Geometria Analítica Vetores e Operações em R3 - Engenharia Civil

GACV ENGENHARIA CIVIL 2º SEMESTRE DE 2022 PROFª Barbara Lutaif Bianchini 12 PONTO DE VISTA DA GEOMETRIA ANALÍTICA Neste tópico representaremos os vetores estudados anteriormente em um referencial cartesiano e passaremos a represent á los também a partir desse referencial por ternas ordenadas Nessa representação trabalharemos também com as operações e suas propriedades 121 N oções preliminares Base Antes de prosseguirmos em nosso estudo é importante que tenhamos uma breve noção de base Definição 1 Dados os vetores v 1 v 2 v n V 3 em que n N dizemos que v V 3 é combinação linear de v 1 v 2 v n se existem escalares α 1 α 2 α n R tais que v α 1 v 1 α 2 v 2 α n v n Dizemos que o vetor v é gerado pelos vetores v 1 v 2 v n ou ainda que esses vetores são geradores de v ou geram v Considere a figura 1 e observe que DG DA AB BG isto é o vetor AG é combinação linear dos três vetores com os escalares todos iguais a 1 Ou ainda DG DF FG ou DG DE EH HC CB BG Temos ainda que DG 2 DI FG Figura 1 Combinação linear Nosso interesse é determinar uma sequência de vetores que possa gerar qualquer vetor do espaço R 3 em outras palavras queremos encontrar o mínimo de vetores necessários de modo a gerar qualquer vetor do espaço tendo agora como referencial um sistema cartesiano no espaço Para determinar esse número mínimo precisamos definir sequência de vetores linearmente dependentes ou linearmente independentes a Uma sequência v de um único vetor v V 3 é linearmente dependente LD se v 0 Se v 0 a sequência é linearmente independente LI b Uma sequência u v de vetores do V 3 é LD se u e v são paralelos u v Neste caso podemos escrever um vetor como combinação linear do outro isto é u α v α R Dessa forma se u abc e v def se verifica a proporcionalidade a d b e c f Caso contrário u v é LI Neste caso não existe α R para que se verifique u α v e portanto a proporcionalidade também não existe Note que dois vetores do espaço sempre são coplanares situados em um mesmo plano podendo ser paralelos ou não Na figura 1 AB BG é LI e AB DC é LD por exemplo c Uma sequência u v w de vetores de V 3 é LD se u v e w são coplanares situados em um mesmo plano Caso contrário a sequência u v w é LI Observe que como dois vetores sempre são coplanares se considerarmos dois não paralelos LI o terceiro vetor pode estar no mesmo plano ou não Se ele estiver contido no mesmo plano dos outros dois qualquer combinação linear dos três vetores resultará em um vetor no mesmo plano e portanto não poderá gerar qualquer vetor do espaço Por outro lado se o terceiro vetor não estiver contido no mesmo plano que os outros dois podemos gerar qualquer vetor do espaço a partir deles d Qualquer outra sequência com quatro ou mais vetores de V 3 é LD Assim se u v w é LI todo vetor x V 3 é gerado por u v e w Isso quer dizer que para todo x V 3 existem os números reais a b e g tais que x u β v γ w Em outras palavras x é combinação linear de u v e w Definição 2 chamase base de V 3 qualquer terna ordenada E e 1 e 2 e 3 que seja linearmente independente Como todo vetor v de V 3 pode ser gerado por e 1 e 2 e 3 isto é para todo v V 3 existem escalares a 1 a 2 a 3 tais que v a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 No espaço qualquer conjunto de três vetores que não sejam coplanares constitui uma base Figura 2 Base Todo vetor v V 3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base v b 1 e 1 b 2 e 2 b 3 e 3 onde b 1 b 2 b 3 são os componentes de v em relação à base E e 1 e 2 e 3 A notação utilizada para indicar que b 1 b 2 b 3 são componentes de v na base E é v b 1 b 2 b 3 E Reciprocamente dada uma terna a 1 a 2 a 3 de números reais existe um único vetor cujas componentes são a 1 a 2 a 3 em relação à base E Sistema de Coordenadas No espaço um sistema referencial é formado por um ponto O qualquer do espaço e por uma base e 1 e 2 e 3 e representamos por O e 1 e 2 e 3 o ponto O é denominado origem do sistema O sistema O i j k é chamado sistema cartesiano ortonormal Nesse sistema a reta com a direção do versor i é o eixo das abscissas a reta com a direção do versor j é o eixo das ordenadas e a reta com a direção do versor k é o eixo das cotas como mostra a figura 3 Figura 3 Sistema de coordenadas ortonormal Coordenadas de um ponto Para todo ponto P do espaço temos que OP a i b j c k onde a b c são as coordenadas do ponto P nesse sistema Considerando o vetor u OP a i b j c k a b c são as componentes do vetor posição de P Observe a figura 4 Figura 4 Coordenadas de um ponto no espaço 122 V etores Vetor definido por dois pontos Dados os pontos A a 1 a 2 a 3 e B b 1 b 2 b 3 como mostra a figura 5 temos que AO OB AB relação de Chasles ou que AB OB OA isto é AB b 1 i b 2 j b 3 k a 1 i a 2 j a 3 k b 1 a 1 i b 2 a 2 j b 3 a 3 k Assim AB OB OA b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 Figura 5 Vetor por dois pontos Dessa forma d ado um vetor v a i b j c k a b c e um ponto P x 1 y 1 z 1 existe um ponto Q tal que OP v OQ sendo Q a x 1 b y 1 c z 1 como mostra a figura 6 Figura 6 Ponto e vetor Igualdade de vetores Dois vetores u a 1 a 2 a 3 E e v b 1 b 2 b 3 E são iguais se e somente se a 1 b 1 a 2 b 2 e a 3 b 3 Adição de vetores Se u a 1 a 2 a 3 E e v b 1 b 2 b 3 E então u v a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 E Para a adição de vetores em Geometria Analítica vale a relação de Chasles e a regra do paralelogramo já estudadas como mostra a figura 7 Figura 7 Adição de vetores no espaço Multiplicação por escalar Sendo λ R e u a 1 a 2 a 3 E então λ u λa 1 λa 2 λa 3 E Proposição 1 Dados os vetores u a 1 a 2 a 3 E e v b 1 b 2 b 3 E u v é LD se e somente se a 1 a 2 a 3 são proporcionais a b 1 b 2 b 3 isto é a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 k com k R Proposição 2 Dados os vetores u a 1 a 2 a 3 E v b 1 b 2 b 3 E e w c 1 c 2 c 3 E em relação a uma determinada base E u v w é LI se e somente se a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 0 Para verificar se a sequência de três vetores é LI ou LD fazemos a combinação linear dos três vetores e igualamos ao vetor nulo a u b v c w 0 Esta combinação resulta em um sistema linear homogêneo que pode ter solução única trivial abc0 ou o sistema pode ser possível e indeterminado e neste caso ter infinitas soluções No primeiro caso entendemos que só há uma maneira de escrever o vetor nulo ou seja 0 u 0 v 0 w 0 e diremos que u v w é LI Logo no segundo caso diremos que a sequência é LD Vejamos um exemplo de uma sequência de três vetores LD Sejam u 2 1 1 v 5 0 2 e w 1 2 0 Fazendo a combinação linear vem que a u b v c w 0 a 211 b 502 c 120 000 Que nos dá o seguinte sistema linear homogêneo 2a5bc0 a2c0 a2b0 Resolvendo o sistema 2 5 1 0 Linha 1 1 0 2 0 1 2 0 0 5 5 0 Linha 2 1 1 0 0 0 Linha 3 Da linha 3 concluímos que 0c0 c R sistema possível indeterminado Da linha 2 concluímos que se 5b5c0 então bc Da linha 1 concluímos que se 2a5cc0 vem que a2c Observe que substituindo esses valores na equação todas serão satisfeitas para qualquer valor de c Calculando o determinante da matriz dos coeficientes temos 2 5 1 1 0 2 1 2 0 10280 Veja na figura 11 esses três vetores representados no Geogebra 3D Figura 8 Sequência de três vetores LD Vejamos agora um exemplo de uma sequência de três vetores L I Sejam u 2 1 0 v 1 1 2 e w 1 0 2 Fazendo a combinação linear vem que a u b v c w 0 a 21 0 b 112 c 102 000 Que nos dá o seguinte sistema linear homogêneo 2abc0 ab0 2b2c0 Resolvendo o sistema 2 1 1 0 Linha 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 Linha 2 4 4 0 8 0 Linha 3 Da linha 3 concluímos que 8c0 então c0 Da linha 2 concluímos que se bc0 então b0 Da linha 1 concluímos que se 2abc0 vem que a0 Logo o sistema tem solução trivial única abc0 Calculando o determinante da matriz dos coeficientes temos 2 1 0 1 1 0 0 2 2 426 Por isso o enunciado da proposição 2 para usar determinantes na identificação da dependência linear de uma terna de vetores Veja na figura 9 esses três vetores representados no Geogebra 3D Figura 9 Sequência de três vetores LI Definição 3 1 Os vetores u e v são ortogonais se um deles é nulo ou admitirem representantes perpendiculares 2 Uma base é ortogonal quando seus vetores são dois a dois ortogonais 3 Uma base i j k é ortonormal quando os seus vetores são dois a dois ortogonais e unitários Assim para passar de uma base ortogonal para uma base ortonormal basta calcular o versor de cada vetor da base ortogonal Esse processo é chamado de ortonormalização de uma base Módulo de um vetor Se i j k é a base ortonormal usual e v x i y j z k então utilizando o teorema de Pitágoras como podemos ver na figura 1 0 temos que v x 2 y 2 z 2 Observação O módulo do vetor AB é definido como a distância entre os pontos A e B Figura 10 Módulo de vetor Proposição 3 Os vetores u e v são ortogonais se e somente se u v 2 u 2 v 2 Exercício 1 Dados u 2 1 1 v 5 0 2 e w 1 2 0 verifique se a u v é LI b v e w são paralelos c u v w formam base Exercício 2 Sejam os vetores u 2 1 3 v 0 1 1 e w 4 5 3 a Calcule u v e u 2 v 3 w b Determinar m de modo que m u n v w Exercício 3 Dados A 4 4 4 e B 3 3 5 determinar a o módulo de AB e o módulo de BA b o versor de AB c a distância entre A e B Material adaptado do material didático da disciplina Geometria Analítica Curso de Matemática Licenciatura modalidade a distância produzido em 2015 pelos professores Maria José Ferreira da Silva Saddo Ag Almouloud e Maria Inez Rodrigues Miguel e do prof Gabriel Loureiro de Lima em 2020