Lista de Exercícios Cálculo

1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Modelagem de Problemas usando Cálculo Diferencial e Integral I MPCDI 1 Turma Engenharia Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo AVALIAÇÃO SOMATIVA AS 05 INSTRUÇÕES As listas deverão ser resolvidas em grupos de 3 a 5 participantes As listas devem ser impressas em papel A4 grampeada e identificando os nomes completos de todos os integrantes em ordem alfabética e legível A resolução deve ser feita imediatamente abaixo do enunciado de forma organizada e legível contemplando todos os passos da resolução Atenção usar a notação matemática correta Atividades do RA1 RA1 Resolver de forma analítica problemas voltados para a engenharia aplicando fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável com rigor matemático 1 A aceleração de uma partícula que se move de um lado para outro em uma reta é 𝑎𝑡 𝜋2 cos𝜋𝑡 𝑚𝑠2 para qualquer 𝑡 Se a posição inicial é 𝑠0 1 e a velocidade inicial é 𝑣0 0 𝑚𝑠 Determine 𝑠1 2 2 Utilize uma substituição apropriada e resolva as integrais a seguir 𝑎 2𝑥 18 𝑑𝑥 𝑏 cos𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑐 1 3𝑥 1 𝑑𝑥 d Note que 𝑡 é sempre uma equação do primeiro grau cuja derivada é constante Após a mudança de variável a integral tornase imediata É possível identificar um padrão comum nessas integrais Explique em suas próprias palavras 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 3 3 Utilize uma substituição apropriada indicando a substituição 𝑡 e 𝑑𝑡 para calcular a integral 𝑎 𝑒𝑥 1 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑏 1 𝑥 senln𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑒𝑡𝑔𝑥 sec2𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑥𝑥2 13 1 0 𝑑𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 Intervalos de integração 𝑡𝑥 4 𝑒 1 12𝑥2 3 𝑑𝑥 13 0 𝑓 cos𝑥 sensen𝑥 𝑑𝑥 𝜋2 0 𝑡 𝑑𝑡 Intervalos de integração 𝑡𝑥 𝑡 𝑑𝑡 Intervalos de integração 𝑡𝑥 5 4 Utilize integração por partes indicando 𝑢 𝑑𝑣 e obtendo 𝑣 e 𝑑𝑢 para calcular a integral 𝑎 𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 𝑏 arc tg 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑥2 1𝑒𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑣 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑣 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑣 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑣 6 5 Resolva as integrais a seguir identificando a técnica de integração em cada item 𝑎 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 𝑏 ln𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 1 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 7 6 Modele a área da figura hachurada e calcule a área utilizando integração a Área limitada pela função 𝑦 𝑥𝑒𝑥 eixo 𝑥 e a reta 𝑥 4 b Área limitada pelos eixos 𝑥 e 𝑦 a reta 𝑥 1 e pela função 𝑦 2 𝑥1 8 RESULTADO DE APRENDIZAGEM ESPERADO RA2 Avaliar criticamente se as soluções analíticas dos problemas voltados para a engenharia estão consistentes com o mesmo considerando requisitos e restrições fundamentados de Cálculo Diferencial de uma variável 7 A integral definida foi resolvida corretamente Explique o que foi realizado em cada implicação indicando os acertos eou erros 𝐼 1 𝑥2 1 1 𝑥 𝑑𝑥 4 1 1 𝐼 𝑡 1 2 𝑑𝑡 4 1 2 𝐼 1 2 𝑡1 2 1 4 3 𝐼 1 4 1 2 3 8 Verifique se a integral a seguir foi calculada corretamente usando derivadas ou seja 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 𝑑 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 𝑓𝑥 Argumente justificando o porquê a integração está correta ou incorreta compare o resultado com a função integranda e faça uma conclusão 𝑎 𝑠𝑒𝑛5𝑥 cos2𝑥𝑑𝑥 1 3 cos3𝑥 2 5 cos5𝑥 1 7 cos7𝑥 𝑐 𝑏 4𝑥ln 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥22ln𝑥2 2 ln 𝑥 1 𝐶 1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Modelagem de Problemas usando Cálculo Diferencial e Integral I MPCDI 1 Turma Engenharia Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo AVALIAÇÃO SOMATIVA AS 05 INSTRUÇÕES As listas deverão ser resolvidas em grupos de 3 a 5 participantes As listas devem ser impressas em papel A4 grampeada e identificando os nomes completos de todos os integrantes em ordem alfabética e legível A resolução deve ser feita imediatamente abaixo do enunciado de forma organizada e legível contemplando todos os passos da resolução Atenção usar a notação matemática correta Atividades do RA1 RA1 Resolver de forma analítica problemas voltados para a engenharia aplicando fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável com rigor matemático 1 A aceleração de uma partícula que se move de um lado para outro em uma reta é 𝑎𝑡 𝜋2 cos𝜋𝑡 𝑚𝑠2 para qualquer 𝑡 Se a posição inicial é 𝑠0 1 e a velocidade inicial é 𝑣0 0 𝑚𝑠 Determine 𝑠1 St π m n t dt movimentos ms π m St π m n t dt m St cosπ t C Logo n S0 1 m então 1 m cos0 C 1 m 1 m C C 2 m St cosπ t 2 m S1 cosπ 2 1 m 2 m 3 m 2 2 Utilize uma substituição apropriada e resolva as integrais a seguir 𝑎 2𝑥 18 𝑑𝑥 𝑏 cos𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑐 1 3𝑥 1 𝑑𝑥 d Note que 𝑡 é sempre uma equação do primeiro grau cuja derivada é constante Após a mudança de variável a integral tornase imediata É possível identificar um padrão comum nessas integrais Explique em suas próprias palavras 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 3 3 Utilize uma substituição apropriada indicando a substituição 𝑡 e 𝑑𝑡 para calcular a integral 𝑎 𝑒𝑥 1 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑏 1 𝑥 senln𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑒𝑡𝑔𝑥 sec2𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑥𝑥2 13 1 0 𝑑𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 Intervalos de integração 𝑡𝑥 4 𝑒 1 12𝑥2 3 𝑑𝑥 13 0 𝑓 cos𝑥 sensen𝑥 𝑑𝑥 𝜋2 0 𝑡 𝑑𝑡 Intervalos de integração 𝑡𝑥 𝑡 𝑑𝑡 Intervalos de integração 𝑡𝑥 5 4 Utilize integração por partes indicando 𝑢 𝑑𝑣 e obtendo 𝑣 e 𝑑𝑢 para calcular a integral 𝑎 𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 𝑏 arc tg 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑥2 1𝑒𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑣 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑣 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑣 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑣 6 5 Resolva as integrais a seguir identificando a técnica de integração em cada item 𝑎 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 𝑏 ln𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 1 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 7 6 Modele a área da figura hachurada e calcule a área utilizando integração a Área limitada pela função 𝑦 𝑥𝑒𝑥 eixo 𝑥 e a reta 𝑥 4 b Área limitada pelos eixos 𝑥 e 𝑦 a reta 𝑥 1 e pela função 𝑦 2 𝑥1 8 RESULTADO DE APRENDIZAGEM ESPERADO RA2 Avaliar criticamente se as soluções analíticas dos problemas voltados para a engenharia estão consistentes com o mesmo considerando requisitos e restrições fundamentados de Cálculo Diferencial de uma variável 7 A integral definida foi resolvida corretamente Explique o que foi realizado em cada implicação indicando os acertos eou erros 𝐼 1 𝑥2 1 1 𝑥 𝑑𝑥 4 1 1 𝐼 𝑡 1 2 𝑑𝑡 4 1 2 𝐼 1 2 𝑡1 2 1 4 3 𝐼 1 4 1 2 3 8 Verifique se a integral a seguir foi calculada corretamente usando derivadas ou seja 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 𝑑 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 𝑓𝑥 Argumente justificando o porquê a integração está correta ou incorreta compare o resultado com a função integranda e faça uma conclusão 𝑎 𝑠𝑒𝑛5𝑥 cos2𝑥𝑑𝑥 1 3 cos3𝑥 2 5 cos5𝑥 1 7 cos7𝑥 𝑐 𝑏 4𝑥ln 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥22ln𝑥2 2 ln 𝑥 1 𝐶 Rsolução Questão 4 Integração por Partes A fórmula para integração por partes é dada por u dv uv v du onde escolhemos u e dv de forma a simplificar a resolução a x cos2x dx 1 Escolha u x du dx dv cos2x dx v 12 sin2x 2 Aplicando a fórmula de integração por partes x cos2x dx x 12 sin2x 12 sin2x dx 3 Resolva a integral restante x2 sin2x 14 cos2x C b arctanx dx 1 Escolha u arctanx du 11 x² dx dv dx v x 2 Aplicando a fórmula de integração por partes arctanx dx x arctanx x1 x² dx 3 Para resolver a integral restante use a substituição w 1 x² com dw 2x dx x arctanx 12 ln1 x² C c ₀¹ x² 1eˣ dx 1 Escolha u x² 1 du 2x dx dv eˣ dx v eˣ 2 Aplicando a fórmula de integração por partes ₀¹ x² 1eˣ dx x² 1eˣ 2x eˣ dx 3 Para a integral restante use integração por partes novamente u x du dx dv eˣ dx v eˣ Assim obtemos ₀¹ x² 1eˣ dx e 2e 2 3 e Questão 5 Identificação da Técnica de Integração a x lnx dx Técnica Integração por partes 1 Escolha u lnx du 1x dx dv x dx v x²2 2 Aplicando a fórmula de integração por partes x lnx dx x²2 lnx x²2 1x dx Simplificando a integral restante x²2 lnx x2 dx 3 Resolva a integral restante x²2 lnx x²4 C b lnxx dx Técnica Substituição 1 Substitua u lnx de modo que du 1x dx 2 A integral se torna lnxx dx u du 3 Resolva a integral u²2 C lnx²2 C c 1x lnx dx Técnica Substituição 1 Substitua u lnx de modo que du 1x dx 2 A integral se torna 1x lnx dx 1u du 3 Resolva a integral ln lnx C Questão 6a Cálculo da Área Para encontrar a área limitada pela função y xex o eixo x e a reta x 4 configuramos a integral definida no intervalo 0 4 para a função fx xex A área A pode ser dada por A from 0 to 4 xex dx Passo a Passo da Resolução 1 A integral envolve o produto de x e ex então usaremos integração por partes 2 Escolha u x du dx dv ex dx v ex 3 Aplicando a fórmula de integração por partes xex dx xex ex dx xex ex dx 4 Resolva a integral restante xex ex C Portanto temos xex dx x 1ex C 5 Aplicando os limites de integração de 0 a 4 A x 1ex from 0 to 4 6 Substituindo os limites A 4 1e4 0 1e0 5e4 1 Portanto a área é A 1 5e4