Lista de Exercícios

1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Modelagem de Problemas usando Cálculo Diferencial e Integral I MPCDI 1 Turma Engenharia Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo AVALIAÇÃO SOMATIVA AS 04 INSTRUÇÕES As listas deverão ser resolvidas em grupos de 3 a 5 participantes As listas devem ser impressas em papel A4 grampeada e identificando os nomes completos de todos os integrantes em ordem alfabética e legível A resolução deve ser feita imediatamente abaixo do enunciado de forma organizada e legível contemplando todos os passos da resolução Atenção usar a notação matemática correta Atividades do RA1 RA1 Resolver de forma analítica problemas voltados para a engenharia aplicando fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável com rigor matemático 1 O diâmetro de uma circunferência cresce à razão de 18 cms Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo 2 Em um balão esférico está sendo bombeado ar para dentro e seu volume cresce a uma taxa de 80 𝑐𝑚3𝑠 Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o raio é 50 𝑐𝑚 2 3 Utilizando os limites fundamentais não usar a regra de LHospital calcule os limites a seguir lim 𝑥01 𝑥 1 𝑥 𝑒 lim 𝑥0 log𝑎1𝑥 𝑥 log𝑎 𝑒 lim 𝑥0 𝑎𝑥1 𝑥 ln 𝑎 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 1 lim 𝑥 1 1 𝑥 𝑥 𝑒 a lim 𝑥0 sen𝑥 4 𝑥 b lim 𝑥 1 1 7𝑥 𝑥 7 c lim 𝑥2 4𝑥16 𝑥2 4 O número de bactérias de uma cultura 𝑡 horas após o início de certo experimento é dado pela função 𝑓𝑡 300 200 202𝑡 Determine a taxa de variação velocidade do número de bactérias em relação ao tempo quando 𝑡 3 ℎ 3 5 Calcule a derivada das funções compostas e simplifique se possível a 𝑓𝑥 𝑥3 arcsen𝑥 b 𝑓𝑥 2sec𝑥 𝑥2 c 𝑓𝑥 tg𝑥2 tg2𝑥 d 𝑓𝑥 sencos𝑒𝑥 e 𝑓𝑥 log2𝑥 cos𝑥 f 𝑓𝑥 ln 𝑥5 cos𝑥 𝑒𝑥 4 6 Considere um oscilador harmônico simples como mostrado na figura A função horária da posição em metros em relação ao tempo em segundos é dada por 𝑥𝑡 𝜋 4 cos 𝜋 4 𝑡 𝜋 4 Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante 𝑡 2 𝑠 7 Considere a função 𝑦𝑥 1 5 𝑥5 ln𝑥 para 𝑥 0 a Determine os pontos críticos b Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local c Marque o gráfico correspondente as informações obtidas nos itens a b e c i ii iii 5 8 Determine 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 da função dada implicitamente pela equação 𝑒𝑦 sen𝑥 𝑥𝑦 9 Determine a derivada logarítmica da função 𝑦 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 10 Identifique o tipo de indeterminação e determine os limites utilizando a regra de LHospital desde que suas hipóteses sejam satisfeitas 𝑎 lim 𝑥1 𝑥 4 1 𝑥 1 𝑏 lim 𝑥 ln𝑥 𝑥³ 𝑐 lim 𝑥 𝑥 lnln𝑥 6 Atividades do RA2 RA2 Avaliar criticamente se as soluções analíticas dos problemas voltados para a engenharia estão consistentes com o mesmo considerando requisitos e restrições fundamentados no Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 11 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar os erros e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑦 cos𝑥 1 cotg𝑥 1 𝑦 cos𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥1 cotg𝑥 1 cotg𝑥2 1 𝑦 cos𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥1 cotg𝑥 1 cotg𝑥2 2 𝑦 sen𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥cossec2𝑥 1 cotg𝑥2 2 𝑦 sen𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥cossec2𝑥 1 cotg𝑥2 3 𝑦 sen𝑥 cos𝑥 cossec2𝑥 1 cotg𝑥 3 12 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar os erros e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑓𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 1 𝑓𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 1 𝑓𝑥 𝑒𝑥cos𝑥2 𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 2 𝑓𝑥 𝑒𝑥cos𝑥2 𝑥 𝑒𝑥2𝑥 1 cos𝑥2 𝑥 2 𝑓𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 𝑒𝑥 2𝑥 1 cos𝑥2 𝑥 3 𝑓𝑥 𝑒𝑥 2𝑥 2 cos𝑥2 𝑥 3 7 13 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar o erro e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑥𝑦2 4𝑥𝑦 10 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑦2 4𝑥𝑦 𝑑 𝑑𝑥 10 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑦2 4𝑥𝑦 𝑑 𝑑𝑥 10 2 2𝑥𝑦 4𝑦 4𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 2 2𝑥𝑦 4𝑦 4𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥𝑦 4𝑦 4𝑥 3 14 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar o erro e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑦 2𝑥 3𝑥2 1 ln𝑦 𝑥2 ln2𝑥 3 1 ln𝑦 𝑥2 ln2𝑥 3 2 1 𝑦 𝑦 2𝑥 ln2𝑥 3 𝑥2 1 2𝑥 3 2 1 𝑦 𝑦 2𝑥 ln2𝑥 3 𝑥2 1 2𝑥 3 2 𝑦 2𝑥 ln2𝑥 3 𝑥2 2𝑥 3 3 8 15 Analise a resolução de cada um dos limites a seguir que utiliza a regra de LHospital caso esteja certa escrever correta caso não apontar o erro e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑎 lim 𝑥0 sen2 𝑥 3 𝑥2 1 lim 𝑥0 sen 𝑥 3 𝑥 2 2 lim 𝑥0 1 3 sen 𝑥 3 𝑥 3 2 3 1 3 1 2 3 𝑏 lim 𝑥 1 1 𝑥 52𝑥 1 lim 𝑥 1 1 𝑥 5 1 1 𝑥 𝑥 2 2 lim 𝑥 1 1 𝑥 5 lim 𝑥 1 1 𝑥 𝑥 2 3 𝑒2 1 2 3 1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Modelagem de Problemas usando Cálculo Diferencial e Integral I MPCDI 1 Turma Engenharia Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo AVALIAÇÃO SOMATIVA AS 04 INSTRUÇÕES As listas deverão ser resolvidas em grupos de 3 a 5 participantes As listas devem ser impressas em papel A4 grampeada e identificando os nomes completos de todos os integrantes em ordem alfabética e legível A resolução deve ser feita imediatamente abaixo do enunciado de forma organizada e legível contemplando todos os passos da resolução Atenção usar a notação matemática correta Atividades do RA1 RA1 Resolver de forma analítica problemas voltados para a engenharia aplicando fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável com rigor matemático 1 O diâmetro de uma circunferência cresce à razão de 18 cms Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo 2 2 Em um balão esférico está sendo bombeado ar para dentro e seu volume cresce a uma taxa de 80 𝑐𝑚3𝑠 Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o raio é 50 𝑐𝑚 3 3 3 Utilizando os limites fundamentais não usar a regra de LHospital calcule os limites a seguir 𝑥 a lim sen4 𝑥0 𝑥 𝑥 b lim 1 1 7 𝑥 7𝑥 1 lim1 𝑥𝑥 𝑒 lim 𝑥0 𝑥0 log𝑎 1𝑥 𝑥 log𝑎 𝑒 lim 𝑥0 𝑎𝑥1 𝑥 ln 𝑎 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 1 lim 1 𝑒 1 𝑥 𝑥 𝑥 4 c lim 4𝑥16 𝑥2 𝑥2 4 O número de bactérias de uma cultura 𝑡 horas após o início de certo experimento é dado pela função 𝑓𝑡 300 200 202𝑡 Determine a taxa de variação velocidade do número de bactérias em relação ao tempo quando 𝑡 3 ℎ 5 2 5 Calcule a derivada das funções compostas e simplifique se possível a 𝑓𝑥 𝑥3 arcsen𝑥 b 𝑓𝑥 2se𝔀𝑥 𝑥 c 𝑓𝑥 tg𝑥2 tg2𝑥 6 d 𝑓𝑥 sencos𝑒𝑥 e 𝑓𝑥 log2𝑥 cos𝑥 f 𝑓 𝑥 ln 𝑥5 cos𝑥 𝑒𝑥 6 Considere um oscilador harmônico simples como mostrado na figura A função horária da posição em metros em relação ao tempo em segundos é dada por 𝑥𝑡 𝜋𝜋 cos 4 4 𝜋 𝑡 4 Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante 𝑡 2 𝑠 7 Considere a função 𝑦𝑥 1 𝑥5 5 ln𝑥 para 𝑥 0 a Determine os pontos críticos b Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local então temos que 1 é o ponto mínimo da função c Marque o gráfico correspondente as informações obtidas nos itens a b e c i ii X correta iii 8 Determine 𝑦 𝑑𝑦 da função dada implicitamente pela equação 𝑒𝑦 sen𝑥 𝑥𝑦 𝑑𝑥 9 Determine a derivada logarítmica da função 𝑦 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 10 Identifique o tipo de indeterminação e determine os limites utilizando a regra de LHospital desde que suas hipóteses sejam satisfeitas 𝑎 lim 𝑥1 4𝑥 1 𝑥 1 𝑏 lim 𝑥 ln𝑥 𝑥³ 𝑐 lim 𝑥 𝑥 lnln𝑥 1 3 Atividades do RA2 RA2 Avaliar criticamente se as soluções analíticas dos problemas voltados para a engenharia estão consistentes com o mesmo considerando requisitos e restrições fundamentados no Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 11 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar os erros e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑦 cos𝑥 1 cotg𝑥 𝑦 cos𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥1 cotg𝑥 1 cotg𝑥2 1 errado 𝑦 cos𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥1 cotg𝑥 1 cotg𝑥2 𝑦 sen𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥cossec2𝑥 1 cotg𝑥2 2 correta 𝑦 sen𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥cossec2𝑥 1 cotg𝑥2 𝑦 sen𝑥 cos𝑥 cossec2𝑥 1 cotg𝑥 3 correta 12 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar os erros e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑓𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 1 𝑓𝑥 𝑒 𝑥 cos𝑥2 𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 correto 𝑓𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 2 𝑓 𝑥 𝑒 cos 𝑥 𝑥 𝑒 2𝑥 1 cos 𝑥 𝑥 correto 𝑓𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 𝑒𝑥 2𝑥 1 cos𝑥2 𝑥 3 𝑓𝑥 𝑒𝑥 2𝑥 2 cos𝑥2 𝑥 correto 1 1 3 2 3 1 4 13 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar o erro e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑥𝑦2 4𝑥𝑦 10 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑦2 4𝑥𝑦 𝑑 𝑑𝑥 10 𝑑 𝑥𝑦2 4𝑥𝑦 𝑑 2 𝑑𝑦 0 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 10 2𝑥𝑦 4𝑦 4𝑥 𝑑𝑥 errado 2𝑥𝑦 4𝑦 4𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥𝑦 4𝑦 4𝑥 errado 14 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar o erro e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑦 2𝑥 3𝑥 2 1 ln𝑦 𝑥2 ln2𝑥 3 correto 2 1 1 ln𝑦 𝑥2 ln2𝑥 3 𝑦 2𝑥 ln2𝑥 3 𝑥2 𝑦 2 2𝑥 3 correto 1 𝑦 2𝑥 ln2𝑥 3 𝑥2 𝑦 1 2𝑥 3 2 𝑦 2𝑥 ln2𝑥 3 𝑥2 2𝑥 3 3 correto 1 errado 1 1 1 5 3 1 15 Analise a resolução de cada um dos limites a seguir que utiliza a regra de LHospital caso esteja certa escrever correta caso não apontar o erro e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 2 𝑥 𝑥 2 1 𝑥 2 sen 𝑎 lim 𝑥0 3 2 lim sen 3 lim 3 sen 3 1 𝑥 𝑥 1 𝑥0 𝑥 𝑥0 3 3 correto 2 correto 3 correto 1 52𝑥 1 5 1 𝑥 2 5 2 1 𝑥 2 3 𝑏 lim 1 𝑥 𝑥 lim 1 𝑥 𝑥 1 𝑥 lim 1 𝑥 𝑥 lim 1 𝑥 𝑥 𝑒2 1 errado 2 errado 3 errado 1 1 2 1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Modelagem de Problemas usando Cálculo Diferencial e Integral I MPCDI 1 Turma Engenharia Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo AVALIAÇÃO SOMATIVA AS 04 INSTRUÇÕES As listas deverão ser resolvidas em grupos de 3 a 5 participantes As listas devem ser impressas em papel A4 grampeada e identificando os nomes completos de todos os integrantes em ordem alfabética e legível A resolução deve ser feita imediatamente abaixo do enunciado de forma organizada e legível contemplando todos os passos da resolução Atenção usar a notação matemática correta Atividades do RA1 RA1 Resolver de forma analítica problemas voltados para a engenharia aplicando fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável com rigor matemático 1 O diâmetro de uma circunferência cresce à razão de 18 cms Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo 2 2 Em um balão esférico está sendo bombeado ar para dentro e seu volume cresce a uma taxa de 80 𝑐𝑚3𝑠 Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o raio é 50 𝑐𝑚 3 3 3 Utilizando os limites fundamentais não usar a regra de LHospital calcule os limites a seguir 𝑥 a lim sen4 𝑥0 𝑥 𝑥 b lim 1 1 7 𝑥 7𝑥 1 lim1 𝑥𝑥 𝑒 log𝑎 1𝑥 log𝑎 𝑒 li m 𝑎𝑥 1 ln 𝑎 li m 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 1 lim 1 𝑒 1 𝑥 𝑥 4 c lim 4𝑥16 𝑥2 𝑥2 4 O número de bactérias de uma cultura 𝑡 horas após o início de certo experimento é dado pela função 𝑓𝑡 300 200 202𝑡 Determine a taxa de variação velocidade do número de bactérias em relação ao tempo quando 𝑡 3 ℎ 5 2 5 Calcule a derivada das funções compostas e simplifique se possível a 𝑓𝑥 𝑥3 arcsen𝑥 b 𝑓𝑥 2se𝔀𝑥 𝑥 c 𝑓𝑥 tg𝑥2 tg2𝑥 6 d 𝑓𝑥 sencos𝑒𝑥 e 𝑓𝑥 log2𝑥 cos𝑥 𝑥5 cos𝑥 f 𝑓 𝑥 ln 𝑒𝑥 6 Considere um oscilador harmônico simples como mostrado na figura A função horária da posição em metros em relação ao tempo em segundos é dada por 𝑥𝑡 𝜋 𝜋 cos 4 4 𝜋 𝑡 4 Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante 𝑡 2 𝑠 7 Considere a função 𝑦𝑥 1 𝑥5 5 ln𝑥 para 𝑥 0 a Determine os pontos críticos b Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local então temos que 1 é o ponto mínimo da função c Marque o gráfico correspondente as informações obtidas nos itens a b e c i ii X correta iii 8 Determine 𝑦 𝑑𝑦 da função dada implicitamente pela equação 𝑒𝑦 sen𝑥 𝑥𝑦 𝑑𝑥 9 Determine a derivada logarítmica da função 𝑦 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 10 Identifique o tipo de indeterminação e determine os limites utilizando a regra de LHospital desde que suas hipóteses sejam satisfeitas 𝑎 lim 𝑥 1 4𝑥 1 𝑥 1 𝑏 lim 𝑥 ln𝑥 𝑥³ 𝑐 lim 𝑥 𝑥 lnln𝑥 1 3 Atividades do RA2 RA2 Avaliar criticamente se as soluções analíticas dos problemas voltados para a engenharia estão consistentes com o mesmo considerando requisitos e restrições fundamentados no Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 11 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar os erros e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑦 cos𝑥 1 cotg𝑥 𝑦 cos𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥1 cotg𝑥 1 cotg𝑥2 1 errado 𝑦 cos𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥1 cotg𝑥 1 cotg𝑥2 𝑦 sen𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥 cossec2𝑥 1 cotg𝑥2 2 correta 𝑦 sen𝑥1 cotg𝑥 cos𝑥 cossec2𝑥 1 cotg𝑥2 𝑦 sen𝑥 cos𝑥 cossec2𝑥 1 cotg𝑥 3 correta 12 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar os erros e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑓𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 1 𝑓𝑥 𝑒 𝑥 cos𝑥2 𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 correto 𝑓𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 2 𝑓 𝑥 𝑒 cos 𝑥 𝑥 𝑒 2𝑥 1 cos 𝑥 𝑥 correto 𝑓𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥2 𝑥 𝑒𝑥 2𝑥 1 cos𝑥2 𝑥 3 1 1 3 2 3 1 1 3 1 4 𝑓𝑥 𝑒𝑥 2𝑥 2 cos𝑥2 𝑥 correto 1 5 13 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar o erro e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑥𝑦 2 4𝑥𝑦 10 𝑑 𝑑 𝑥 𝑥𝑦2 4𝑥𝑦 𝑑 𝑑𝑥 10 𝑑 𝑥𝑦2 4𝑥𝑦 𝑑 2 𝑑𝑦 0 𝑑 𝑥 2 𝑑 𝑥 10 2𝑥𝑦 4𝑦 4𝑥 𝑑𝑥 errado 2𝑥𝑦 4𝑦 4𝑥 3 𝑑 𝑦 𝑑 𝑥 3 0 𝑑 𝑦 𝑑 𝑥 2𝑥𝑦 4𝑦 4𝑥 errado 14 Avalie a derivada resolvida a seguir caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica esteja certo escrever correto caso não escrever errado apontar o erro e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 𝑦 2𝑥 3𝑥 2 1 ln𝑦 𝑥2 ln2𝑥 3 correto 2 1 1 ln𝑦 𝑥2 ln2𝑥 3 𝑦 2𝑥 ln2𝑥 3 𝑥2 𝑦 2 2𝑥 3 correto 1 𝑦 2𝑥 ln2𝑥 3 𝑥2 𝑦 1 2𝑥 3 2 𝑦 2𝑥 ln2𝑥 3 𝑥2 2𝑥 3 3 1 errado 1 errado 1 1 1 1 1 correto 6 1 7 3 1 15 Analise a resolução de cada um dos limites a seguir que utiliza a regra de LHospital caso esteja certa escrever correta caso não apontar o erro e corrigir Considere cada passo independente dos anteriores 2 𝑥 𝑥 2 1 𝑥 2 se n 𝑎 lim 𝑥0 3 2 li m sen 3 li m 3 sen 3 1 𝑥 𝑥 1 𝑥0 𝑥 𝑥0 3 3 correto 2 correto 3 correto 1 52𝑥 1 5 1 𝑥 2 5 2 1 𝑥 2 3 𝑏 lim 1 𝑥 𝑥 lim 1 𝑥 𝑥 1 𝑥 lim 1 𝑥 𝑥 lim 1 𝑥 𝑥 𝑒2 1 errado 2 errado 3 errado 1 1 2