Lista de Exercícios Resolvidos Cálculo I - Derivadas e Aplicações

ENTREGAR A RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS ABAIXO Parte I Dada a função fx x2 8x 9 a Calcular fx usando limite b Calcular f2 f4 e f6 mostrar as respectivas retas tangentes no gráfico da função e responder se a função é crescente decrescente ou não sofre variação em cada um desses 3 pontos Parte II Derivadas Exercício 10 itens a c e g i k m o Exercício 11 itens b d f h Parte III Derivadas Regra da Cadeia Exercício 12 a b c d e f g h i j l o r t u y e w Parte IV Derivada de ordem mais alta Dada fx 2x3 ex senx calcule f4x Parte V Regra de LHôpital Utilizando a regra de LHôpital calcule os limites dos itens h e i do exercício 10 da Unidade 3 e os limites abaixo lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛5𝑥 3𝑥 lim 𝑥 𝑒2𝑥 𝑥3 Parte VI Derivação implícita Exercício 15 itens b e d Trabalho IV 10 pontos Alunoa 1º Período Cálculo I Unidade 4 Derivadas Parte VII Exercícios aplicados 1 Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia é aproximadamente dado por Nt 64𝑡 𝑡3 3 a Calcule a taxa média de variação do número de pessoas atingidas pela moléstia entre o primeiro e o sexto dias b Calcule a taxa de variação do número de pessoas atingidas pela moléstia no quinto dia c Calcule a inclinação da reta tangente à curva de Nt em t 10 d Em quantos dias o número de pessoas atingidas pela moléstia atinge o seu ponto de máximo Justifique a sua resposta 2 A função Ht 3t2 t4 expressa a altura em km de um avião em relação ao seu tempo t de voo dado em horas 0 t 2 a Calcule em qual tempo t o avião atingiu sua altura máxima b O avião está subindo ou descendo no instante de tempo t 1 Justifique a sua resposta usando derivada c O avião está subindo ou descendo no instante de tempo t 15 Justifique a sua resposta usando derivada d Qual foi a altura máxima atingida pelo avião 3 Uma torneira lança água em um tanque O volume V litros de água no tanque no instante t minutos é dado por Vt t2 3t Responda a Qual é a taxa instantânea de variação do volume de água em função do tempo no instante t 1 min b Qual a taxa média de variação do volume de água no tanque entre 1 e 3 minutos c Em qualis instantes de tempo t a inclinação da reta tangente à curva de Vt é nula O volume de água nesse instante t é máximo ou mínimo 4 Um jornalista que apresenta a previsão do tempo alerta as pessoas que moram na região sul de Minas que tirem seus agasalhos do guardaroupa pois está chegando uma frente fria A temperatura em T graus e t horas é dada por Tt 40 4t 01t2 0 t 24 a Encontre a inclinação da reta tangente à curva de Tt no instante t 5 A temperatura está aumentando ou diminuindo em t 5 horas Justifique a sua resposta b Encontre a taxa de variação de Tt no instante t 23 A temperatura está aumentando ou diminuindo em t 23 horas Justifique a sua resposta usando derivada c Encontre a hora t em que a temperatura não sofre variação e determine a temperatura correspondente 5 Taxas relacionadas Uma escada com 25 metros de comprimento está apoiada numa parede vertical Se o pé da escada for puxado horizontalmente afastando se da parede a 3 metros de comprimento por segundo qual a velocidade com que a escada está deslizando quando seu pé está a 15 metros de distância da parede 6 Taxas relacionadas Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 metros de altura e uma base com 4 metros de raio A água flui no tanque a uma taxa de 2 m3min Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 metros 7 Taxas relacionadas Um tanque cúbico horizontal tem aresta medindo 2 metros e a vazão de água é constante valendo 05 m3s Determine a velocidade de subida do nível da água Respostas Parte VII exercícios aplicados 1 a 50 aproximadamente b 39 cN10 36 0 decrescente d t 8 2 a 1225 b H1 2 0 subindo c H15 45 descendo d 225 3 a 1 b 1 c 15 4 a 3 b 06 c 20 5 225 ms 6 04074 mmin 7 0125 ms Trabalho IV 10 pontos Alunoa 1º Período Cálculo I Unidade 4 Derivadas ENTREGAR A RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS ABAIXO Parte I Dada a função fx x² 8x 9 a Calcular fx usando limite b Calcular f2 f4 e f6 mostrar as respectivas retas tangentes no gráfico da função e responder se a função é crescente decrescente ou não sofre variação em cada um desses 3 pontos Parte II Derivadas Exercício 10 itens a c e g i k m o Exercício 11 itens b d f h Parte III Derivadas Regra da Cadeia Exercício 12 a b c d e f g h i j l o r t u y e w Parte IV Derivada de ordem mais alta Dada fx 2x³ eˣ senx calcule f⁴x Parte V Regra de LHôpital Utilizando a regra de LHôpital calcule os limites dos itens h e i do exercício 10 da Unidade 3 e os limites abaixo lim x0 sen5x3x lim x e²ˣx³ Parte VI Derivação implícita Exercício 15 itens b e d Parte VII Exercícios aplicados 1 Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia é aproximadamente dado por Nt 64tt 3 3 a calcule a taxa média de variação do número de pessoas atingidas pela moléstia entre o primeiro e o sexto dias Resposta A taxa média de variação do número de pessoas atingidas pela moléstia entre o primeiro e o sexto dia pode ser calculada por meio da derivada da função Assim a taxa de variação é dada por N t64t 2 t N t 1 63 2 60 3 55 4 48 5 39 6 28 b Calcule a taxa de variação do número de pessoas atingidas pela moléstia no quinto dia Resposta A taxa de variação é dada por N t 64t ² Avaliando em t5 N 5645²642539 Portanto a taxa de variação do número de pessoas atingidas pela moléstia no quinto dia é de 39 pessoas por dia c Calcule a inclinação da reta tangente à curva de Nt em t 10 Resposta Para calcular a inclinação da reta tangente à curva de Nt em t 10 podese novamente utilizar a derivada da função Nt N t 64t ² Avaliando em t10 N 106410²6410036 Portanto a inclinação da reta tangente à curva de Nt em t 10 é 36 d Em quantos dias o número de pessoas atingidas pela moléstia atinge o seu ponto de máximo Justifique a sua resposta Resposta Para determinar em quantos dias o número de pessoas atingidas pela moléstia atinge o seu ponto máximo precisase encontrar o valor máximo da função Nt Podemos fazer isso encontrando o valor crítico da função ou seja onde sua derivada é igual a zero N t 64t² Igualando a derivada a zero e resolvendo a equação 64t ²0 t ²6 4 t64 t8 Portanto o número de pessoas atingidas pela moléstia atinge seu ponto de máximo em 8 dias No contexto do problema considerando apenas valores positivos de t o número de pessoas atingidas atinge seu ponto de máximo em 8 dias 2 A função Ht 3t2 t4 expressa a altura em km de um avião em relação ao seu tempo t de voo dado em horas 0t 2 a Calcule em qual tempo t o avião atingiu sua altura máxima Resposta Para encontrar o tempo em que o avião atinge sua altura máxima precisamos encontrar o valor crítico da função Ht ou seja onde sua derivada é igual a zero H t 3t 2t 4 Derivando em relação a t temos H t 6t4 t 3 Igualando a derivada a zero e resolvendo a equação 6t4t 30 2t 32t 20 Portanto temos duas soluções possíveis 2t0 t0 32t 20 2t 23 t 232 t 3 2 No entanto dentro do intervalo dado 0 t 2 apenas a solução t 3 2 é válida Portanto o avião atinge sua altura máxima no tempo t 3 2 b O avião está subindo ou descendo no instante de tempo t 1 Justifique a sua resposta usando derivada Resposta Para determinar se o avião está subindo ou descendo no instante de tempo t 1 podemos novamente utilizar a derivada da função Ht H t 6t4 t 3 Avaliando em t1 H 1614 1 3642 Como H 12 é um valor positivo podemos concluir que o avião está subindo no instante de tempo t 1 c O avião está subindo ou descendo no instante de tempo t 15 Justifique a sua resposta usando derivada Resposta Da mesma forma para determinar se o avião está subindo ou descendo no instante de tempo t15 avaliamos novamente a derivada da função Ht H t 6t4 t 3 Avaliando em t15 H 156 154 15 3913545 Como H 1545 é um valor negativo podemos concluir que o avião está descendo no instante de tempo t15 d Qual foi a altura máxima atingida pelo avião Resposta Para encontrar a altura máxima atingida pelo avião substituímos o valor de t encontrado no item a na função Ht H t3t 2t 4 Substituindo t 3 2 H 3 23 3 2 2 3 2 4 3 3 2 3 2 2 929 4 18 494 94 Portanto a altura máxima atingida pelo avião é de 94 km 3 Uma torneira lança água em um tanque O volume V litros de água no tanque no instante t minutos é dado por Vt t2 3t Responda a Qual é a taxa instantânea de variação do volume de água em função do tempo no instante t 1 min Resposta Para calcular a taxa instantânea de variação do volume de água em função do tempo no instante t1min precisamos encontrar a derivada da função Vt e avaliála em t 1 V t t 23t Derivando em relação a t temos V t 2t3 Avaliando em t1 V 1213231 Portanto a taxa instantânea de variação do volume de água em função do tempo no instante t 1 min é de 1 litro por minuto b Qual a taxa média de variação do volume de água no tanque entre 1 e 3 minutos Resposta Para calcular a taxa média de variação do volume de água no tanque entre 1 e 3 minutos precisamos encontrar a variação do volume de água ΔV e dividir pelo intervalo de tempo Δt No instante t1min o volume de água é dado por V 11 231132litros No instante t3min o volume de água é dado por V 33 233990litros ΔV V 3V 1022litros Δt312min A taxa média de variação é dada por ΔVΔt Taxa médiaΔV Δt221litro porminuto Portanto a taxa média de variação do volume de água no tanque entre 1 e 3 minutos é de 1 litro por minuto indicando uma diminuição de 1 litro por minuto c Em qualis instantes de tempo t a inclinação da reta tangente à curva de Vt é nula O volume de água nesse instante t é máximo ou mínimo Resposta Para encontrar os instantes de tempo t em que a inclinação da reta tangente à curva de Vt é nula precisamos encontrar os valores críticos da função Vt ou seja onde sua derivada é igual a zero V t t 23t Derivando em relação a t temos V t 2t3 Igualando a derivada a zero e resolvendo a equação 2t30 2t3 t32 Portanto o instante de tempo t em que a inclinação da reta tangente à curva de Vt é nula é t32min Para determinar se o volume de água nesse instante t é máximo ou mínimo podemos observar o comportamento da função Vt ao redor desse ponto crítico Calculando V32 V 3232 233294929418 494 Portanto o volume de água no instante t 32 min é 94 litros No contexto do problema como a função Vt é uma parábola com concavidade voltada para baixo o ponto t 32 corresponde ao valor máximo do volume de água 4 Um jornalista que apresenta a previsão do tempo alerta as pessoas que moram na região sul de Minas que tirem seus agasalhos do guardaroupa pois está chegando uma frente fria A temperatura em T graus e t horas é dada por Tt 40 4t 01t2 0 t 24 a Encontre a inclinação da reta tangente à curva de Tt no instante t 5 A temperatura está aumentando ou diminuindo em t 5 horas Justifique a sua resposta Resposta Para encontrar a inclinação da reta tangente à curva de Tt no instante t 5 precisamos encontrar a derivada da função Tt e avaliála em t5 T t404t 01t 2 Derivando em relação a t temos T t402t Avaliando em t5 T 54025413 Portanto a inclinação da reta tangente à curva de T t no instante t5 é 3 Para determinar se a temperatura está aumentando ou diminuindo em t 5 horas devemos analisar o sinal da derivada Como T5 3 é negativo podemos concluir que a temperatura está diminuindo em t5horas b Encontre a taxa de variação de Tt no instante t 23 A temperatura está aumentando ou diminuindo em t 23 horas Justifique a sua resposta usando derivada Resposta Para encontrar a taxa de variação de Tt no instante t23 novamente usamos a derivada da função Tt e avaliamos em t23 T t402t Avaliando em t23 T 234022344606 Portanto a taxa de variação de Tt no instante t23 horas é 06 Para determinar se a temperatura está aumentando ou diminuindo em t23 horas novamente analisamos o sinal da derivada Como T 2306 é positivo podemos concluir que a temperatura está aumentando em t23horas c Encontre a hora t em que a temperatura não sofre variação e determine a temperatura correspondente Resposta Para encontrar a hora t em que a temperatura não sofre variação devemos encontrar os valores de t em que a derivada T t é igual a zero T t402t Igualando a derivada a zero e resolvendo a equação 402t0 02t4 t402 t20 Portanto a temperatura não sofre variação no momento t20horas Para determinar a temperatura correspondente substituímos t20 na função T t T 204042001 20 2 T 20408001400 T 20408040 T 200 Portanto a temperatura correspondente ao momento em que não há variação é de 0 graus 5 Taxas relacionadas Uma escada com 25 metros de comprimento está apoiada numa parede vertical Se o pé da escada for puxado horizontalmente afastandose da parede a 3 metros de comprimento por segundo qual a velocidade com que a escada está deslizando quando seu pé está a 15 metros de distância da parede Resposta Para resolver esse problema podemos aplicar o conceito de taxas relacionadas Vamos chamar a distância horizontal entre o pé da escada e a parede de x e a distância vertical entre o topo da escada e o solo de y Dadas as informações Comprimento da escada hipotenusa c25metros Velocidade de afastamento do pé da escada da parede dx dt 3ms Queremos encontrar a velocidade com que a escada está deslizando dydt quando seu pé está a 15 metros de distância da parede x15metros Podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar x e y x 2 y 2c 2 Agora derivamos ambos os lados em relação ao tempo t d dt x 2 y 2 d dt c 2 Para calcular dydt precisamos encontrar dxdt quando x15 e em seguida usar a equação acima para calcular dydt Primeiro encontramos dxdt x 2 y 2c 2 15 2 y 225 2 225 y 2625 y 2625225 y 2400 y20metros Agora derivamos a equação em relação ao tempo t d dt x 2 y 2 d dt c 2 2 x dx dt 2 y dy dt 0 Agora substituímos os valores conhecidos 21532 20 dy dt 0 Simplificando 3040dy dt0 40dydt 30 dydt304 0 dydt34 Portanto a velocidade com que a escada está deslizando quando seu pé está a 15 metros de distância da parede é de 34 metros por segundo A velocidade é negativa porque a escada está deslizando para baixo nesse momento 6 Taxas relacionadas Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 metros de altura e uma base com 4 metros de raio A água flui no tanque a uma taxa de 2 m3min Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 metros Resposta Para resolver esse problema podemos aplicar o conceito de taxas relacionadas e utilizar o volume do cone invertido para encontrar a velocidade de elevação do nível da água Dadas as informações Altura do cone invertido h 16 metros Raio da base do cone invertido r 4 metros Taxa de fluxo de água dV dt2m 3min volume por unidade de tempo Queremos encontrar a velocidade de elevação do nível da água dhdt quando a profundidade do tanque é de 5 metros h 5 metros O volume de um cone invertido é dado por V13πr 2h Derivando ambos os lados em relação ao tempo t dV dt13π2rdhdt Substituindo os valores conhecidos 213π24dhdt 283πdhdt dhdt238 π dhdt34 π Portanto a velocidade com que o nível da água está se elevando quando a profundidade é de 5 metros é de 34π metros por minuto 7 Taxas relacionadas Um tanque cúbico horizontal tem aresta medindo 2 metros e a vazão de água é constante valendo 05 m3s Determine a velocidade de subida do nível da água Resposta Para determinar a velocidade de subida do nível da água no tanque cúbico podemos utilizar o conceito de taxas relacionadas e o volume do cubo Dadas as informações Aresta do cubo a 2 metros Vazão de água constante dV dt05m 3 s volume por unidade de tempo Queremos determinar a velocidade de subida do nível da água dhdt O volume de um cubo é dado por Va 3 Derivando ambos os lados em relação ao tempo t dV dt3a 2dadt Como a aresta do cubo é constante não varia com o tempo temos dadt 0 Portanto podemos simplificar a equação para determinar a velocidade de subida do nível da água dV dt3a 2dadt 0532 2dadt 0534dadt 0512dadt Agora isolamos dhdt dhdt0512 dhdt00417ms Portanto a velocidade de subida do nível da água no tanque cúbico é de aproximadamente 00417 metros por segundo Respostas Parte VII exercícios aplicados 1 a 50 aproximadamente b 39 cN10 36 0 decrescente d t 8 2 a 1225 b H1 2 0 subindo c H15 45 descendo d 225 3 a 1 b 1 c 15 4 a 3 b 06 c 20 5 225 ms 6 04074 mmin 7 0125 ms