Trabalho sobre Integrais

1 Calcule a área das Regiões 11 y5xx² 44 yx 12 xy²4y 33 x2yy² 2 Considere que 𝓡 seja a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas yx³ e y2xx² Faça um desenho da Região 𝓡 calcule a sua área e calcule o volume obtido pela rotação da região em torno do eixo x e em torno da reta x2 3 Calcule as seguintes integrais 31 senln t t dt e arctg x 1x² dx 32 x²1 x dx e dx x x²1 33 x sec x tg x dx e x sen x cos x dx 34 dt 2t² 3t 1 e x² 8x 3 x³ 3x² dx 4 Verifique se a integrais abaixo é divergente ou calcule o seu valor 41 dx x ln x dx e ln x x dx 5 Demonstre que vale as seguintes fórmulas o comprimento de circunferência de círculo de raio r é 2π r e a área da superfície esférica de raio R é 4 π R² 1 11 y Y y5xx² yx 44 A x 0 4 y5xx² A ₀⁴ 5xx²x dx ₀⁴ 4xx² dx 4x²2 x³3 ₀⁴ 2x² x³3 ₀⁴ 2 4² 4³3 0 32 643 96643 323 ua 12 Y x y²4y 33 Interseção y² 4y 2y y² y² y² 4y 2y 0 2y² 6y 0 y² 3y 0 y y30 y0 ou y30 y3 x O 3 x 2y y² A ₀³ 2yy²y² 4y dy ₀³ 2y² 6y dy 2y³3 3y²₀³ 2 3³3 3 3² 0 29 27 27 18 9 ua 2 y x³ A O 1 2 y2xx² Interseção 2xx² x³ 2x x² x 0 x² x 2 0 x0 ou x1 A ₀¹ 2x x² x³ dx x² x³3 x⁴4 ₀¹ 1 13 14 0 12 4 312 512 ua Volume em torno do eixo x v π ₐᵇ Rextx² Rintx² dx v π ₀¹ 2xx²² x³² dx π ₀¹ 4x² 4x³ x⁴ x⁶ dx π 43x³ x⁴ x⁵5 x⁷7 ₀¹ v π 43 1 15 17 0 π 140 105 21 15 105 41 π105 uv 2 continuação Volume em torno de x2 rextx 2 x rintx 2 2x x2 x2 2x 2 yx3 y 2x x2 x 2 0 1 2 3 4 v π 01 2 x2 x2 2x 22 dx π 01 4 4x x2 x4 4x3 8x2 8x 4 dx π 8x 2x2 7x33 x55 x4 83 x3 4x201 π 8x 6x2 x33 x55 x401 π8 6 13 15 1 0 π3 13 15 π 45 5 315 37π15 uv 3 31 senln t t dt u ln t du 1t dt dt t du senut t du senu du cosu c cosln t c c R 01 arctg x 1 x2 dx arctg x 1 x2 dx u arctg x du 11 x2 dx dx 1 x2 du u 1 x2 1 x2 du u12 du u32 32 c 23 arctg x32 c c R Logo 23 arctg x32 01 23 arctg 132 0 π32 12 ua 32 12 x2 1 x dx u x2 1 u2 x2 1 u2 1 x2 du x 2x2 1 dx xu dx u du x dx 12 x2 1 x dx x2 1 x xx dx x2 1 x2 x dx u u2 1 u du u2 1 1 u2 1 du u2 1 u2 1 du 1 u2 1 du u arctgu c x2 1 arctgx2 1 c c R Logo x2 1 arctgx2 1 12 3 arctg3 0 3 π 3 ua 1 x x2 1 dx u x2 1 du x dx 1 x2 u x2 1 u2 x2 1 x2 u2 1 x u2 1 1 x2 x2 1 x dx du u2 1 Vamos resolver por frações parciais 1 u2 1 1 u 1u 1 Au 1 Bu 1 Au 1 Bu 1 1 A Bu A B 1 A B 0 A B A B 1 2A 1 A 12 B 12 32 continuação Logo 1u21 12 1u1 1u1 dxx1x2 12 1u1 du 12 1u1 du 12 lnu 1 12 lnu1 c 12 lnx21 1 12 lnx21 1 c c ℝ 33 xsec xtg x dx uv v du u x du dx dv sec xtg x dx v sec xtg x dx xsec x sec xdx xsec x lnsec x tg x c c ℝ 33 continuação xsen xcos x dx xsen2x2 dx 12 xsen 2x dx sen2x 2sen xcos x sen xcos x sen2x2 u x du dx dv sen 2 x dx v sen 2x dx 12 2 sen 2x dx 12 cos 2x 12 cos 2x Logo u v v du 12 x 12 cos 2x 12 cos 2x dx 12 x2 cos 2x 12 12 2 cos 2x dx x4 cos 2x 18 sen 2x c c ℝ 34 dt2t2 3t 1 dt2t1t1 12t1t1 A2t1 Bt1 1 At1 B2t1 A 2B t A B 1 0 t A 2B 0 A B 1 A 2B 0 A B 1 B 1 B 1 A 2 Logo 12t1t1 22t1 1t1 22t1 1t1 dt 2 12t1 dt 1t1 dt ln2t1 lnt1 c ln 2t1t1 c c ℝ 34 continuação x²8x3x³3x² dx x²8x3x²x3 dx xx3 8xx²x3 3x²x3 dx 1x3 8xx3 3x²x3 dx 1x3 dx 8 1xx3 3 1x²x3 dx lnx3 8 1xx3 dx 3 1x²x3 dx 1xx3 Ax Bx3 1 Ax3 Bx Ax Bx 3A ABx 3A 3A1 A13 A B0 B13 1xx3 dx 13 1x 13 1x3 13 lnx 13 lnx3 c 13 lnx lnx3 c 1x²x3 Cx Dx² Ex3 1 C x x3 D x3 E x² 1 C x² 3x D x 3D E x² 1 C x² 3C x D x 3D E x² 1 C E x² 3C D x 3D x0 13D D13 x3 0C 9C D3 3D 9E 1 9E1 E19 Digitalizado com CamScanner 34 continuação 2 C E0 C 19 0 C19 3C D0 3D1 1x²x3 dx 19 1x 13 1x² 19 1x3 dx 19 lnx 13 1x 19 lnx3 c 13 13 lnx 1x 13 lnx3 c Resposta final lnx3 83 lnx lnx3 3 13 13 lnx 1x 13 ln Digitalizado com CamScanner 4 41 ₂ᵗ dxx ln x lim t ₂ᵗ dxx ln x u ln x du 1x dx dx x du dxx ln x x dux u 1u du lnu c lnln x c c ℝ Então ₂ᵗ dxx ln x lnln x ₂ᵗ lnln t lnln 2 lim t lnln t lim t lnln 2 Diverge ln xx dx 1x lnx dx u ln x du 1x dx dv 1x dx v 2 12x dx 2x Logo u v v du ln x 2x 1x 2x dx x x ln x 2x 2 12x dx 2x ln x 4x c c ℝ Digitalizado com CamScanner 41 continuação Logo ₀⁴ ln xx dx 2xln x 4x ₀⁴ 24ln4 44 0 22ln4 42 4 ln4 8 8 ln2 8 8ln2 1 ua 5 A equação paramétrica de uma circunferência de raio r é xθ rcosθ 0 θ 2π coordenadas polares yθ rsenθ O comprimento da circunferência é dado pela integral C ₀²π dxdθ² dydθ² dθ Calculando as derivadas dxdθ rsenθ dydθ rcosθ Substituindo na integral temos C ₀²π r senθ² r cosθ² dθ ₀²π r²sen²θ cos²θ dθ ₀²π r²1 dθ ₀²π r1 dθ ₀²π r dθ r₀²π dθ rθ₀²π r 2π 0 Portanto C 2πr 5 pt 2 Vamos demonstrar a área da superfície esférica de raio R usando a integral de superfície em coordenadas esféricas A área de um elemento de superfície em coordenadas esféricas é dada por dA R² senφ dφ dθ onde 0 φ π ângulo zenital e 0 θ 2π ângulo azimutal A área da superfície esférica é dada pela integral A ₀²π ₀π R² senφ dφ dθ R² ₀²π dθ ₀π senφ dφ R² θ₀²π cosφ₀π R² 2π 2 R² 4π θ₀²π 2π cosφ₀π cosπ cos0 1 cos0 1 1 2 Portanto A 4πR²