Ficha 9: Integral Definida e Volume de Sólido de Revolução

Engenharia Civil Turma CIVNAE2 20222 Calculo Diferencial e Integral Ficha 9 Integral Definida Volume de solido de revolugao I Solido de revolugao Um solido de revolugao um solido gerado pela rotagao de uma regiao plana em torno de uma reta que esta no mesmo plano da regiao A reta é denominada eixo de revolugao Y 4 a b x ll Ideia de volume Fh ak KILO Se A Dy i ht sm h h B Ta C a f TS a Cilindro b Cilindro circular c Caixat VAh Venrh lll Volume por discos perpendiculares ao eixo x Seja f continua e nao negativa em a b e seja R a regiao limitada acima por y fx e nas laterais pelas retas x a e x b Pelo método do fatiamento observamos que a seao transversal do solido tomada perpendicularmente ao eixo x no ponto x é um disco de raio fx A area dessa regido é Ax zfx Entao 0 volume do solido é V fi aif Pdx Y rt N X Exemplo 1 Encontre o volume do solido obtido pela rotagao ao redor do eixo x da regiao sob a curva y Vx de 0 até 1 O sélido est4 entre x 0 e x 1 assim 0 seu volume é V Ax dx mx dx a Ve 4 0 x If 0 x Ax a b IV Volume por arruelas perpendiculares ao eixo x Sejam f e g continuas e nao negativas em a b e suponha que fx gx para todo x em a b Seja R a regiao limitada acima por y fx abaixo por y gx e nas laterais pelas retas x ae x b O volume do solido de revolugao gerado pela rotagao da regiao R em torno do eixo x é dado por b v f mC lf gdx iw y fx KJ i 9 Se Exemplo 2 A regiao R limitada pelas curvas y x e y x 6 girada ao redor do eixo x Encontre o volume do solido resultante 11 yx Aix R 00 7 0 Ax mx mx nx x Pay2xdr g Z a7 t 2 22 Logo V f Axdx f nx xdx n wv V Exercicios 1Encontre o volume do solido que resulta quando a regiao sombreada gira em torno do eixo x y4 x 4 3 2 i 4 fe x 1 2 om 2 Encontre o volume do solido obtido quando a regiao sob a curva y Vx e acima do intervalo 1 4 é girada em torno do eixo x 3 Encontre o volume do solido gerado quando a regiao entre os graficos das equacoes fx x e gx x que esta acima do intervalo 0 2 é girada em torno do eixo x 4 Uma esfera de raio r pode ser gerada girandose o disco semicircular superior que está entre o eixo x e x2 y2 r2 em torno do eixo x Encontre uma fórmula para o cálculo do volume dessa esfera DESAFIO A região limitada pela parábola cúbica y x3 pelo eixo dos y e pela reta y 8 gira em torno do eixo dos y Determine o volume do sólido de revolução obtido