Flambagem e Ruptura de Pilares - Análise de Compressão e Cisalhamento

RA2 3 Colunas ColunasPilares RUPTURA DE PILARES FAILURES OF COLUMNS Flambagem Buckling Compressão Compression Cisalhamento Shear P B L A P B L 2 k L 2 P L 2 k L 2 P tg P tg F A A A F k Δ P x P tanθ θ tanθ P x P θ Δ θ L2 F k θ L2 F 2 P x k θ L2 2 Pθ P cr 𝒌 𝑳 𝟒 8 Flambagem deflexão lateral Ocorre em torno do eixo da seção transversal que apresenta a menor inércia Coluna ideal Coluna com equilíbrio instável 𝜎 𝑃 𝐴 𝛿 𝑃𝐿 𝐸𝐴 Carga crítica 𝑷𝒄𝒓 carga axial máxima que uma coluna pode suportar antes de ocorrer a flambagem 𝑷 𝑷𝒄𝒓 𝑷 𝑷𝒄𝒓 Fórmula de Euler 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑀 𝑃𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑃 𝐸𝐼 𝑦 0 adotando 𝑘2 𝑃 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑘2𝑦 0 a solução geral será 𝑦 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝐶2𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 𝑦 0 𝑥 0 𝐶2 0 𝑦 0 𝑥 𝐿 𝐶1𝑠𝑒𝑛𝑘𝐿 0 9 Fórmula de Euler 𝑠𝑒 𝐶2 0 e 𝐶1𝑠𝑒𝑛𝑘𝐿 0 𝑦 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 para que 𝐶1𝑠𝑒𝑛𝑘𝐿 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐶1 0 ou senkL 0 se 𝐶1 0 então y 0 para qualquer kL coluna reta se senkL 0 a equação da flambagem que será válida para kL 0 𝜋 2𝜋 então 𝑘𝐿 𝑛𝜋 com n 1 2 3 como 𝑘2 𝑃 𝐸𝐼 ou P EI 𝑘2 𝑃 𝑛2𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 𝑛 123 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 e 𝑦 𝐶1𝑠𝑒𝑛 π𝑥 𝐿 10 Fórmula de Euler 11 carga crítica 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 e 𝑦 𝐶1𝑠𝑒𝑛 π𝑥 𝐿 tensão crítica 𝜎𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 𝐴 𝜋2𝐸𝐼 𝐴𝐿2 r 𝐼 𝐴 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑎çã𝑜 𝜎𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿 𝑟2 λ 𝐿 𝑟 índice de esbeltez 𝜎𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 λ2 Esbeltez 𝜆 12 𝑟 𝐼 𝐴 𝜆 𝐿𝑒 𝑟 𝐸𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑒𝑧 𝑅𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑎çã𝑜 Comprimento efetivo Pcr π²EIL² Pcr π²EI4L² Pcr 4π²EIL² Pcr 2046 π²EIL² Le L Le 2L Le 05L Le 0699L Exemplo 1 Determine a carga crítica para um tubo de aço de 5m de comprimento 100 mm de diâmetro externo e parede de 16 mm de espessura Use E200 GPa Considerar os apoios como sendo apenas um pino 14 Exemplo 1 Apoios pino pino Le L 𝐼 𝜋 4 𝑟𝑒4 𝑟𝑖 4 𝐼 𝜋 4 0054 00344 3859106𝑚4 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿𝑒2 𝜋2 200109 3859106 52 𝑃𝑐𝑟 3047 𝑘𝑁 15 Exemplo 2 Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento e de seção transversal quadrada deve ser feita de madeira Considerando que E13GPa 𝜎𝑎𝑑𝑚 12 𝑀𝑃𝑎 e usando um coeficiente de segurança de 25 ao calcular a força crítica de Euler para a flambagem determine a dimensão da seção transversal se a coluna deve suportar com segurança uma força de 100 kN 16 Exemplo 2 Admitindose que 𝑃𝑐𝑟 limita a coluna 𝐶𝑆 𝑃𝑐𝑟 𝑃 𝑃𝑐𝑟 25 100 250 𝑘𝑁 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿𝑒2 𝜋2 13109 𝐼 22 250103 𝐼 779 106 𝑚4 𝑏4 12 𝑏 0098 𝑚 Admitindose que 𝜎𝑎𝑑𝑚 limita a coluna 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑃 𝐴 𝐴 100 103 12 106 833 103 𝑚2 𝑏2 𝑏 0091 𝑚 Seção mínima 98 mm x 98 mm 17 b b 𝐼 𝑏4 12 𝐴 𝑏2 Exemplo 3 O elemento construído com perfil W250 x 58 aço A36 deve ser usado como coluna presa por pino Determinar a maior carga axial que ele suportará antes que a flambagem se inicie ou o aço escoe Dados E 200 GPa e σesc 250 MPa Considerar as ligações nas extremidades como sendo flexíveis 18 Exemplo 3 Seções de abas largas ou perfis em W Unidades SI Descrição Área A Altura d Espessura da alma t alma Aba largura t aba espessura b aba eixo xx eixo yy l S r l S r mm kgm mm² mm mm mm mm 10⁶ mm⁴ 10³ mm³ mm 10⁶ mm⁴ 10³ mm³ mm W250 149 19000 282 1730 2630 284 259 1840 117 862 656 674 W250 80 10200 256 940 2550 156 126 984 111 431 338 650 W250 67 8560 257 889 2040 157 104 809 110 222 218 509 W250 58 7400 252 800 2030 135 873 693 109 188 185 504 W250 45 5700 266 762 1480 130 711 535 112 703 95 351 W250 28 3620 260 635 1020 100 399 307 105 178 349 222 W250 22 2850 254 584 1020 69 288 227 101 122 239 207 W250 18 2280 251 483 1010 53 225 179 993 0919 182 201 W200 100 12700 229 1450 2100 237 113 987 943 366 349 537 W200 86 11000 222 1300 2090 206 947 853 928 314 300 534 W200 71 9100 216 1020 2060 174 766 709 917 254 247 528 W200 59 7580 210 914 2050 142 612 583 899 204 199 519 Exemplo 3 Admitindose que 𝜎𝑒𝑠𝑐 limita a coluna 𝜎𝑒𝑠𝑐 𝑃 𝐴 𝑃 𝜎𝑒𝑠𝑐 𝐴 𝑃 250106 7400106 𝑃 1850 kN Admitindose que 𝑃𝑐𝑟 limita a coluna 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿𝑒2 𝜋2 200109 188106 42 𝑃𝑐𝑟 231936 𝑘𝑁 𝑃 231936 kN 𝑃 1850 𝑘𝑁 escoamento limita 20 Exemplo 4 A coluna de alumínio está engastada na parte inferior e presa ao topo com cabos assim evitase movimento ao longo do eixo x Determinar a maior carga admissível P que pode ser aplicada Adotar perfil W 200 x 59 𝐸𝑎𝑙 70𝐺𝑃𝑎 𝜎𝑒𝑠𝑐 215 𝑀𝑃𝑎 21 Exercício 4 Seções de abas largas ou perfis em W Unidades SI Descrição Área A Altura d Espessura da alma t alma Aba largura t aba espessura b aba eixo xx eixo yy l S r l S r mm kgm mm² mm mm mm mm 10⁶ mm⁴ 10³ mm³ mm 10⁶ mm⁴ 10³ mm³ mm W250 149 19000 282 1730 2630 284 259 1840 117 862 656 674 W250 80 10200 256 940 2550 156 126 984 111 431 338 650 W250 67 8560 257 889 2040 157 104 809 110 222 218 509 W250 58 7400 252 800 2030 135 873 693 109 188 185 504 W250 45 5700 266 762 1480 130 711 535 112 703 95 351 W250 28 3620 260 635 1020 100 399 307 105 178 349 222 W250 22 2850 254 584 1020 69 288 227 101 122 239 207 W250 18 2280 251 483 1010 53 225 179 993 0919 182 201 W200 100 12700 229 1450 2100 237 113 987 943 366 349 537 W200 86 11000 222 1300 2090 206 947 853 928 314 300 534 W200 71 9100 216 1020 2060 174 766 709 917 254 247 528 W200 59 7580 210 914 2050 142 612 583 899 204 199 519 23 Engaste livre Le2L Exemplo 4 Flambagem em torno do eixo x Le 2L 2x5 10 m Engaste Livre 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼𝑥 𝐿𝑒 2 𝜋2 70109 612106 102 𝑃𝑐𝑟 42281 𝑘𝑁 𝜎𝑒𝑠𝑐 𝑃𝑒𝑠𝑐 𝐴 𝑃𝑒𝑠𝑐 215106 7580106 𝑃𝑒𝑠𝑐 16297 𝑘𝑁 𝑃𝑐𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎 𝑎 𝑓𝑙𝑎𝑚𝑏𝑎𝑔𝑒𝑚 24 Engaste pino Le07L Exemplo 4 Flambagem em torno do eixo y Le 07L 07x5 35 m Engaste Pino 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼𝑦 𝐿𝑒 2 𝜋2 70109 204106 352 𝑃𝑐𝑟 115051 𝑘𝑁 𝜎𝑒𝑠𝑐 𝑃𝑒𝑠𝑐 𝐴 𝑃𝑒𝑠𝑐 215106 7580106 𝑃𝑒𝑠𝑐 16297 𝑘𝑁 𝑃𝑐𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎 𝑎 𝑓𝑙𝑎𝑚𝑏𝑎𝑔𝑒𝑚 Problema 1 Encontre a espessura mínima t requerida para a coluna de comprimento L 36 m e de diâmetro externo d160 mm que suporta uma carga axial P240 kN Faça E200 GPa e CS 3 t 1589 mm 25 Problema 2 A seção transversal da coluna mostrada é composta por 2 perfis I conectados por barras espaçadoras que garantem a união das peças Assumindose que a coluna tem extremidades apoiadas por pinos e pode flambar em qualquer direção encontre o carregamento crítico Faça E200 GPa e L 85 m P𝑐𝑟 272 kN 26 Problema 3 Assumindose que a coluna de aço em perfil I W 150 x 24 está submetida a uma carga Pcr60 kN e pode flambar em qualquer direção encontre a o comprimento L b a tensão crítica Faça E200 GPa L 388 m 𝜎𝑐𝑟 1904 𝑀𝑃𝑎 27 Problema 4 Assumindose que as colunas em aço estão submetidas a uma carga de 75 kN e podem flambar em qualquer direção encontre a o CS à flambagem para o caso 1 se o diâmetro da coluna for de 20 mm b o diâmetro das outras colunas usando o coeficiente determinado em a Faça E200 GPa CS 255 𝜙2 283 mm 𝜙3 141 mm 𝜙4 167 mm 28 Problema 5 A coluna AB suporta uma força centrada P de intensidade de 66 kN Os cabos BC e BD estão esticados e impedem o movimento do ponto B no plano xz Usando a fórmula de Euler e um coeficiente de segurança de 22 e desprezando a tração nos cabos determine o comprimento L maximo admissível Use E 200 GPa O perfil da coluna é W 150 x 18 L 565 m 29 d altura do perfil d altura livre da alma h altura interna bf largura da aba tf espessura da aba tw espessura da alma R BITOLA Massa Linear d bf ESPESSURA EIXO X X EIXO Y Y mm x kgm Kgm mm mm tw tf h d Área Ix Wx rx Zx Iy Wy ry Zy cm² cm4 cm³ cm cm³ cm4 cm³ cm W 150 x 130 130 148 100 43 49 138 118 166 635 858 618 964 82 164 222 255 W 150 x 180 180 153 102 58 71 139 119 234 939 1228 634 1394 126 247 232 385 W 150 x 225 H 225 152 152 58 66 139 119 290 1229 1617 651 1796 387 509 365 779 W 150 x 240 240 160 102 66 103 139 115 315 1384 1730 663 1976 183 359 241 558 W 150 x 298 H 298 157 153 66 93 138 118 385 1739 2215 672 2475 556 726 380 1108 W 150 x 371 H 371 162 154 81 116 139 119 478 2244 2770 685 3135 707 918 384 1404 Problema 6 A coluna AB em alumínio uma força centrada P de intensidade 25 kN Sabendo qua coluna pode flambar e qualquer direção determine o comprimento L Use um coeficiente de segurança de 2 à flambagem faça a 8 cm b 12 cm Use E 69 GPa Qual eixo limita a coluna Sabendo que 𝜎𝑒𝑠𝑐 240 𝑀𝑃𝑎 a coluna escoa L 626 m y Não 31