Funcoes Hiperbolicas - Estudo Dirigido e Exercicios de Calculo

1 Cálculo I ESTUDO DIRIGIDO FUNÇÕES HIPERBÓLICAS Nomes Legíveis 1 2 3 4 5 6 Combinações das funções 𝑒𝑥 e 𝑒𝑥 surgem com frequência em matemática ou em engenharia e por isso algumas delas merecem nomes específicos De certa forma elas são análogas às funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole que as funções trigonométricas possuem com o círculo Por essa razão são chamadas de funções hiperbólicas São definidas a seguir 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 1 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 2 sech 𝑥 1 cosh 𝑥 𝑡𝑔ℎ 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 cosh 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 cosh 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 Observe que assim como nas funções trigonométricas tradicionais basta conhecer as definições de 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 e 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 para conhecer as demais funções que são definidas a partir dessas duas primeiras Note também que as funções hiperbólicas possuem funções exponenciais em suas definições portanto 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 e 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 estão definidos para 𝑥 Talvez a aplicação mais famosa dessas funções na engenharia seja o uso do cosseno hiperbólico para descrever a forma de um fio dependurado Pode ser demonstrado que se um cabo flexível pesado como uma linha de telefone ou de eletricidade estiver suspenso entre dois pontos de igual altura então ele assume a forma de uma curva chamada catenária cuja equação envolve um cosseno hiperbólico Questão 01 Verifique que a função 𝑦 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 é ímpar e que a função 𝑦 cosh 𝑥 é par 2 Questão 02 Esboce os gráficos das funções 𝑦 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 e 𝑦 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 juntamente com suas componentes exponenciais 3 Questão 03 Calcule as derivadas das funções hiperbólicas abaixo a 𝑦 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 b 𝑦 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 c 𝑦 𝑡𝑔ℎ𝑥 d 𝑦 𝑐𝑜𝑡ℎ𝑥 e 𝑦 𝑠𝑒𝑐ℎ𝑥 função ímpar fx fx senhx ex ex2 senhx ex ex2 ex ex2 senhx função par fx fx cosh ex ex2 coshx ex ex2 ex ex2 ex ex2 coshx 2 y senh y cosh senhx ex2 ex2 x ex2 ex2 3 a y senhx ex ex12 y 12 ex ex 12ex ex coshx b y coshx 12 ex ex y 12 ex ex senhx c tghx 12 ex ex12 ex ex ex exex ex y exexex ex ex exex ex ex ex2 ex ex2 ex ex2ex ex2 exexexex2 ex ex ex ex2 1 tgh2x sech2x d y cothx 1 tghx tghx1 y tghx2 sech2x sech2x tgh2x 1 senh2x cosh2x 1 senh2x cosec2x e y sechx coshx1 y coshx2 senhx senhx cosh2x senhx coshx 1coshx tghx sechx