Exercícios de Funções urgência

8 Juros compostos Se um capital C é aplicado a uma taxa de juros i por um período de um mês então o montante M ao final desse mês será M C 1 i100 Se a aplicação for feita por dois meses então o montante final será M C 1 i100 1 i100 Assim se tal aplicação se der por um período de n meses ao final do nésimo mês teremos M C 1 i100 1 i100 1 i100 n vezes Assim podemos concluir que o montante M dados o capital C investido a uma taxa de juros i por um número n de períodos dias meses anos etc é dado pela expressão Mn C 1 i100ⁿ que nada mais é que uma função exponencial Sendo assim considerando que R 7e000 são aplicados a juros compostos em um banco a uma taxa mensal de 1 f ao mês determine a qual o montante em 5 meses b em aproximadamente quantos meses o capital dobrará de valor 9 Dinâmica populacional Um dos modelos mais clássicos de cálculo de crescimento de uma população é o modelo de Malthus Tomas Robert Malthus 17661834 Nele há a afirmação de que a taxa de variação de uma determinada população em relação ao tempo denotada por dPdt é diretamente proporcional à população P presente Isto significa que se P Pt então dPdt kP sendo que o símbolo dPdt representa a derivada da função P em relação ao tempo t que vamos estudar mais adiante A equação anterior é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem que pode ser resolvida por meio do cálculo diferencial e integral e por meio das propriedades das funções exponenciais e logarítmicas Tal resolução nos permite concluir que o tamanho da população em um instante t de acordo com o modelo de Malthus é dada por Pt P₀ekt que é uma função exponencial sendo P₀ P0 a população inicial Observando em um instante inicial uma população de cisnes foram contados f5 elementos lembrando que f é o sexto dígito do seu número de matrícula 6 meses depois essa população era de 1e0 cisnes Considerando que tal população é regida pelo modelo de Malthus determine quantos indivíduos ela terá em 20 meses a partir da primeira observação a Construa um gráfico com os pontos da tabela b Use os dados da tabela para encontrar um modelo função linear para o nível de dióxido de carbono dica escolha dois pontos xy e x0y0 e use yy0 mx x0 c Construa o gráfico do modelo linear encontrado no mesmo gráfico de pontos do item a e Use o modelo linear para predizer o nível de CO₂ para o ano de 2024 f Use o modelo linear para predizer o nível de CO₂ para o ano de 203e g De acordo com o modelo encontrado quando o nível de CO₂ excederá 8f0 ppm 4 Construa os gráficos das funções quadráticas da forma fx ax² bx c num mesmo plano cartesiano fx x² x 3 gx x² 6x 4 px x² 5x 2 qx x² 1 a Que características você observa em relação ao coeficiente a das funções b Que propriedade gráfica possui o coeficiente c c Determine as coordenadas do vértice correspondente ao ponto de mínimo da função g dica slide 12 de Funções polinomiaispdf 5 Um foguete caiu depois de ser lançado devido a uma pane no sistema de navegação A trajetória do foguete até a sua queda é representada pela função abaixo ht f 10t 35t² lembrando que f é o sexto dígito do seu número de matrícula Considere que a altura h é dada em km e o tempo t em segundos a Construa o gráfico da trajetóriaaltura ht percorrida pelo foguete b A altura máxima que o foguete atingiu dica slide 12 de Funções polinomiaispdf c Ao partir qual a altura do foguete em relação ao solo d Após quantos segundos depois de partir o foguete atingiu o solo Obs Você deve mostrar os cálculos feitos e conferir os resultados no gráfico 6 Determine a função quadrática que graficamente passa pelos pontos M1 0 N3 0 e P0 3 Plote os 3 pontos no plano cartesiano juntamente com o gráfico da função encontrada Mostrar os cálculos 7 Suponha que uma fábrica tenha estimado que o custo de produção de x unidades de um produto seja Cx 035 05x 005x² 000b1x⁴ a Que tipo de modelo função é essea estimadoa pela companhia b Construa o gráfico c Qual o custo de produção de 10 unidades d Qual o custo que a fábrica possui caso não produza nada Calcule o valor e sinalize no gráfico e Aproximadamente quantas unidades de produtos é possível fabricar com R 30000 10 A gravitação é um ramo importante da Física a qual apresenta inúmeras aplicabilidades entre elas podese citar a gravitação de satélites de telecomunicações Um satélite de telecomunicações t minutos após ter atingido sua órbita está a rt quilômetros de distância do centro da Terra rt 38650 1 01F cos 006t Não esqueça de passar a sua calculadora para radianos a Responda o objeto estará mais próximo da Terra no tempo t 50 minutos ou no tempo t 100 minutos Justifique a sua reposta aplicando a fórmula da função rt b Determine um tempo t em que o objeto estará a uma altura de 38500 km Mostre os cálculos Referências 1 H Guidorizzi Um curso de Cálculo Volume 1 5 ed São Paulo LTC 1995 2 B R Oliveira A M Zuffo J G Aguilera Caminhos da Matemática Pantanal Editora 2019 3 P Boulos Précálculo Editora Pearson 118 ISBN 9788534612210 2111 M S 29 Trabalho II Funções 10 pontos Alunoa 1º Período Cálculo I Observações 1 O software Graphmatica ou outro de sua preferência pode ser utilizado 2 No lugar das letras a b c d e e f utilize respectivamente os algarismos do seu número de matrícula Por exemplo para o número de matrícula 613965 a 6 b 1 c 3 d 9 e 6 e f 5 3 As respostas com gráficos e resoluções devem ser apresentadas 4 Você pode fazer as contas manualmente e fotografardigitalizar QUESTÕES 1 Faça os gráficos das funções lineares da forma fx ax b abaixo num mesmo plano cartesiano fx 3x 1 gx 3x 5 px 2x 1 qx 2x 1 a Que características são comuns aos gráficos das funções f e g b Que características são comuns aos gráficos das funções p e q c Que propriedade gráfica possui o coeficiente b desse tipo de função d Quais são os zeros de cada uma das funções f g p e q dica slide 7 de Funções polinomiaispdf 2 Estabeleça uma equação linear que expresse a relação entre a temperatura em graus Celsius C e em graus Kelvin K Utilize o fato de que água congela a 0º Celsius 27315 Kelvin e ferve a 100º Celsius 37315 Kelvin 3 A tabela abaixo mostra um histórico de níveis médios de dióxido de carbono na atmosfera supostamente medidos em partes por milhão ppm num Observatório Ano Nível de CO₂ em ppm 2012 57a 2013 58b 2014 58c 2015 58d 2016 58e 2017 58f 2018 59a 2019 59b 2020 59c 2021 59d 2022 60e 2023 60f 1 Resolucao da Questao 1 11 Graficos das Funcoes Os graficos das funcoes fx 3x 1 gx 3x 5 px 2x 1 e qx 2x 1 sao apresentados abaixo 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 30 20 10 10 20 30 x fx fx 3x 1 gx 3x 5 px 2x 1 qx 2x 1 Figure 1 Graficos das funcoes fx gx px e qx 12 Respostas a As funcoes fx e gx tˆem a mesma inclinacao a 3 o que significa que as duas retas sao paralelas b As funcoes px e qx tˆem o mesmo intercepto y b 1 o que significa que ambas as retas cruzam o eixo y no ponto 0 1 c O coeficiente b representa o intercepto y da reta ou seja o ponto em que a reta cruza o eixo y d Os zeros de cada funcao sao fx 3x 1 x 1 3 gx 3x 5 x 5 3 px 2x 1 x 1 2 qx 2x 1 x 1 2 1 2 Resolução da Questão 2 Para estabelecer a equação linear que expressa a relação entre a temperatura em graus Celsius C e em graus Kelvin K utilizamos as informações de que a água congela a 0C 27315 K e ferve a 100C 37315 K Sabemos que C 0 corresponde a K 27315 C 100 corresponde a K 37315 Podemos escrever esses dois pontos como 0 27315 100 37315 A equação linear na forma K aC b pode ser determinada encontrando os coeficientes a e b 21 Determinação do coeficiente angular a O coeficiente angular a é a razão da variação da temperatura em Kelvin pela variação da temperatura em Celsius a ΔK ΔC 37315 27315 100 0 100 100 1 22 Determinação do coeficiente linear b Substituímos um dos pontos na equação para encontrar b Usando o ponto C 0 e K 27315 27315 1 0 b b 27315 Portanto a equação linear que relaciona K e C é K C 27315 3 Resolução da Questão 3 31 Tabela dos Níveis de CO A tabela abaixo mostra um histórico de níveis médios de dióxido de carbono na atmosfera medidos em partes por milhão ppm num observatório Ano Nıvel de CO em ppm 2012 65 2013 61 2014 63 2015 58 2016 63 2017 65 2018 67 2019 62 2020 64 2021 59 2022 65 2023 67 Table 1 Nıveis medios de CO 2010 2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024 56 58 60 62 64 66 68 70 Ano Nıvel de CO ppm Dados Reais Modelo Linear Figure 2 Grafico dos nıveis de CO 32 Grafico dos Pontos da Tabela 33 Calculo do Modelo Linear Para encontrar a funcao linear que modela o nıvel de dioxido de carbono escol hemos os pontos 2012 65 e 2023 67 3 Calculemos o coeficiente angular m m 67 65 2023 2012 2 11 0182 Agora usando o ponto 2012 65 para encontrar b 65 0182 2012 b b 65 0182 2012 b 65 366184 301184 Portanto a funcao linear e y 0182x 301184 34 Grafico do Modelo Linear O grafico do modelo linear e desenhado no mesmo grafico de pontos 35 Predicoes com o Modelo Linear e Predicao para o ano de 2024 y 0182 2024 301184 672 ppm f Predicao para o ano de 2035 y 0182 2035 301184 6817 ppm g Ano em que o nıvel de CO excedera 80 ppm 80 0182x 301184 x 80 301184 0182 x 381184 0182 209434 Portanto por volta do ano 2094 4 Resolucao da Questao 4 41 Graficos das Funcoes Quadraticas As funcoes quadraticas sao fx x2 x 3 gx x2 6x 4 px x2 5x 2 qx x2 1 4 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 5 0 5 10 x fx fx x2 x 3 gx x2 6x 4 px x2 5x 2 qx x2 1 Figure 3 Graficos das funcoes quadraticas 42 Analise dos Coeficientes a O coeficiente a determina a concavidade da parabola fx x2 x 3 tem a 1 entao a parabola abre para cima gx x2 6x 4 tem a 1 entao a parabola abre para cima px x2 5x 2 tem a 1 entao a parabola abre para baixo qx x2 1 tem a 1 entao a parabola abre para baixo b O coeficiente c representa o intercepto y da parabola fx x2 x 3 tem c 3 entao a parabola cruza o eixo y em 3 gx x2 6x 4 tem c 4 entao a parabola cruza o eixo y em 4 px x2 5x 2 tem c 2 entao a parabola cruza o eixo y em 2 qx x2 1 tem c 1 entao a parabola cruza o eixo y em 1 c Coordenadas do vertice da funcao gx x2 6x 4 x b 2a 6 2 1 6 2 3 Substituindo x 3 em gx g3 32 6 3 4 9 18 4 5 Portanto o vertice da funcao gx e 3 5 5 5 Resolucao da Questao 5 A funcao que descreve a altura ht em relacao ao tempo t e ht 7 10t 35t2 51 Grafico da Trajetoria 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 0 2 4 6 8 10 12 14 Tempo s Altura km ht 7 10t 35t2 Figure 4 Grafico da trajetoria do foguete 52 Calculos b A altura maxima que o foguete atingiu e determinada pelo vertice da parabola Para a funcao ht 35t2 10t 7 tmax 10 2 35 10 7 143 segundos Substituindo tmax na funcao ht h143 7 10 143 35 1432 1415 km c Ao partir a altura do foguete em relacao ao solo quando t 0 h0 7 10 0 35 02 7 km 6 d Para encontrar o tempo quando o foguete atinge o solo ht 0 7 10t 35t² 0 Resolvendo a equação quadrática 35t² 10t 7 0 Usando a fórmula de Bhaskara t b b² 4ac 2a Onde a 35 b 10 c 7 t 10 10² 4 35 7 2 35 t 10 100 98 7 t 10 198 7 t 10 1407 7 t1 10 1407 7 058 não considerado t2 10 1407 7 344 segundos 6 Resolução da Questão 6 Para determinar a função quadrática que passa pelos pontos M1 0 N3 0 e P0 3 usamos a forma geral da função quadrática y ax² bx c 61 Cálculos Substituindo os pontos na função Para o ponto M1 0 0 a1² b1 c 0 a b c Para o ponto N3 0 0 a3² b3 c 0 9a 3b c Para o ponto P0 3 3 a02 b0 c c 3 Substituindo c 3 nas outras duas equações temos a b 3 0 a b 3 9a 3b 3 0 9a 3b 3 Resolvendo o sistema de equações a b 3 9a 3b 3 Multiplicando a primeira equação por 3 3a 3b 9 Somando as equações 3a 3b 9a 3b 9 3 12a 12 a 1 Substituindo a 1 na primeira equação 1 b 3 b 2 Portanto a função quadrática é y x2 2x 3 62 Gráfico da Função 7 Resolução da Questão 7 A função de custo fornecida é Cx 035 05x 005x2 0003x4 71 Tipo de Modelo Esta é uma função polinomial de quarto grau 2 1 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 1 x y y x2 2x 3 Pontos Figure 5 Grafico da funcao quadratica e os pontos M1 0 N3 0 e P0 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 50 100 150 200 250 300 350 10 unidades Custo fixo 300 Unidades Produzidas x Custo Cx Cx 035 05x 005x2 0003x4 Figure 6 Grafico da funcao de custo 72 Grafico da Funcao de Custo 73 Calculos c O custo de producao de 10 unidades e C10 035 0510 005102 0003104 4035 9 d O custo quando a fábrica não produz nada x 0 é C0 035 e Para encontrar o número de unidades que podem ser produzidas com R 30000 resolvemos numericamente 035 05x 005x2 0003x4 300 A solução aproximada pode ser encontrada pelo gráfico Aproximadamente podemos observar que isso ocorre em torno de x 15 8 Resolução da Questão 8 A fórmula para o montante M depois de n meses com juros compostos é Mn C1 i100n 81 Cálculos Substituímos os valores fornecidos Capital inicial C 700 reais Taxa de juros i 17 ao mês a Montante em 5 meses M5 7001 171005 M5 70010175 M5 7001087025 M5 76112 reais b Número de meses para dobrar o capital Precisamos encontrar n tal que Mn 2C 2 700 7001017n 2 1017n Aplicamos o logaritmo natural ln em ambos os lados ln2 n ln1017 n ln2ln1017 n 0693001685 4114 meses Portanto o capital dobrará em aproximadamente 41 meses 9 Resolucao da Questao 9 A formula do modelo de Malthus e Pt P0ekt 91 Calculo da Constante de Crescimento k Dado que P0 10 e P6 75 75 10e6k Resolvendo para k 75 e6k Aplicando logaritmo natural ln em ambos os lados ln75 6k k ln75 6 k 20149 6 03358 92 Calculo da Populacao apos 20 meses Usando Pt 10e03358t P20 10e0335820 P20 10e6716 P20 10 82639 82639 Portanto a populacao de cisnes sera aproximadamente 8264 apos 20 meses 10 Resolucao da Questao 10 A funcao que descreve a distˆancia rt do satelite em relacao ao centro da Terra e rt 38650 1 017 cos006t 11 101 Calculos a Distˆancia nos tempos t 50 minutos e t 100 minutos Para t 50 r50 38650 1 017 cos006 50 r50 38650 1 017 cos3 Usando uma calculadora em modo radianos cos3 0989992 r50 38650 1 016829864 38650 083170136 4647015 km Para t 100 r100 38650 1 017 cos006 100 r100 38650 1 017 cos6 Usando uma calculadora em modo radianos cos6 096017 r100 38650 1 0163229 38650 1163229 3322596 km Portanto o objeto esta mais proximo da Terra no tempo t 100 minutos b Determinacao do tempo t em que o objeto estara a uma altura de 38500 km Precisamos resolver rt 38500 38500 38650 1 017 cos006t Isolando cos006t 1 017 cos006t 38650 38500 1 017 cos006t 10038961 017 cos006t 00038961 cos006t 00038961 017 0022918 Usando a funcao inversa do cosseno arccos 006t arccos0022918 Calculando 006t 15479 radianos t 15479 006 25798 minutos 12