa matriz é um número de pontos marcados pelo jogador de número i no jogo j a Quantos pontos marcou o jogador de número 3 no jogo 5 b Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4 c Quantos pontos marcou o jogador de número 2 em todos os jogos 15 Cinco amigos A1 A2 A3 A4 e A5 viajaram juntos num fim de semana e durante a viagem s despesas foram divididas igualmente entre eles Entretanto para facilitar o troco algumas vezes um emprestava dinheiro para o outro Considere que nas matrizes S e D abaixo estão registrados os valores em reais que cada um emprestou para o outro no sábado e domingo respectivamente sendo que o elemento da linha i e coluna j representa o que o amigo Ai emprestou para o amigo Aj nesse dia 𝑆 0 4 7 10 2 15 0 11 1 0 12 5 0 4 8 5 0 2 0 10 5 1 3 2 0 𝐷 0 1 4 2 1 0 0 16 7 10 15 8 0 11 0 0 4 5 0 5 18 3 0 4 0 7 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Ao final da viagem quanto o amigo A4 devia aos demais amigos E quanto o amigo A1 tinha a receber Gabarito dos exercícios propostos 1 𝐴 2 4 6 8 10 3 4 6 8 10 4 5 6 8 10 2 𝐴 2 3 3 2 𝑎11 𝑎22 2𝑎12𝑎21 14 3 𝑥 1 𝑒 𝑦 1 4 𝑥 𝑦 3 5 1 6 𝑎 1 0 3 5 1 5 𝑏 2 6 6 5 8 1 𝑑 𝑑 2 8 1 24 1 14 𝑒 1 6 19 29 𝑓 7 5 1 18 25 4 𝑔 12 11 2 2 1 0 4 15 2 7 Bruna foi quem mais telefonou e Adriana foi quem mais recebeu ligações 8 a 𝐶 𝐴 𝐵 220 280 380 270 cada elemento 𝑐𝑖𝑗 representa o total vendido na filial i X1 e Y2 do produto j I II nos meses de abril e maio b I II X 328 397 Y 542 405 9 𝑀𝑁 1870 2160 2070 1960 3450 3940 3810 3580 1670 1900 1830 1740 A matriz fornece os custos em dólares dos produtos I II e III referente a matéria prima 1ª linha pessoal 2ª linha e despesas gerais 3ª linha nos períodos verão 1ª coluna outono 2ª coluna inverno 3ª coluna e primavera 4ª coluna 10 a5 b 3 c 6 d4 11 A matriz resultante representa os custos totais de remoção dos poluentes P e Q 1ª e 2ª linhas respectivamente nas fábricas X e Y 1ª e 2ª colunas respectivamente 12 a F b V c V d F 13 𝑐63 não existe e 𝑐38 56 14 a 14 b 90 c 128 15 A4 deve R 700 para A1 R 400 para A2 R 800 para A3 e deve receber R 900 de A5 Total da dívida 1000 A1 deve R 1000 para A2 R 1600 para A3 R 2000 para A5 e deve receber R 700 de A4 Total da dívida 3900 Exercícios para as aulas práticas Explorando o scilab O Scilab é um software livre Para baixar acesse httpwwwscilaborg versão 611 Ao abrir o software visualizamos as seguintes janelas O espaço de trabalho no Scilab é composto por várias janelas Console para fazer cálculos O prompt é exibido Histórico de comandos mostra a sequência de comandos utilizados Navegador de arquivos mostra onde os arquivos estão salvos Navegador de variáveis mostra as variáveis armazenadas Na barra de ferramentas está disponível o Editor SciNotes que será utilizado para elaborar scripts e algoritmos e salválos em arquivos 8 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Comandos básicos clc limpa a janela do console apagando todas as entradas e saídas clear limpa o ambiente de trabalho removendo todas as variáveis operação de adição operação de subtração operação de multiplicação operação de divisão operação de potenciação opção para escrever um comentário O que vem escrito após não é considerado como comando pelo scilab OBS O scilab é sensível a letras maiúsculas e minúsculas Constantes Especiais Podemos definir uma expressão algébrica e depois atribuir valores para as variáveis para avaliar o valor obtido Ex x 2 y1 E digitando zxy O scilab retorna o valor 3 Definição de matriz os elementos são digitados entre colchetes sendo que um espaço ou vírgula indica a mudança de coluna e ponto e vírgula indica a mudança de linha feita através de ponto e vírgula Ex A3 5 1 1 2 3 define a matriz 𝐴 3 5 1 1 2 3 e número de Euler 27182818 inf infinito i número imaginário i Algumas operações e comandos referentes às matrizes Operação Descrição Observaçãosintaxe do comando AB Adição de matrizes As matrizes A e B devem ter a mesma dimensão AB AB Subtração de matrizes AB Multiplicação de matrizes O número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B AB A Transposta de A A kA Produto escalar de A por k kA Ak Matriz a elevada à potência k A matriz A deve ser quadrada Ak Soma elementos Soma dos elementos da matriz sumA Soma por coluna Soma dos elementos de cada coluna sumA1 Soma por linha Soma dos elementos de cada linha sumA2 Produto elementos Produto dos elementos da matriz prodA Produto por coluna Produto dos elementos de cada coluna prodA1 Produto por linha Produto dos elementos de cada linha prodA2 max Maior elemento da matriz maxA min Menor elemento da matriz minA eye Cria uma matriz identidade ou parte dela atribuindo 1 para os eyemn 9 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 elementos com ij e zero para os demais rand Gera uma matriz com valores aleatórios entre 0 e 1 randmn matriz retangular mxn Para que os valores estejam por exemplo entre 0 e 10 basta acrescentar 10randmn tril Obtém a matriz triangular inferior de uma matriz trilA triu Obtém a matriz triangular superior de uma matriz triuA 𝑎𝑖𝑗 Localiza o elemento que ocupa a linha i coluna j na matriz A Aij Linha i Extrai os elementos da linha i da matriz A Ai Coluna j Extrai os elementos da coluna j da matriz A Aj Elementos específicos Identifica os elementos localizados na coluna j da linha i até a linha k Aikj Escalonamento Obtém a matriz equivalente na forma reduzida por linhas rrefA A1 Matriz inversa invA Alteração dos elementos de uma linha Acrescenta a constante k aos elementos da linha i da matriz A AiAik Multiplica os elementos da linha i pela constante k AikAi Alteração dos elementos de uma coluna Subtrai a constante k aos elementos da coluna i da matriz A AjAjk Última linha Mostra a última linha da matriz A A Última coluna Mostra a última linha da matriz A A Inserção de linhas na matriz A Insere uma linha no final da matriz AA linha adicional Inserção de colunas na matriz A Insere uma linha no final da matriz AA coluna adicional Exclusão de linhas de juma matriz Exclui as linhas k r da matriz A Ak r Definição de um vetor a partir do valor inicial valor final e incremento Construção de um vetor cujos elementos estão numa PA Por ex u0 01 02 03 1 u0011 uvalor inicialincrementovalor final Elaboração de scripts O arquivo será salvo na pasta escolhida e indicada na janela navegador de arquivos 10 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 Estruturas condicionaislaço Usaremos os comandos if else e elseif quando a verificação de uma condição ou mais for necessária para a execução de um comando Para um algoritmo recursivo utilizase a estrutura de laço através do comando for Exemplos 1 A matriz Pode ser obtida no scilab a partir do seguinte script 2 O vetor coluna 𝑢 1 3 6 10 cujas entradas correspondem a soma dos n a partir do script a s é uma variável auxiliar que permite atualizar o valor da soma a cada iteração 11 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 EXERCÍCIOS 1 Admita que 𝑥 3 𝑒 𝑦 4 Use o scilab para avaliar as seguintes expressões a 𝑥2𝑦3 𝑥𝑦2 b 𝑥 𝑒2𝑦𝑥𝑦 2 Construa utilizando valores aleatórios as seguintes matrizes 𝐴8𝑥5 𝐵3𝑥5 𝐶5𝑥8 e 𝐷3𝑥3 Efetue as operações abaixo usando os comandos apropriados a 𝐴𝐵𝑇 b 𝐶 𝐴𝑇 c 𝐵𝑇D 3 Usando as matrizes do exercício 2 obtenha a 𝑎23 b 2ª linha de B c linhas 3 e 10 de C d o maior elemento de D e A 7ª linha da matriz A com os elementos acrescidos de 2 unidades f Os elementos da 4ª coluna das linhas de 2 a 5 na matriz A g produto do maior elemento de B pelo menor elemento de A 4 Usando o scilab construa uma matriz 𝐴5𝑥5 tal que 𝑎𝑖𝑗 𝑖 𝑗 𝑠𝑒 𝑖 𝑗 2𝑗 𝑠𝑒 𝑖 𝑗 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 5 Elabore um algoritmo na linguagem scilab que define a matriz A67 tal que 6 Elabore um algoritmo na linguagem scilab que escreve o vetor usando a estrutura de laço 7 Elabore um algoritmo na linguagem scilab que escreve o vetor Observação Use a estrutura de laço e use o fato 12 22 𝑛2 𝑛𝑛 12𝑛 1 6 8 Elabore um algoritmo recursivo na linguagem scilab que escreve o vetor Observação Use a estrutura de laço e use o fato 13 23 𝑛3 1 2 𝑛2 9 Considere a matriz Aplique os comandos do scilab para responder os seguintes itens a Acesse o elemento a34 de A b Acesse a terceira coluna de A c Acesse a quarta linha de A d Acesse o bloco da matriz A constituído pelas linhas i1 e i2 e pelas colunas de j2 até j4 e Acesse o bloco da matriz A constituído pelas linhas i2 e i3 e pelas colunas de j1 até j3 Cadeias de Markov Vamos supor que um sistema físico esteja sofrendo mudanças de modo que a cada momento ele possa ocupar algum entre um número finito de estados 12 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 xiestados possíveis itempo i123n Suponha que um tal sistema mude com o tempo de um estado para outro e que em instantes predeterminados observamos o estado do sistema Se a probabilidade de um certo estado ocorrer puder ser predita a partir do conhecimento do estado do sistema na observação imediatamente anterior então o processo de mudança de um estado para outro é chamado de cadeia de Markov Por exemplo numa cadeia de Markov de três estados a matriz de transição tem o formato Probabilidade do sistema mudar do estado 2 para o estado 3 p32 Solução Podemos descrever o estado possível do sistema numa certa observação de uma cadeia de Markov com três estados por um vetor coluna 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 No qual x1 é a probabilidade de que o sistema esteja no estado 1 x2 é a probabilidade de que o sistema esteja no estado 2 e x3 é a probabilidade de que o sistema esteja no estado 3 Se soubermos o vetor de estado 𝑥0 de uma cadeia de Markov em alguma observação inicial e se P for a matriz de transição da cadeia de Markov podemos determinar os vetores de estado nas observações subsequentes a partir da seguinte relação recursiva Exemplo Uma locadora de automóveis tem três lojas de atendimento denotadas por 1 2 e 3 Um cliente pode alugar um carro de qualquer uma das três lojas e devolver o carro para qualquer uma das três lojas O gerente nota que os clientes costumam devolver os carros de acordo com as probabilidades seguintes a Qual é a probabilidade de que um carro alugado na loja 3 vá ser devolvido na loja 2 Resposta 06 ou 60 b Qual é a probabilidade de que um carro alugado na loja 1 vá ser devolvido na loja 1 Resposta 08 ou 80 c Se um carro foi inicialmente alugado na loja 2 determine o vetor de estado inicial Resposta 𝑥0 0 1 0 d Determine os três vetores de estado subsequentes Resposta 𝑥01 𝑃𝑥0 𝑥1 𝑃𝑥0 𝑥2 𝑃𝑥1 𝑃2𝑥0 𝑥3 𝑃𝑥2 𝑃3𝑥0 Vamos calcular os três vetores de 13 Introdução à Simulação Numérica Lista de Exercícios Teoria e Aplicações 2022 estado a partir de um algoritmo iterativo no scilab MATRIZ DE TRANSIÇÃO P08 03 0201 02 0601 05 02 VETOR DE ESTADO INICIAL xo 0 1 0 for i13 XiPixo end output X 03 04 0477 02 037 0252 05 023 0271 Ou seja os três vetores de estado são 𝑥1 03 02 05 𝑥2 04 037 023 𝑥3 0477 0252 0271 10 Considere a seguinte matriz de transição para uma cadeia de Markov com dois estados Considere 𝑥0 o seguinte vetor de estado inicial para a população a Calcule 𝑥1 e 𝑥2 b Qual proporção da população do estado 1 passará para o estado 2 após 2 passos c Qual proporção da população do estado 2 estará no estado 1 após dois passos d Determine o vetor de estado estacionário 11 Considere a seguinte matriz de transição para uma cadeia de Markov com três estados Considere 𝑥0 o seguinte vetor de estado inicial para a população a Calcule 𝑥1 e 𝑥2 b Qual proporção da população do estado 2 estará no estado 3 após 2 passos 12 Um estudo de safras de nozes de pinha do Sudoeste americano de 1940 a 1947 levantou a hipótese de a produção de nozes seguir uma cadeia de Markov Os dados sugeriram que se a safra de um ano fosse boa as probabilidades de a safra do ano seguinte ser boa regular ou ruim seriam respectivamente 008 007 e 085 se a safra de um ano fosse regular as probabilidades de a safra do ano seguinte ser boa regular ou ruim seriam de respectivamente 009 011 e 080 se a safra de um ano fosse ruim as probabilidades de a safra do ano seguinte ser boa regular ou ruim seriam de respectivamente 011 005 e 084 a Se a safra de noz de pinha foi boa em 1940 ache as probabilidades de uma boa safra nos anos 1941 até 1945 b A longo prazo qual proporção da safra será boa regular e ruim