Lista de Exercícios

1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Modelagem de Problemas usando Cálculo Diferencial e Integral I MPCDI 1 Turma Engenharia Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo AVALIAÇÃO SOMATIVA AS 02 INSTRUÇÕES As listas deverão ser resolvidas em grupos de 3 a 5 participantes As listas devem ser impressas em papel A4 grampeada e identificando os nomes completos de todos os integrantes em ordem alfabética e legível A resolução deve ser feita imediatamente abaixo do enunciado de forma organizada e legível contemplando todos os passos da resolução Atenção usar a notação matemática correta Atividades do RA1 RA1 Resolver de forma analítica problemas voltados para a engenharia aplicando fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável com rigor matemático 1 Um carro está se movendo em uma estrada plana e retilínea a uma velocidade de 65 kmh 18 ms quando o motorista tem que frear para evitar um acidente Se os freios fazem com que o carro perca a velocidade à taxa de 6 ms² que distância o carro percorre até parar 2 2 Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que a altura ℎ𝑡 após 𝑡 anos está variando a uma taxa ℎ𝑡 006𝑡23 03𝑡12 𝑚𝑎𝑛𝑜 Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada que altura terá após 27 anos 3 Suponha que uma barra de metal uniforme tenha 50 cm de comprimento e esteja isolada lateralmente e as temperaturas nos extremos sejam mantidas a 25 e 85 respectivamente Suponha a barra tenha seu comprimento sobre o eixo 𝑥 conforme a figura a seguir Além disso a temperatura 𝑇𝑥 em cada ponto 𝑥 satisfaça a equação 𝑑2𝑇 𝑑𝑥2 0 𝑐𝑚2 a Encontre a função temperatura 𝑇𝑥 com 0 𝑥 50 b Determine 𝑇25 e 𝑇40 3 4 Calcule as integrais a seguir fazendo as manipulações algébricas convenientes e utilizando as propriedades das funções envolvidas 𝑎 2𝑥5 8𝑥3 3𝑥2 5 𝑑𝑥 𝑏 𝑥3 2𝑥2 7 𝑥2 𝑑𝑥 𝑐 𝑥3 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑 𝑥3 2𝑥2 1 𝑥 5 𝑑𝑥 5 Calcule as integrais a seguir fazendo as manipulações algébricas convenientes e utilizando as propriedades das funções envolvidas 𝑎 𝑥2𝑥 1 𝑑𝑥 6 1 𝑏 𝑡 1 𝑡3 𝑑𝑡 1 3 4 6 Resolva o problema de valor inicial para 𝑦 𝑓𝑥 a 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥 2 em que 𝑦1 2 b 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥1 𝑥 em que 𝑦4 5 7 Modele a área da região limitada pelas equações dadas usando integração faça o esboço do gráfico identificando os pontos de interseção das curvas em seguida calcule a área a 𝑦𝑥 𝑥 e 𝑦𝑥 𝑥 e 𝑥 1 b 𝑦𝑥 𝑥2 2𝑥 𝑦𝑥 𝑥2 4 e𝑥 0 5 8 Determine a área da região limitada pela reta 𝑦 4𝑥 e pela curva 𝑦 𝑥3 3𝑥2 Atividades do RA2 RA2 Avaliar criticamente se as soluções analíticas dos problemas voltados para a engenharia estão consistentes com o mesmo considerando requisitos e restrições fundamentados no Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 9 Verifique se a integral a seguir foi calculada corretamente usando derivadas ou seja 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 𝑑 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 𝑓𝑥 Argumente justificando o porquê a integração está correta ou incorreta compare o resultado com a função integranda e faça uma conclusão 𝑎 𝑥3 𝑥2 3 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥3 2𝑥2 6 2𝑥 𝑐 𝑏 𝑥1 3 5 𝑥2 𝑑𝑥 3 4𝑥 4 3 5 𝑥 𝑐 6 10 Considere o gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥3 𝑥 Um estudante modelou o cálculo da área entre as seguintes curvas 𝑓𝑥 𝑥3 𝑥 e o eixo 𝑥 entre 𝑥 1 e 𝑥 2 usando integração e obteve 𝐴 𝑥3 𝑥𝑑𝑥 2 1 9 4 𝑢 𝑎 a A modelagem da área apresentada está correta Justifique Se você concluir que a modelagem está incorreta apresente a modelagem correta b A resposta da área apresentada está coerente Justifique Questão 01 Vi Velocidade final 0 ms Vi Velocidade inicial 18 ms a aceleração 6 ms2 Δx distancia percorrida até parar Vf2 Vi2 2 a Δx 02 182 2 6 Δx 0 324 12 Δx 12 Δx 324 Δx 324 12 27 m Questão 02 ht 006 t23 03 t32 ht 006 t23 03 t32 dt ht 006 t23 dt 03 t32 dt ht 006 t23 dt 03 t32 dt ht 006 t53 53 03 t52 32 c ht 0036 t53 02 t32 c Condição Inicial t0 h0 06m h0 0036 053 02 032 c 06 0 0 c 06 c 06 Altura após 27 anos h27 0036 2753 02 2732 06 h27 8748 28059 06 h27 37407 m Questão 03 a d2τ dx2 0 dτ dx e1 τx C1 x C2 T0 25ºC T0 C1 0 C2 25 C2 25 T50 85ºC T50 C1 50 25 85 50 C1 60 C1 60 50 C1 12 A função que descreve a temperatura ao longo da barra de 50 cm τx 12 x 25 b T25 12 25 25 T25 30 25 T25 55ºC T40 12 40 25 T40 48 25 T40 73ºC Questão 04 a 2x5 8x3 3x2 5 dx 2x5 dx 8x3 dx 3x2 dx 5 dx 2x6 6 8x4 4 3x3 3 5x C x6 3 2x4 x3 5x C b x3 2x2 7 x2 dx x3 x2 2x2 x2 7 x2 dx x 2 7 x2 dx x dx 2 dx 7 x2 dx x2 2 2x 7 x c c x3 12x 2 dx xx 12x12 212 dx x32 12x12 212 dx x32 dx 12x12 dx 212 dx 2x2x5 x2 2 x e d x3 2x21x 5 dx xx2 2x1x 5x dx x2 2x1 5x dx x2 5x3 2x 30x2 dx 11x2 5x3 2x dx 11x2 dx 5x3 dx 2x dx 11x33 5x44 2x22 c 11x33 5x44 x2 c Questão 05 a from 1 to 6 x2 x 1 dx from 1 to 6 x3 x2 dx from 1 to 6 x3 dx from 1 to 6 x2 dx x44 x33 from 1 to 6 644 633 144 133 302512 252083 b from 3 to 1 t 1t3 dt from 3 to 1 tt3 1t3 dt from 3 to 1 1t2 1t3 dt from 3 to 1 1t2 dt from 3 to 1 1t3 dt 1t 12t2 from 3 to 1 11 1212 13 1232 29 0222 Questão 06 a dydx 3x 2 yx 3x 2 dx yx 3x dx 2x dx yx 3x22 2x c y1 2 y1 3122 21 c 2 72 c 2 Função final yx 3x22 2x 32 c 32 b dydx x 1x yx x 1x dx yx xx 1x dx yx x x12 dx yx x12 dx x12 dx yx 2x323 2x12 c y4 5 y4 24323 2412 c 5 Função final yx 2x323 2x12 133 283 c 5 c 133 Questão 07 a Área 0 1 x x dx 0 1 2x dx 2x²2 x² 0 1 1² 0² 12 Área 1 unidade quadrada b x² 2x Ponto de interseção x² 2x x² 4 2x² 2x 4 0 x² x 2 0 x 2x 1 0 Logo os pontos de interseção é x 1 e x 2 como temos a condição x 0 apenas x 2 é relevante Área 0 2 x² 4 x² 2x dx 0 2 2x² 2x 4 dx 2x³3 x² 4x 0 2 22³3 2² 42 20³3 0² 40 203 667 unidades quadradas Questão 08 Pontos de interseção x 0 x 1 x 4 Área 4 1 2x x³ 3x² dx 4 1 4x x³ 3x² dx 4 1 4x dx 4 1 x³ dx 4 1 3x² dx 4x²2 x⁴4 3x³3 4 1 2x² x⁴4 x³ 4 1 21² 1⁴4 1³ 24² 4⁴4 4³ 1254 A área é de aproximadamente 3125 unidades quadradas Questão 09 01 x³ x² 3x² dx x³2x 2x²2x 62x C Simplificação x 1 3x² dx x dx 1 dx 3x² dx x²2 x 3x C Resultado fonmculo x³ 2x² 6 C Simplificando x²2 x 3x C Derivada para verificação Fx x²2 x 3x C Fx x 1 3x² Que é exatamente a função integrada original Portanto a integral foi calculada corretamente O processo confirma que a função dada como resultado é de fato a antiderivada correta da integrada