Funçoes todos os Tipos

a fx 2x 3 c fx x 3 b fx 2x 3 d fx x 3 Observações 1 O software Graphmatica ou outro de sua preferência pode ser utilizado 2 No lugar das letras a b c d e e f utilize respectivamente os algarismos do seu número de matrícula Por exemplo para o número de matrícula 613965 a 6 b 1 c 3 d 9 e 6 e f 5 3 As respostas com gráficos e resoluções devem ser apresentadas 4 Você pode fazer as contas manualmente e fotografardigitalizar QUESTÕES 1 Faça os gráficos das funções lineares da forma fx ax b abaixo num mesmo plano cartesiano fx 3x 1 gx 3x 5 px 2x 1 qx 2x 1 a Que características são comuns aos gráficos das funções f e g b Que características são comuns aos gráficos das funções p e q c Que propriedade gráfica possui o coeficiente b desse tipo de função d Quais são os zeros de cada uma das funções f g p e q dica slide 7 de Funções polinomiaispdf 2 Estabeleça uma equação linear que expresse a relação entre a temperatura em graus Celsius C e em graus Kelvin K Utilize o fato de que água congela a 0o Celsius 27315 Kelvin e ferve a 100o Celsius 37315 Kelvin 3 A tabela abaixo mostra um histórico de níveis médios de dióxido de carbono na atmosfera supostamente medidos em partes por milhão ppm num Observatório Ano Nível de CO2 em ppm 2012 57a 2013 58b 2014 58c 2015 58d 2016 58e 2017 58f 2018 59a 2019 59b 2020 59c 2021 59d 2022 60e 2023 60f Trabalho II Funções 10 pontos Alunoa 1º Período Cálculo I Entrega 020517 1º Período Cálculo I a Construa um gráfico com os pontos da tabela b Use os dados da tabela para encontrar um modelo função linear para o nível de dióxido de carbono dica escolha dois pontos xy e x0y0 e use yy0 mx x0 c Construa o gráfico do modelo linear encontrado no mesmo gráfico de pontos do item a e Use o modelo linear para predizer o nível de CO2 para o ano de 2024 f Use o modelo linear para predizer o nível de CO2 para o ano de 203e g De acordo com o modelo encontrado quando o nível de CO2 excederá 8f0 ppm 4 Construa os gráficos das funções quadráticas da forma fx ax2 bx c num mesmo plano cartesiano fx x2 x 3 gx x2 6x 4 px x2 5x 2 qx x2 1 a Que características você observa em relação ao coeficiente a das funções b Que propriedade gráfica possui o coeficiente c c Determine as coordenadas do vértice correspondente ao ponto de mínimo da função g dica slide 12 de Funções polinomiaispdf 5 Um foguete caiu depois de ser lançado devido a uma pane no sistema de navegação A trajetória do foguete até a sua queda é representada pela função abaixo ht f 10t 35t2 lembrando que f é o sexto dígito do seu número de matrícula Considere que a altura h é dada em km e o tempo t em segundos a Construa o gráfico da trajetóriaaltura ht percorrida pelo foguete b A altura máxima que o foguete atingiu dica slide 12 de Funções polinomiaispdf c Ao partir qual a altura do foguete em relação ao solo d Após quantos segundos depois de partir o foguete atingiu o solo Obs Você deve mostrar os cálculos feitos e conferir os resultados no gráfico 6 Determine a função quadrática que graficamente passa pelos pontos M1 0 N3 0 e P0 3 Plote os 3 pontos no plano cartesiano juntamente com o gráfico da função encontrada Mostrar os cálculos 7 Suponha que uma fábrica tenha estimado que o custo de produção de x unidades de um produto seja Cx 035 05x 005x2 000b1x4 a Que tipo de modelo função é essea estimadoa pela companhia b Construa o gráfico c Qual o custo de produção de 10 unidades d Qual o custo que a fábrica possui caso não produza nada Calcule o valor e sinalize no gráfico e Aproximadamente quantos unidades de produtos é possível fabricar com R 30000 8 Juros compostos Se um capital 𝐶 é aplicado a uma taxa de juros 𝑖 por um período de um mês então o montante 𝑀 ao final desse mês será 𝑀 𝐶 1 𝑖100 Se a aplicação for feita por dois meses então o montante final será 𝑀 𝐶 1 𝑖100 1 𝑖100 Assim se tal aplicação se der por um período de 𝑛 meses ao final do 𝑛ésimo mês teremos 𝑀 𝐶 1 𝑖100 1 𝑖100 1 𝑖100 Assim podemos concluir que o montante 𝑀 dados o capital 𝐶 investido a uma taxa de juros 𝑖 por um número 𝑛 de períodos dias meses anos etc é dado pela expressão 𝑀𝑛 𝐶 1 𝑖100𝑛 que nada mais é que uma função exponencial Sendo assim considerando que R 7e000 são aplicados a juros compostos em um banco a uma taxa mensal de 1f ao mês determine a qual o montante em 5 meses b em aproximadamente quantos meses o capital dobrará de valor 9 Dinâmica populacional Um dos modelos mais clássicos de cálculo de crescimento de uma população é o modelo de Malthus Tomas Robert Malthus 17661834 Nele há a afirmação de que a taxa de variação de uma determinada população em relação ao tempo denotada por 𝑑𝑃𝑑𝑡 é diretamente proporcional à população 𝑃 presente Isto significa que se 𝑃 𝑃𝑡 então 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑘𝑃 sendo que o símbolo 𝑑𝑃𝑑𝑡 representa a derivada da função 𝑃 em relação ao tempo 𝑡 que vamos estudar mais adiante A equação anterior é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem que pode ser resolvida por meio do cálculo diferencial e integral e por meio das propriedades das funções exponenciais e logarítmicas Tal resolução nos permite concluir que o tamanho da população em um instante 𝑡 de acordo com o modelo de Malthus é dada por 𝑃𝑡 𝑃0𝑒𝑘𝑡 que é uma função exponencial sendo P0 P0 a população inicial Observando em um instante inicial uma população de cisnes foram contados f5 elementos lembrando que f é o sexto dígito do seu número de matrícula 6 meses depois essa população era de 1e0 cisnes Considerando que tal população é regida pelo modelo de Malthus determine quantos indivíduos ela terá em 20 meses a partir da primeira observação n vezes 10 A gravitação é um ramo importante da Física a qual apresenta inúmeras aplicabilidades entre elas podese citar a gravitação de satélites de telecomunicações Um satélite de telecomunicações t minutos após ter atingido sua órbita está a rt quilômetros de distância do centro da Terra 𝒓𝒕 𝟑𝟖𝟔𝟓𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝐅 𝐜𝐨𝐬 𝟎 𝟎𝟔𝒕 a Responda o objeto estará mais próximo da Terra no tempo t 50 minutos ou no tempo t 100 minutos Justifique a sua reposta aplicando a fórmula da função rt b Determine um tempo t em que o objeto estará a uma altura de 38500 km Mostre os cálculos Referências 1 H Guidorizzi Um curso de Cálculo Volume 1 5 ed São Paulo LTC 1995 2 B R Oliveira A M Zuffo J G Aguilera Caminhos da Matemática Pantanal Editora 2019 3 P Boulos Précálculo Editora Pearson 118 ISBN 9788534612210 Não esqueça de passar a sua calculadora para radianos Software geogebra 1 a Os gráficos f e g apresentam em comum o coeficiente angular a isto é inclinação da reta que é igual a 3 b As funções p e q apresentam o mesmo coeficiente linear b isto é cruzam o eixo y no mesmo ponto 01 c O coeficiente linear b é o valor de y no qual o gráfico cruza o eixo das ordenadas 0b d O zero de cada função é calculado igualando a função a 0 e encontrando o valor de x onde isto ocorre Para f x f x 03 x1 Portanto 3 x1x1 3 Para g x g x 03 x5 Portanto 3 x5x1 5 Para h x h x 02 x1 Portanto 2 x1x1 2 Para p x p x 02x1 Portanto 2 x1x1 2 2 Pelos dados temos que Quando C0 K27315 E quando C100K37315 Chamando C0 de x1 C100 de x2 K27315 de y1 e K37315 de y2 então m y x 373127315 1000 100 1001 Então y K 273151 xC K27315 C 3 Número da matrícula 857101 portanto a8 b5 c7 d1 e0 e f 1 Portanto a tabela do enunciado fica Ano Nível de CO2 em ppm Nível de CO2 em ppm 2012 57a 578 2013 58b 585 2014 58c 587 2015 58d 581 2016 58e 580 2017 58f 581 2018 59a 598 2019 59b 595 2020 59c 597 2021 59d 591 2022 60e 600 2023 60f 601 2010 2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024 565 570 575 580 585 590 595 600 605 Ano Nível de CO2 em ppm b Vamos selecionar 2 pontos para encontrar o modelo linear tomem os anos de 2013 e 2023 Sendo yníveldeCO 2 e xano y y0mxx0 y585 601585 20232013x2013 y58516 x2013 y58516 x32208 y16 x26358 c 2010 2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024 565 570 575 580 585 590 595 600 605 e Utilizando o modelo linear para prever o nível de CO2 no ano de 2024 y16 x26358 y16 2024 263586026 ppm f Utilizando o modelo linear para prever o nível de CO2 no ano de 2020 y16 x26358 y16 2020263585962 ppm g De acordo com o modelo onível de CO2 excederá 810 ppm em 81016 x2635 8 x81026358 16 2154 Aproximadamente no ano de 2154 4 a O coeficiente a das funções está diretamente ligado ao sentido para o qual a concavidade da parábola aponta isto é coeficientes positivos indicam que a parábola aponta para cima gráficos f e g enquanto coeficientes negativos indicam que a parábola aponta para baixo gráficos p e q b O coeficiente c indica o ponto no eixo y no qual a parábola irá interceptar o eixo c O ponto de mínimo da função pode ser obtido de várias maneiras como a que segue A coordenada x do vértice fica no meio dos valores de x das duas raízes f Encontrando as raízes x6 x6 x6 x35 Portanto a média entre os valores é média 3 E substituindo na equação para encontrar o valor de y y3 26345 O vértice da parábola é o ponto 53 5 A função que descreve a trajetória do foguete é h t 110t 35t 2 b Aplicando o mesmo princípio utilizado no exercício anterior t10 t10 t10 A média das coordenadas x das raízes é t10 t10 7 Aplicando esse valor de t para obtermos a altura atingida nesse tempo h t 110 10 7 35 10 7 2 h t 1 100 7 35100 7 h t 49 49 700 49 35100 49 399 49 km c Quando t0 temos que h t 110 0 35 0 21km d Após 10 segundos isto é t 29s 6 Para descobrirmos a equação da parábola iremos substituir os três pontos na equação da parábola f x a x 2bxc Ponto M 1 0 Substituindo x 1 e y 0 na equação f 1 a 1 2b 1c0 Isso nos dá a primeira equação a b c 0 Ponto N 3 0 Substituindo x 3 e y 0 na equação f 3 a 3 2b 3 c0 Isso nos dá a segunda equação 9a 3b c 0 Ponto P 0 3 Substituindo x 0 e y 3 na equação f 0 a 0 2b 0c3 Isso nos dá a terceira equação c 3 Sabendo que c 3 substituindo na primeira equação abc0ab3 Substituindo na segunda equação 9a3bc0 9b33b30 9b273b30 12b240 b2 Portanto a231 A equação da parábola é por fim f x x 22x3 7 a Uma função polinomial de quarto grau b C x 03505 x005 x 200051 x 4 c C 10 035051000510 20005110 4 C 10 03555516135 d C 0 0350500050 2000510 4 C 0 035 e Pelo gráfico podem ser fabricadas aproximadamente 15 peças 8 Valor aplicado R 70000 a uma taxa mensal de 11 ao mês a Após 5 meses M 5 700001 11 100 5 73935reais b 14007001 11 100 n 21011 n ln ln2nln ln 1011n ln ln 2 ln ln1011 63meses 9 P015 6 meses depois P6100 P 615 e kt15e 6k ln ln 100 15 6k k1 6 ln ln 100 15 Em 20 meses P 2015e 20 1 6 ln ln 100 15 15e 632378364cisnes 10 r t 38650 1011cos cos006t a no tempo t50min r 50 38650 1011coscos 00650433733km no tempo t100min r 100 38650 1011coscos 006100349578km O satélite estará mais próximo da terra no tempo de 100 minutos b dada a altura de 38500 km 38500 38650 1011cos cos006x cos cos006x 38650 385001 x 1 006 arcos 38650 385001 x2611min