Atividade 3

Terceiro Trabalho de Cálculo I Valor 75 pontos Atenção A entrega não deve ser física e sim virtual via Canvas Observação Pode ser feito individualmente ou em dupla Se feito em dupla enviar apenas um cópia por dupla 1 Em cada caso calcule a derivada da função fx dada a fx x2 lnx d fx sen x3 lnx b fx ³xex e fx tanexx c fx 2x x7 3x f fx lnx 15x9 2 Em cada caso determine a equação da reta tangente ao gráfico da função fx no ponto do gráfico de coordenada x dada a fx 12xx1 x1 b fx e5x x0 c fx ln1x2 x1 3 Determine a equação da reta tangente à curva de equação x3 y5 6y 3 no ponto 21 CÁLCULO Questão 1 a Seja a função fxx2 lnx Temos que ddx x2 2x ddx lnx 1x Logo pela Regra do Produto temos que fx ddx x2 lnx ddx x2 lnx x2 ddx lnx 2x lnx x2 1x 2x lnx x Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx 2x lnx x Questão 1 b Seja a função fx ³xex Temos que ddx ³x ddx x13 13 x23 ddx ex ex Logo pela Regra do Quociente temos que fx ddx ³xex ddx ³x ex ³x ddx ex ex2 13x23 ex ³x ex e2x 13x23 ³x ex x233 3 ³x3 ex x23 3x13 3ex Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx x23 3x13 3ex Questão 1 c Seja a função fx 2x x7 3x Temos que ddx2x ddxeln2x ddxex ln2 ddx ln2ex ln2 ddxx ln2 ex ln2 ln2 2x ln2 ddxx7 7x6 ddx3x 3 ddx2x x7 3x ddx2x ddxx7 ddx3x 2x ln2 7x6 3 ddxx ddxx12 12 x12 12x Logo pela Regra da Cadeia temos que fx ddx2x x7 3x dd2x x7 3x2x x7 3x ddx2x x7 3x 122x x7 3x 2x ln2 7x6 3 2x ln2 7x6 322x x7 3x Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx 2x ln2 7x6 322x x7 3x Questão 1 d Seja a função fx senx3 lnx Temos que ddxx3 3x2 ddxlnx 1x ddxx3 lnx 3x2 1x ddxsenx cosx Logo pela Regra da Cadeia temos que fx ddxsenx3 lnx ddx3 lnxsenx3 lnx ddxx3 lnx cosx3 lnx 3x2 1x Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx 3x2 1x cosx3 lnx Questão 1 e Seja a função fx tgexx Temos que ddxex ex ddxtgx sec2x ddxtgex ddextgex ddxex sec2ex ex ddxx 1 Logo pela Regra do Quociente temos que fx ddxtgexx ddxtgex x tgex ddxx x2 ex sec2ex x 1 tgex x2 x ex sec2ex tgex x2 Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx x ex sec2ex tgex x2 Questão 1 f Seja a função fx lnx 15x9 Temos que ddx lnx 1x ddx 15x ddx 5x ddx eln5x ddx ex ln5 ddx ln5 ex ln5 ddx x ln5 ex ln5 ln5 ln55x ddx lnx 15x 1x ln55x Logo pela Regra da Cadeia temos que fx ddx lnx 15x9 dd lnx 15x lnx 15x9 ddx lnx 15x 9 lnx 15x8 1x ln55x Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx 9 lnx 15x8 1x ln55x Questão 2 a Seja a função fx 12xx 1 Temos que ddx 12x 12 ddx x 1 1 Logo pela Regra do Quociente temos que fx ddx 12xx 1 ddx 12x x 1 12x ddx x 1x 12 12 x 1 12x 1x 12 12x 12 12xx 12 12x 12 Para x 1 temos que f1 121 12 1222 124 3 Logo o coeficiente angular da reta tangente à curva fx no ponto x 1 é m 3 Aplicando x 1 na função fx temos que f1 12 11 1 122 6 Logo a reta é tangente à curva fx no ponto 1 6 Desse modo a equação da reta tangente à curva fx no ponto x 1 é y m x x0 y0 y 3 x 1 6 y 3x 3 6 y 3x 3 Portanto a equação da reta tangente à curva fx no ponto x 1 é y 3x 3 Questão 2 b Seja a função fx e5x Temos que ddx 5x 5 ddx ex ex Logo pela Regra da Cadeia temos que fx ddx e5x dd5x e5x ddx 5x e5x 5 5e5x Para x 0 temos que f0 5e50 5e0 5 1 5 Logo o coeficiente angular da reta tangente à curva fx no ponto x 0 é m 5 Aplicando x 0 na função fx temos que f0 e50 e0 1 Logo a reta é tangente à curva fx no ponto 0 1 Desse modo a equação da reta tangente à curva fx no ponto x 0 é y m x x0 y0 y 5 x 0 1 y 5x 1 Portanto a equação da reta tangente à curva fx no ponto x 0 é y 5x 1 Questão 2 c Seja a função fx ln1x2 Temos que ddx1x2 ddxx2 2x3 2x3 ddxlnx 1x Logo pela Regra da Cadeia temos que fx ddxln1x2 dd1x2ln1x2 ddx1x2 11x2 2x3 x2 2x3 2x Para x 1 temos que f1 21 2 Logo o coeficiente angular da reta tangente à curva fx no ponto x 1 é m 2 Aplicando x 1 na função fx temos que f1 ln112 ln1 0 Logo a reta é tangente à curva fx no ponto 10 Desse modo a equação da reta tangente à curva fx no ponto x 1 é y mx x0 y0 y 2x 1 0 y 2x 2 Portanto a equação da reta tangente à curva fx no ponto x 1 é y 2x 2 Questão 3 Seja a equação x3 y5 6y 3 Realizando a derivação implícita em relação a x temos que ddxx3 y5 ddx6y 3 ddxx3 ddxy5 ddx6y ddx3 3x2 5y4 dydx 6 dydx 0 3x2 5y4 dydx 6 dydx 5y4 dydx 6 dydx 3x2 dydx5y4 6 3x2 dydx 3x25y4 6 Para x 2 e y 1 temos 3 22 5 14 6 3 4 5 6 121 12 Logo a inclinação da reta tangente à curva no ponto 2 1 é m 12 Desse modo a equação da reta tangente à curva no ponto 2 1 é y mx x0 y0 y 12x 2 1 y 12x 24 1 y 12x 23 Portanto a equação da reta tangente à curva no ponto 2 1 é y 12x 23